Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (8)

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Expresiones 
algebraicas ü
Jean Le Rond D’AIembert nació y 
murió en París ( 16 de noviembre de 
1717-29 de octubre de 1783). Fue un 
matemático, filósofo y enciclope­
dista francés, y uno de los máximos 
exponentes dei movimiento ilus­
trado. D’AIembert recién nacido, 
fue abandonado en la puerta de la 
iglesia de Saint-Jean-le Rond (de ahí 
el nombre que se le impuso).
A los 18 años consiguió el título 
de bachiller en artes, después de 
varios años de estudio en una es­
cuela jansenista. Tras dos años de 
estudiar derecho empezó a cursar 
la carrera de medicina, que pron­
to abandonó. La gran pasión de 
D’AIembert fueron las matemáti­
cas. que había aprendido en for­
ma prácticamente autodidacta: 
en 1739, presentó su primer traba­
jo en la prestigiosa Academia de 
Ciencias de París. Dos años des­
pués. con tan solo 24 años de edad, fue elegido miembro de esa Academia.
Abordó la matemática a través de la física, con el problema de los tres cuerpos, la precesión de 
los equinoccios y ías cuerdas vibrantes. Esto le llevó a estudiar las ecuaciones diferenciales y las 
ecuaciones a las derivadas parciales. También inventó un criterio para distinguir una serie con­
vergente de una divergente. Su obra maestra fue el Tratado de dinámica, donde enunció el teo­
rema que lleva su nombre (principio de D’AIembert). El teorema fundamental del Álgebra recibe 
en algunos países de Europa el nombre de «teorema de D'Alembert*Gauss), dado que D’AIembert 
fue el primero en dar una prueba casi completa sobre dicho teorema.
Fuente: Wifeipedia
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<i CONCEPTOS PREVIOS 
Álgebra
Parte de la matemática elemental que estudia a las 
cantidades en su forma general, describe también los 
sistemas de operaciones que se llevan a cabo con las 
cantidades para detemiinar por medio de aquellas, 
oü'as desconocidas.
Notación matemática
Son formas de representar a ciertas expresiones para 
diferenciar la función que representa cada una de ellas. 
Para ello es necesario tener en cuenta los siguientes 
conceptos:
Constante
Por lo general es un valor numérico detemiinado que 
adopta los siguientes comportamientos:
Constante absoluta o numérica: son aquellas que no 
cambian de valor de un problema a otro.
Ejemplo:
V3 = 1,7320
rt = 3,1416 (aproximadamente)
Constante relativa o parámetro: es aquella cuyo valor 
se mantiene en una situación o probtema particular, pu­
diendo variar en otro. 
ejemplo:
• ax + b = O
2x - 7 = O
4x - 6 = O
/ parámetros o constantesN 
\^relatìvas J
8 = 2 
b = -7 
a = 4 
b = - 6
Variable
Es un valor arbitrario o desconocido, también se dice 
que representa a ia cantidad en forma generai. Se re> 
presenta siempre por letras. En consecuencia:
F(x; y) = 2x 2y® - 7y“ + 2x’
Se lee F está en función de x e y, o F de x, y.
1^ notación pennite diferenciar en una expresión las 
variables de las constantes, siendo esto de mucha im­
portancia.
Signos
Existen 3 clases de signos;
Signos de operación u operadores matemáticos
Símbolo Operación Resultado
+ Adición Suma
- Sustracción Resta
l^ultiplicación Producto
+ División Cociente
()" Potenciación Potencia
n/~ Radicación Raíz
Signos de relación
= para valores
s para polinomios
< > comparación algebraica entre polinomios 
> mayor que
< menor que
Signos de colección o agrupación
( ) paréntesis
11 corchete
{ } llave
— barra o vínculo
Leyes de signos 
Adición y sustracción
a + ( b - c ) = a + b - c 
a - ( b - c ) = a - b + c
Multiplicación y división
(+a)(+b) = +ab
(-a )(-b ) = +ab 
(+a)(-b) = -a b
(-a)(+b) = -ab
Potenciación
(+b)'’-‘‘“ '= +b"''*'
(_b)-"p» = +b".-p“
(+b)n.‘lmpar _ +br,.-»^r 
^ jn .’mpsr _ _^n.*im paf
Radicación
" ’“ VITb = i" (i: n.° imaginario)
a'Omp«^ =
^ EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Se denomina al conjunto de números y letras ligados
entre si por las diferentes operaciones aritméticas:
adición, sustracción, multiplicación, división, potencia­
ción natural o raíz aritmética en un número limitado de 
veces.
