Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (83)

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78. S i l a e c u a c i ó n e n x ,
x - a + 3 _ ^ x - b - 1 _ x - a + 2 , x - b
x - a - f 2 x - b - 2 x - a + 1 x - b - 1
t i e n e i n f i n i t a s s o l u c i o n e s , h a l l a r e l v a l o r d e : a - b 
Resolución:
S e a ; x - a + 2 = m ; x - b - 1 = n 
R e e m p l a z a n d o : 
m + 1 n m n + 1
m n - 1 m - 1 n 
m + 1 m n + 1 n
m m - 1 n n - 1
m ̂- 1 - m ̂ - 1 - n̂
m ( m - 1 > n ( n - 1 )
m { m - 1 ) = n ( n - 1 ) = » m ^ - m = n ^ - n 
m ^ - = m - n
C o m o l a e c u a c i ó n t i e n e i n f i n i t a s s o l u c i o n e s : 
m ^ - n ^ = 0 A m - n = 0 
m = + n A m = n
L u e g o : m = n
P e r o : x - a + 2 = x - b - 1 a - b = 3
79. R e s o l v e r l a e c u a c i ó n : a { x + b ) = x + 
Resolución:
E f e c t u a n d o : _ _ _ _ _ _ _ _
a x + b a = X + ^ - f x b ^ - 
a x + a b - x =
H a c e m o s : x = - r -(1)
^ ( a - 1 ) + a b = ^ - ^
b(a - 1) + k̂ ab = k^b - bk
Simplificando:
a - 1 + k’ a = k̂ - k
a{k' + 1) = (k' - k + 1)
a(k + 1)(k" - k + 1) = (k̂ - k + 1)
a ( k + 1 ) = 1 = » k -
E n ( 1 ) : x = b a
■1 - a ( 1 - a )
80. S i : x , . X j , X 3 s o n r a i c e s d e l a e c u a c i ó n :
2 x = + ( m ' - 4 ) x - 1 = O
A d e m á s :
X ? + x ? + X , + X ¿ + X 2 + X 2 + X j + X 3 + X 3 = 1 
H a l l e m .
Resolución:
2 x ’ + { m ' - 4 ) x - 1 = O
P o r e l t e o r e m a d e C a r d a n o :
Xi + X2 + Xj = 0: X1X2 + XiXj + X5 X3 = m^ - 4;
X1X2X3 = 7J => Xl + X2 + X3 =
P o r d a t o :
X? + X? -r X^ + X? + X? + X?
2 ( m ^ - 4 ) =
. _ , /TT
X j + X3 = 1
.2 ^ 17
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 < tM 2011 - I)
Si las ecuaciones 2 / x + - = = 5yax^ + bx + 8 = 0 
/x
tienen las mismas raíces, hallar: a + b
A ) -34 B) -32 0 -30
D) -26 E)24
Resolución:
2x + = 5 ^ 2 ( / x f - 5{/x ) + 2 = 0
/x
2(/x - 1) (/x - 2) = O = X = - 1 V x = 4
Luego: | x - l j ( x - 4) = O 4x ̂ - 17x + 4 = 0
O bien; 8x ̂- 34x + 8 = 0 
Comparando: a = 8; b = -34 
a + b = -26
Clave: D
PROBLEMA 2 (UNI 2 0 1 1 - I)
S e ñ a l e e l m e n o r v a l o r p a r a x q u e d e s o l u c i ó n a l s i s t e m a 
s i g u i e n t e :
' 4x ' + y' = - 2 5 ^
I X I
A ) - 4 B ) - 3 
Resolución:
| 2 x - 3 | + y = 1 0
0 - 2 D ) - 1 E ) 0
4 x " f = - 2 5 - ,
C a s o I : X > O
C a s o I I : X < O
4 x ^ + = - 2 5
( n o t i e n e s o l u c i ó n e n I R )
2 x - 3 < - 3
4 x ' + y ' = 2 5 
