Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (11)

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Grados
Simón Stevin (1548-1620) también 
conocido como Simón de Brujas 
o Stevinus (forma latinizada de su 
nombre) íue un matemático, in­
geniero militar e hidráulico, cons­
tructor de molinoy fortificaciones, 
semiólogo, contable e intenden­
te neerlandés. Se le considera el 
padre de los números negativos 
por ser el primer matemático que 
los aceptó como resultado de ias 
ecuaciones algebraicas.
Se conoce muy poco sobre su 
vida privada, incluso la fecha 
exacta de su nacimiento y la fe­
cha y lugar de su muerte son des­
conocidas. Se sabe que fue criado 
en la fe calvinista y que al morir 
en 1620 dejó esposa y dos hijos, se 
ha supuesto que no llevaba exce­
sivo tiempo casado con ella dada 
la juventud de estos.
A sus 37 años, publicó La aritmética de Simón Stevin. de Brujas, breve tratado sobre las fracciones 
decimales. En él, Stevin exponía con suma claridad el empleo de fracciones decimales para la ex­
tracción de la raíz cuadrada de un número. También introdujo una nueva notación para describir los 
números decimales, de escaso éxito dada su complejidad trente a otras más compactas. Otra gran 
apxDftación de Stevin fue la de la noción de número, pues hasta entonces los matemáticos descono­
cían que el número implicaba la unidad, pertenecientes a una misma naturaíeza y. por tanto, divisi­
bles. Destacó, además, por ser el primer matemático que reconoció la validez del número negativo.
Fuente: Wifeipedia
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^ DEFINICIÓN
Es una característica atribuida a (os exponentes de las 
variables; esto significa de que el grado es un número 
natural.
^ CLASES DE GRADOS 
Grado relativo (GR)
Está referido a una sota variable y se calcula de la si­
guiente manera:
En un monomio; el grado relativo de una variable es el 
exponente de dicha variable.
Ejemplo:
M(a; x; y) = 3 'a 'bV y” z' = GR(a) = 7 a GR(x) = 5
En un polinomio: el grado relativo de una variable es 
el mayor exponente que presenta dicha variable en uno 
de los términos del polinomio.
Ejemplo:
P(x; y; z) = - - /2 x '\V + | x ” y V
^ GR(x) = 13; GR(y) = 9; GR(z) = 10 
Grado absoluto (GA)
Está referido al conjunto de todas las variables; y se 
calcula asi:
En un monomio: el grado absoluto es la suma de los 
exponentes de las variables.
Ejemplo:
Sea el monomio: M(x; y; z) = a V y V 
Entonces: GA(lvl) = 8 + 5 + 4 = 17
GA(M) » GROí)J:
En un polinomio: el grado absoluto es la mayor suma 
de exponentes de variables obtenida en uno de sus tér­
minos.