Ejemplos:
F(x; y) = 4x® - + 7 /
» P(x; y; z) = 3x^ + 72 ̂-
(+ ^) _ , a 
( + b ) -"b
(~~9) _ a 
( - b ) ■"b
(+a)
( - b )
(+ b )
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^ EXPRESIONES TRASCENDENTES
Denominados también no algebraicas ya que es un 
conjunlo de números y letras ligados entre si por las 
operaciones de adición, multiplicación, división, poten­
ciación, etc. en un número infinito de veces; o en todo 
caso ias que no estén incluidas en el caso anterior. En­
tre ellas tenemos:
Exponenciales: cuando su variable aparece en el ex­
ponente; 2"'''; a*; X*
Trigonométricas: cuando su variable está afectada de 
alguna función trigonométrica: senx; cosx; tanx; ... etc.
Logarítmos: cuando su variable está afectada de la 
función logaritmo Iogx; Inx.
Circulares: vienen a ser las funciones inversas a las 
trigonométricas más conocidas como las funciones ar­
cos: arccosx; arctan; arcsenx; ... etc.
Hiperbólicas: cuando su variable está afectada de las 
funciones hiperbólicas; seno hiperbólico (senh), coseno 
hiperbólico (cosh), ... etc.
Estas son bastante utilizadas en el cálculo superior.
<4 TÉRMINO ALGEBRAICO
Es aquella expresión algebraica donde no participan las 
operaciones de adición ni sustracción.
Ejemplos:
• A(x; y) = 2xV
• B(x; y; z) = 7xVz'
Partes de un término algebraico
j exponentes
F{x; y) - ^ x̂ ŷ
t 1—í------- partes literales o variables
--------------coeficiente
signo
Términos semejantes
Son aquellos que se caracterizan por tener las mismas 
parles literales afectadas de los mismos exponentes. 
Ejemplo:
S x^y^-yxV son términos semejantes 
2Vy®; 2’x V son términos semejantes 
-4x^y^; -4x^y^ no son términos semejantes
<4 CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES AL­
GEBRAICAS 
Por su naturaleza
Se clasifican de acuerdo a la forma en que sus expo­
nentes afectan a sus variables.
Expresión algebraica racional (EAR): los exponentes 
que afectan a las variables son números enteros. Esta 
a su vez puede ser:
• Expresión algebraica racional entera (EARE):
los exponentes son enteros positivos.
• Expresión albegraica racional fraccionaria 
(EARF): los exponentes son enteros negativos o 
también si aparecen variables como denominador.
Expresión algebraica irracional (EAI): es aquella 
donde al menos uno de los exponentes que afectan a 
las variables es fraccionario o también si aparecen va­
riables bajo radicales.
De lo expuesto anteriormente, podemos resumir el si­
guiente cuadro:
EXPRESIÓN SUBDIVISIÓN EXPONENTE
Racional
Entera
Fraccionaria
Irracional Fraccionario
Ejemplos:
• 3xV + 5xV - 4xz es una EARE
• 4 x ^ -x V + xz’ ' es una EARF
• -/2 X* - 4xV + z® es una EARE
• 3x^z - x’ 2̂ ̂ es una EARF
• x̂ + y"* + /̂z es una EAI
• x̂ '̂ + y“ - zVx + y es una EAI 
Por su núm ero de té rm inos
Pueden ser:
IVIonomios: cuando tienen un solo término.
Ejemplos:
• A(x; y) = 8x̂ y®
• F(x; y; z) = ( S x Y z
Multinomios: cuando tienen dos o más términos. 
Ejemplos:
. P(x; y) = 3x"y -h 2x^y" - 7x’ V
• F(x; y) = 4x ̂+ 2xy® - ®̂x + 2
Un caso particular de estos es el polinomio.
Polinom io
Es aquella expresión algebraica cuyos términos son to­
dos racionales enteros.
Ejemplos
• F(x; y) = x" + x" - 2y'
• P(x; y; z) = 3xy’ + 7xy“ - -/2xV
<4 VALOR NUMÉRICO DE LN POUNOMIO Y 
CAMBIO DE VARIABLES
Es el resultado que se obtiene a partir de un polinomio 
al reemplazar valores asignados a sus variables. 
Ejemplo:
Sea: P(x) = x̂ + 3x - 1
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