- 2 x + 3 + y = 1 0
4 x ' + y " = 2 5 
y = 2 x + 7
. . . ( a )
P e n a : 4 x ^ + ( 2 x + 7 f = 2 5
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Resolviendo: x, = -2 ; 
Menor valor: -2
Clave; C
PROBLEMA 3 (UNI 201 2 - II)
En los siguientes sistemas cada ecuación representa 
un plano:
I. X - 3y + z = 1
-2x + 6y - 2z = -2 
- X + 3y - z = - 1
II. X - 3y + 4z = 2 
-4x + y + z = 3 
-3x - 2y + 5z = 5
Denotando por R Q y R los correspondientes planos, 
la interpretación geométrica de la solución de los siste­
mas 1 y 11 es dada respectivamente por:
B) 2 interpreta ambos sistemas
C )1 y3 D)2y3
E) 3 interpreta ambos sistemas
Resolución:
De:(l) x - 3 y + z = 1
-2 x + 6y - 2z = -2 ^ A, = O 
- X + 3y - z = -1
El sistema presenta tres ecuaciones equivalentes de 
donde se interpreta que su gráfica está representada 
por un mismo plano (2)
De (II): x - 3 y + 4z = 2
-4x + y + z = 3 => As = 0
-3 x - 2y+ 5z = 5
El sistema presenta infinitas soluciones para diferentes 
planos representado por (1 ).
Clave; A
PROBLEMA 4 (UNI 2 0 1 3 - 1)
El conjunto solución de un sistema de tres ecuaciones 
lineales con tres incógnitas x, y z es:
, x - 2 y - 3 z - 1x;y;z)/-
Si el punto (3; -2 : 5) pertenece al plano cuya ecuación 
lineal es una de las ecuaciones del sistema, y tiene la 
forma ax + by + cz = 15.
Determine dicha ecuación.
A) 23x + y - 11z = 15 B) -23x - y + 22z = 11
C) -23x+ 13y+ 22z = 15 D) 23x - 22y - z = -11 
E) -23x + 22y + 11z = 10
Resolución:
C S = | ( x ; y ; z ) / x - 2 y - 3 ^ U { 4 t + 2 ; 2 t + 3 ; 3 t + 1 }
En la ecuación lineal: ax + by + cz = 15 (plano)
Se tiene: Pq = (3; -2 ; 5) pertenece al plano.
También;
Si: t = O =» P, ={2: 3; 1);
t = -1 => P2 (-2 : 1; -2 )
Reemplazando Pq: P,: Pj en el plano:
3a - 2b + 5c = 15 
=» • 2a + 3b + c = 15 
,-2a + b - 2c = 15
Se obtiene: a = -23; b = 13; c = 22 
.-. -23x + 13y + 22z = 15
Clave:C
PROBLEMA 5 (UNI 20 1 3 - II)
Encuentre el conjunto solución de la ecuación 
x̂ - 257x" + 256 = O
A) {±2;±2i; ±4i; ±4}
C) {±4; ±2i; +2; ±1}
E) {±3; ±3i; ±4; ±41}
Resoluciónt
x® - 257x' + 256 = O 
Factorizando:
(x^- 256)(x" - 1) = O 
(x'+16)(x‘ -16)(x'-1)(x"+1) = O 
CS = {±4i; ±4; ±i; +1}
8) {±4; ±4i; ±1; ±i} 
D) {±1; ±i; ±3; ±3i}
Clave: B
PROBLEMA 6 (UNI 2 0 1 3 - II)
La siguiente figura da la idea de tres planos intercep­
tándose según la recta L, ¿cuát(es) de los sistemas de 
ecuaciones dados representa a la figura dada?
