Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (134)

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22. Evaluar: lím ̂
Resolución:
X® + X® - 20x“ - 16x^ - 16x + 320
x ^ - 1
J (x -2 )(x + 2 )(x -4 )(x + 5 ) ( x ^ ^ 
, _ r V (x + 1 )(x -1 )
Domf = ( - 0=: -5 ) u [-2 ;-1 ) u (1; 2] u [4; +oo>
=» lím = +=c
X-1+ i O*
23. Graficar la función: f(x) = 2x - tan(x), x e 
Resolución:
Analizando la primera derivada:
f ’(x) = 2 - sec^x
=» f ' ( X ) = 0 =» secx = + -/2
son máximas o minimas.
=> f'(x) > 0 => sec^x < 2
=> - /2 < secx < i2
En es creciente
=» f'(x) < O =» sec^x > 2
=5 sec X > /2 V secx < - í 2
En - ■!) ( í ’ f ) decreciente
Realizando la gráfica se tiene:
24. Halle la relación entre “a" y “b" de modo que la 
ecuación: ax = b"; b > 1 no tenga soluciones rea­
les.
Resolución;
Graficando las funciones considerando inicialmen­
te un punto de intersección.
En el punto Xq se cumple: 
b‘° = axo ...(1)
b*Mnb = a ...(2)
(1 ) en (2): axo Inb = a => Xq = log^e 
Reemplazando en (2):
Inb = a =» a = einb 
Conclusiones:
I. Sí a = eInb => existe solamente una solución 
real.
II. Sí a > einb ^ existen dos soluciones reales.
NI. O < a < einb =» no tiene soluciones reales.
25. Hallar si y = f'(x) - senfx^)
Resolución:
Hacemos: g(x) = 2 x - 1 
x+1 y = f(g{x))
^ = f (g(x)}. g'{x)
g(x) = 2 x -1 
x + 1 g'(x) =
(x + 1)‘
f ‘(x) = sen(x^) =» f ’(g(x)) = sen 
Se reemplaza (2) y (3) en (1 ):
2x - 1 
x+ 1
- d )
-(2 )
,..(3)
dx (x + i r
rsen 2 x - 1 
x + 1
26. Dada la función f, tal que: f(x) = 5x ̂+ xelR*
determine el menor valor positivo "a" para que se 
cumpla: f(x) > 14, v x g Domf
Resolución:
Por dato: el minimo valor de f es 14
Derivando: f (x) = lOx - ^
x®
Igualando a cero y despejando se tiene; x = 
Reemplazando en la función f
5 ^ 4 +• = 14
Al efectuar tenemos: a = 16/2
27. Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica 
de (a función f(x) = x̂ + 1 en el punto de abscisa 2.
Resolución:
Hallemos su pendiente en x̂ = 2
’ ...2 X,- 2 .,3 y ,- 2
x ? -4 (x, + 2 )(x ,-2 )m, = lim —— = lim —-----— -
«,-2 X, - 2 x, - 2 X, - 2
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=> m, = 2 + 2 = 4
Por definición de pendiente;
m, = 4 = ~ ^ = > y -5 = 4 x - 8 x - 2
y = 4x - 3
28. Haliar la derivada de la función: f(x) = Inx en Xq:
XqG m"
Re$oiución:
De la definición:
r,x„) = i im !n í í í± íH n 2 í-
f'(Xo) = lim Infl -*o 1 +
X̂ r,
= ^ ; x o > o
29. Encontrar la derivada de; f(x) = 2x', en el punto Xq; 
Xo e Domf
R esolución:
,X x . ) = l im I I Í ! L ± M í -
h
n v ) = i i r n 2 í í o ± h ) ! ^
f '( X o ) n-u M
X .. 2(x^ + 3x^h + 3Xoh ̂+ h') - 2x^
I (Xo) - i im ^
,,, , 6xoh + 3xoh ̂+
= ----- FT--------
f ’(Xo) = lím 6xq + 3X(jh + = 6Xq
h - O
f(Xo) = 6x^
30. Halle la derivada de f(x) = senx, en x = Xq, XqG E 
R esolución:
Por definición:
f(x.) = , ¡ „ j i 5 í ( í o ± h L i ^
fl/ \ _ I- senxocosh + cosxasenh - senxg
^ ~ h - ^ h
f ( x ,) = | ¡ ^ S6nx„(cosh - 1 ) ^ ^ c c s x .^ s g j 1
sen^j^,
f(<.) = línj h + co=«.