2x + 3y - z = 1 
- X + 5y -H 2z = 4 
X + 8y + z = 5 
X - y + 3z = -2 
-2 x + 2y - 6z = -4 
- X + y - 3z = 2 
2x - y + z = 3 
- X + 3y - z = 1 
X - 2y + 2z = 2
A) Solo I 
D)l, II y
B) 1 y III 
E) Solo
C) Solo
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Resolución:
En la figura observamos que la intersección de 3 planos 
diferentes es una recta, lo cual lo interpretamos como 
qué la solución de 3 ecuaciones con 3 incógnitas tiene 
infinitas soluciones. Por lo tanto:
I. Tiene infinitas soluciones y los planos son diferen­
tes (V)
II. Tiene infinitas soluciones pero dos ecuaciones se
grafican como un mismo plano (F)
III. Tiene solución única (F)
Solo I
Clave: A
PROBLEMA 7 (UNI 2 0 1 4 - 1)
Al resolver el sistema, 
íx [y
X - y = 12
„(1)
-(2)
Se puede obtener soluciones enteras para x y para y; 
luego y es igual a:
C)4 D)2 E)1
(3)
(4)
A) 16 B)8
Resolución:
De(1): x̂ + ŷ = 3 4 ^
De (2); ( x - y f = 1 2 "
+ ŷ - 2xy = 144
Reemplazando (3) en (4);
34 /xy-2xy = 144 == /xy" - 17/3^ + 72 = O 
- 9 ) 0 ^ - 8) = O 
/xy = 9 ^ / x y - 8
xy = 81 xy = 64
Se tiene:
y = 4
X - y = 12 
xy = 81
X - y = 12 
xy = 64
no hay soluciones 
enteras
= »x= 1 6 A y = 4
Clave; C
PROBLEMA 8 (UNI 2 0 1 4 • II)
Halle los valores de x e y, respectivamente, tales que: 
ax + py = -1 
( p - 1 ) x + (a + 1 )y=3 
Además se cumple que:
a + 3p + 1 = 3 a + p - 1 = a " + a - p ' + p í ¿ 0
A)Oy 1 B) 1 yO C) 1 y -1
D ) - 1 y 1 E)1y1
Resolución;
Por Cramer;
P
D. =
p - 1 a + 1
- 1 P 
3 a + 1
= + a -
= - a - 1 - 3p
a - 1 
- 1 3 = 3a + li - 1
Por dato;
K = a+ 3p + 1 =3a + p - 1 = a ^ + a -
D K
. . _ D , 3 a + p - 1 K . 
^ D , K K
X = -1; y = 1
Clave: D
PROBUMA 9 (UNI 2 0 1 4 - II)
Considere a > b > O, determine el cociente entre la 
menor y mayor de ías raices de la ecuación en x.
1 + 1 + 1 = — _̂__
X a b x + a + b
B)b/aA) a/b 
D)a + b
Resolución;
Efectuando:
l + l + ¿ =x a b
E)1
1
x + a + b 
x + a + b - x /a + b
ab
C) ab
 1 = -1 1 + 1 ]
x + a + b la b /
a + b / a + t
x(x + a + b)
ab = -x(x + a + b)
(x + a)(x + b) = O =
Por dalo:
a > b > 0 ; - a < - b < 0 
Entonces:
min(x) = -a ; máx(x) = -b
x(x + a + b)
> x̂ + (a + b)x + ab = O 
X = ~a A X = -b
ab
Clave: A
PROBLEMA 10 (UNI 2 0 1 5 - 1)
Determine el conjunto solución del sistema de ecuacio­
nes no lineales:
+ / - 2x - 2y + 1 = O ,,,(1)
x̂ - 2x - y + 1 = O ...{2)
A) {(3,1), (1,1), ( -1 ,-1 ) } B) {(2,-2), (2,1), (1,1)}
C) {( -rO ), (1,1), (1,2)} D){(1,0). (0,1), (2,1)}
E) {(1.-1), (1,0), (2,-1)}
Resolución:
De (2); ( x - 1)̂ = y
En (1):
(x - 1)" + y' - 2 y = O 
^ ŷ - y = O
y = O V y = 1 
(x - 1 )^ = O (x - 1)̂ = 1 
x = 1 X - 1 = 1
X = 2
CS = {(1;0); (2:1); (0;1)}
y + / - 2y = O
X - 1 = -1 
X = O
Clave; D
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PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Determinar la solución de la ecuación:
x + a x - a _ X + b ̂ 2(x - b)
a - b a + b a + b ( a - b )
A) 2a B) 2b C) 3a D) 3b2. Calcular el denominador de la raiz en:
5.
E) 4a
A) a 
D)c
B)b C)abc
D) c E) a + b + c
3. Hallar el producto de las raíces de la ecuación: 
V x + 3 - V x - 2 = 5
A) O 8 ) 2 4 0 - 3 6
D) No tiene raíces E) x = 6 es su única raíz
4. Resolver:
A) 4,5 
D)2,75
Resolver: 
ax b
8)2,24 
E) 3,45
a + b 
A) a
D) + ab - b
3 = _ 1 + - i i _
a - b a + b
B)b
E) a/b
O 1.65
ax
a - b
C) a + b
Hallar la solución de la ecuación: 
3
1 1 1
t X - 1 - 1 - 1 - 13 3 3 3
A) 63 
D) 338
8)243 
E) 633
-1 = O,
O 369
Dado el sistema de ecuaciones;
5x - 2y = m 
x + 9y = m
hallar el valor de m para que x exceda en 7 a y.
A) 40 B) 47 C) 53
D) 55 E) 63
Dado el sistema de ecuaciones:
1 + 1 + 1 ^ ^ x y z 36
xy + yz + zx = 2
hallar el valor el producto xyz.
A) 9 8)18 0 36
D)72 E )144
Si en el sistema de ecuaciones: 
ax + y + z = 1 
K+ ay + z = a
x + y + az = a
a ^ 1 ; a ^ - 2 , hallar el valor de y.
A ) -
0)
a +1 
a + 2 
1
a + 2
B)
E)
1
a + 2
a^+ 1
a + 2
C) a + 2
10. En ef sistema de ecuaciones: 
nx - 6y = 5n - 3
2x + (n - 7)y = 29 - 7n
determinar el valor de n para que el sistema sea 
imposible.
A)1 8 )2 0 3
D)4 E)5
11. Luego de resolver el sistema: 
x + y = y + z + 4 = z + x - 8 = 6 
determinar (x - y + z).
A) 15 8)16 0 1 7
D )20 E) 25
12. Determinar los valores de "a" de manera que el sis­
tema tenga solución:
X + ay = 1
_ _ 2ax + y = a
A) a € 5R 
O a e m - {1} 
E) a e E"
B) a e IR - { - 1 } 
D ) a e E - {-1 ,1 }
13. Determinar los valores de "a" para que el sistema 
lineal tenga soluciones positivas,
X + ay = 1 
X - y = 2
A)IR B ) ( - oo;0 ) 0 ( - ^ - 1 )
D )(-oo;1) E)(-oo]M2)
14. Al resolver el sistema lineal;
(m ̂- 1 ) x + {m + 1 )̂ y = m - 1 
(m + 1)x + (m - 1)y = m + 1
De los siguientes enunciados;
I. As + Ax + Ay = -2m(3m + 5)
II. Si m = O el sistema es incompatible.
III. Si m= -1 el sistema es indeterminado.
Indicar cuál(es) es (son) correcta(s).
A) Solo 1 8) Solo II O Solo III
D ) l y l l l E) II y III
15. Dado el sistema lineal: 
ax - y = 2 - a
2x - (a + 1 )y = 2, a e IR
y dados los siguientes enunciados:
I. SI a = 1 el sistema es indeterminado.
II. SI a = -2 el sistema es incompatible.
Ili. Si a ^ O el sistema es compatible.www.full-ebook.com