f ' ( X o ) = C O S X o
31. En una esfera de radio r se inscribe un cono circu­
lar recto de tal manera que el volumen de éste sea
el mayor posible. En este caso la generatriz y la 
base del cono forman un ángulo 6; calcular; cos26
Resolución:
Volumen del cono: V = x h
V = [it X (2rsenecose)^] x 2rsen^0
V = n X r̂ (2sen6cos6)̂ x 2rsen^6
sen26
V = nr^sen^20 x 2sen^0
= V(0) = rtr^sen^20(1 - cos29)
Para hallar; V(9) máximo 
Resolvamos: V’(0) = O 
=» 7tr'[sen^29(2sen20) +
(1 - cos20)4sen20cos29] = O 
2sen^20 + 4sen20cos20(1 - cos29) = O 
2sen20[sen^20 + 2cos26(1 - cos20)] = O 
2sen20(1 - cos^29 + 2cos20 - 2cos^20] = O 
2sen26(1 + 2cos29 - 3cos^20] = O 
1 3cos29
1 — cos20
2sen20(1 + 3cos20)(1 - cos20) = O 
Aqui se presentan 3 posibilidades;
29 = 0°
29 = 180°
I. sen20 (no cumplen)
. 1 + 3cos20 = O =» cos20 = - - j
=» 90“ < 20 < 180“ => 45° < 0 < 90“
(si es posible)
I. 1 - cos29 = O » cos29 - 1 
29 = 0°
29 = 360“
(no cumplen)
Para que el volumen sea máximo, 9 es tal 
que: cos29 = - 4ó
32. Un ingeniero diseña un estanque cuyo corte de 
sección tiene la forma mostrada en la figura, don­
de: AB = BC = CD = L, ¿Qué valor le debe asignar 
a 6 para que en el estanque se pueda depositar el 
mayor volumen posible de agua?
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Resolución:
El estanque totalmente lleno de agua se vería asi:
B'--------------^
Volumen de agua = V = A*bcd x ^ 
Considerando h -»■ constante (asumimos así por­
que no se dice nada al respecto), 
tenemos que: V ^ máximo 
cuando: Â bcd -* nnáximo 
Luego:
LCOS0 0
Lsen0
Aabcd = a = semisuma de bases x altura
A = (^ L a a íL + L L t)L s e n O
A(0) = L^(costì + 1)sen0 
Para que A(6) -» máximo 
=> A(0) = O
A’(6) = L^[(cos0 + 1)cosO + sen6(- sen6)] = O 
coŝ O -h COS0 - sen^6 = O 
coŝ O - sen^ -h cos0 = O 
cos20 + COS0 = O 2 c o s^co s^ = O
Dos posibilidades:
I. c o s ^ - O ^ Y 9°“
II. cos-^ — o =3 ^ = 90° =5
=» 0 = 60°
0 = 180° (no cumple)
El mayor volumen de agua que se puede deposi­
tar es cuando: 0 = 60°
33. Tres ciudades A, B y C se encuentran a 6 km de 
distancia una de otra. Se quiere construir un mo­
numento que sea equidistante de A y B tal que la 
suma de las distancias de aquel a las tres ciuda­
des sea la menor posible. ¿A qué distancia de C se 
debe construir dicho monumento?.
Resolución;
Suma de distancias: S = x 
y = 3sec0
2y
3 ̂ - X = 3tane 
=> X = 3 /3 - 3tan0 
Luego: S = 3/3 ~ 3tan0 + 2(3sec0)
8 = 3 / 3 - 3tan0 + 6sec8 
= S(6) = 3-¡3 - 3tan6 + 6sece 
Debemos hallar: S(0) -> mínimo 
Entonces resolvamos: S’(0) = O 
=> - 3sec^0 -I- 6sec9tan0 = O 
=» 3sec0(-sec0 + 2tan0) = O 
=̂ - sec0 + 2tan0 = O => 2tan6 = seo0
, sen0 1 sen0 = 1
eos6 COS0
Nos piden: x = 3/3 - 3tane
X = 2/3
= 30°
X - 3/3 - 3 ^
34. En la figura se muestra el sector circular AOB, tal 
que: OP = PA. Tomando como c e n tra ^ S y O 
se trazan respectivamente los arcos AS. PQyPR. 
Los perímetros de los triángulos mixtilineos ABS y 
PQR son, respectivamente, p, y pj. Calcular, en el 
limite, cuando a tiende a O, la relación: p, / Pj
B
Resolución:
x2r
Perimetro de ABS = 2ar + 2ra + SS 
p , = 4ar + BS
Pi - 4ar -h OB - OS
Pi = 4ar + 2r - 2rcosa 
p , = 2r(2a - I- 1 - cosa) . . . ( I )
Perimetro de PQR = ar + ar -i- x
P2 = 2ar - I- X
Pero: OQ +QS = OS
r - X -I- r = 2r cosa
X = 2r - 2r cosa 
=> P 2 = 2 a r + 2r - 2r cosa 
P2 = 2r(a -t- 1 - costt) ...(II)
D e(l)y(ll):
^ _ 2r(2g + 1 - cosa) _ 2a + 1 - COSa 
P 2 2r(a + 1 - cosa)
Pi
a + 1 - cosa 
2a + 1 - cosaNos piden: lím — = líma-.o P2 1-0 a + 1 - cosa
Evaluando para a = O, resulta; ^
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sena
Apliquemos !a regla de L’Hospitai:
pi „ D„(2a + 1 - cosu)
l im ^ = l im :---------------r =a-op2 u .0 D,Ja + 1-cosaJ ^-o1+sena
D 7Evaluando para a = 0. resulta; lim — = = = 2a.op2 1
35. Calcular: l ^ lím 
Resolución:
L= / arctan 3x - 3 arctan x \
x . o \ )
Evaluando resulta:
Apliquemos la regla de L'Hospital:
L = lím
L = iím
Djarctan3x - Sarctanx]
D.lx^
-3 { - 1
1 + (3 x f 1 + x
3x-
L = l im l± ^ 2 ¿ _ V L x í
L = lím
L “ lím
3x"
1 + x^ -(1 +9x^) 
-ó x^(1 +9x^)(1 +x^
-8 x '
•° x^(1 + 9x^)(1 +x"'
L = lím
’ -0 (1 +9x')(1 +x^)
Evaluando para x = O, resulta: L =
1 x1
36. La recta normal a la gráfica de la función:
f(x) = cos2x, x e 0;-| , en el punto de abscisa a, 
pasa por el origen de coordenadas. Calcular el va­
lor de: 4a
Resolución;
D a lo s : f(x ) = c o s 2 x , x t 0 ;-|- 
Abscisa del punto de tangencia; a 
La ecuación de la recta normal es; 
y - f (a ) =
f (a)
f(a) = cos2a ...(II)
Si f(x) = cos2x =» f’(x) = -2sen2x 
f ’ (a)= -2sen2a ...(III)
(II) y (III) en (I); y - cos2a = -
y - c o s 2 a -
-2sen2a 
1
(X - a)
2sen2a ( X - a )
Por dato, el punto 0(0: 0) pertenece a esta recta, 
entonces satisface & la ecuación. Reemplazando;
O - cos2a = •?:—^ ^ ( 0 - a)2sen2a ' '
=» - cos2a = 2sen2acos2a = a
sen4a = a
37. Calcular; L = lím
x -o
sen4a
4a
tan 2x - 2x
3x - senSx
Resolución:
«-0\3x - sen3x /
Evaluando para x = O, resulta; ^
Aplicando la regla de L'Hospital
L = l lm , lim
*-0D,[3x - senSx] «-o 3 - 3cos3x
Evaluando para x = O, resulta:
Seguimos aplicando la regla de L’Hospitai: 
D j2 se c^2 x-2 ]L = lím
L = lím
L = lím
D,[3 - 3cos3x] 
2(4sec2xsec2xtan2x) 
-3(-3sen3x)
8sec^2xtan2x
9sen3x
Evaluando para x = O, resulta: ^
Pero en vez de seguir aplicando la regla de
L'Hospital, podemos hacer lo siguiente;
2 tan 2x
L = I lim sec'2x—
9 x -o o s e n 3 x
3x
L = lim sec^2xlím9 x 3 x-o
tan2x 
2x 
o sen3x 
3x
L = l 6 y 1 x l - ^27 ^ ^ 1 - 27
38. Hallar el valor de;
L - lím I tan(1 - x ) + 1 sen(1 - x )
sen - sen1 
Resolución;
I = 1-.^ - x ) | + |s e n (1 - x ) |
x-o senx-s e n i
Sea; 1 - x = k= » x = 1 - k 
S i : x - » r = » x> 1 = > 0 > 1 - x 
Es decir: 1 - x < 0 = » k < 0 = » k - * 0 ”
_ , ^ |tank| + |senk|Reemplazando: L = lim —— ^ ^ ------- !-
k-o- sen(1 - k ) - seni
Como:
sen(1 - k) - seni =2cos( ~ '’ ^sen^^
sen(1 - k) - seni = 2cos(^ ^ *̂ |s e n |-- |
tanki-f-lsenk 
L = iim — ~
2cos 2 - k sen
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