Ejemplo: Sea el polinomio:
25 26 24
R(x; y; z) = /3 x Y x ” - 7 ^ 9 ? + l l x ^ ’V 
GA{R) = 26 
Ejemplos:
1. Si:GA(P)=11
GR(x) - GR(y) = 5; P(x; y) = 4 V " V 'z " '"
Hallar: mn
Resolución;
n + 3 + m - 2= 11 = m + n = 10...(I) 
n + 3 - m-i-2 = 5=> m = n ...(II)
de (I) y (II): m = n = 5 .-. mn = 25
2. Hallar “n” si la expresión:
M(x) = es de grado 22,
Resolución:
Simplificando la expresión se tendrá:
 33n
M(x) = 2V(® V^") = 2Vx®0
Luego, por condición: -|^n = 22 n = 40
3. Hallar la suma de los coeficientes del trinomio ho­
mogéneo:
P(x; y; z) = (m + n)x™" + (m̂ - n")y"" -
(m + n)z""'
Resolución
Por concepto de polinomio homogéneo; 
m” = n"’ = m"’ ■ " 
m" = m™”" => 2n = m 
m" = n'" ^ (2n)''" = n""
De donde: n = 2 => m = 4
Suma de coeficientes:
m + n + m" - n̂ - (m + n) = m" - n"
= 4" - 2' = 12
4. Oalcular “n" en la siguiente expresión:
M = xyz + 2xVz^ + 3x^'z^ + nxV"z^"
Si: GA(M) = 12
Resolución:
Observamos que el polinomio está ordenado y el 
GA está expresado por su término de mayor grado, 
luego la única posibilidad es: 
n + 2n + 3n = 12 .. n = 2
5, Hallar m + n, si el polinomio:
P(x; y) = 5x'™. 2« * lyo, - «. 3 ^ ^ ^̂3
7x"
es de GA(P) = 41 y además el GR(x) es al GR(y) 
como 5 es a 2,
Resolución;
De los datos:
• GA(P) = 41 ^ 4m + n + 7 = 41 
4m + n = 34 ..,(1)
, GR(x) 5 3m + 2n + 2 5
GR(y) 2 ° * m -n + 6 2
m + 9n = 26 .,,(2)
4(2) - (1) :n = 2 a m = 8 m + n=10
6, Si el término independiente y el coeficiente princi­
pal del polinomio:
P(x) = (x" - 3x + 5){6x" - X + n)(2x" + x" + n + 1) 
(lOx"-’ - Sx" - 1); (n > 1) 
son iguales. Hallar el grado de P(x).
Resolueiónr
Por dato; coef pnnc.(P) = Ti(p)
Del polinomio; (1)(6)(2)(-5) = (5)(n)(n + 1){-1)
=» n(n + 1) = 3 x 4 =» n = 3 
Se pide: GA(P) = 2 + 3 + 4 + 3 
GA(P) = 12
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Grado de multiplicación de polinomios 
Sea: P = P, x Pj x ... x P„;
Donde;
GA(P,) = a,; GAíPj) = aj: GA^Pj) = 83; ...; 
GA(P„) = a„.
Entonces; GA(P) = a, + a, + a, + ... + a„
■^TT2rin’ ®sde:GR(x)=l9 a GR(y) = 22
y ^
calcular: b + 2a 
Resolución:
Dato: GR(x) =19 =» 2a - 1 - (2b - a) = 19 
2a - 1 - 2b + a = 19 => 3a - 2b = 20 ...(1)
También: GR(y) = 22 
2b - 1 - (1 + 2a) = 22
2b - 1 - 1 - 2a = 22 ^ 2a - 2b = -24 ...(II)
De (I) - (II), se tiene: a = 44 
En (II): 2(44) - 2b = -24 ^ b = 56 
Se pide: b + 2a = 56 + 2(44) = 144
8. Sean 2 polinomios: P(x); Q(x) donde se tiene que 
[GA(P) - GA(Q)]
Si el grado de: es 12, y el grado de
es 2, determinar; GA(P).
Resolución:
El grado de es 12
Sea: GA(P) = a a GA(Q) = b
Como: GA(P) > GA(Q) ^ 3a - b = 12 ,,,(1)
Como el grado de es 2
a + b — 2 => a + b — 8 (11)
De(I)y(ll): a = 5 a b = 3 .•. GA(P) = 5
Sea P un polinomio, GA(P) = a 
Entonces; GA((P)"] = an
9. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo: 
P(x; y) = x" + x" ■ 'y ' + x" ’ V + • para que sea de 
grado 45 con respecto a y?
Resolución;
C om o es hom ogéneo e l ú ltim o térm ino es de la 
forma:
Luego, el número de términos podría observarse 
en el polinomio:
X + xn-3,,3(1) + X 6y3|2) + X'n - 45y3(15)
De donde se puede apreciar que el número de 
términos será: 15+1 = 16
10. Hallar el grado de:
P(x) = (x" + 1)(x’® + 2)(x"® + 3)(x"’ + 4) ...
12 factores
Resolución:
P,(x) = x’ ' + 1; P2(x) = x’ * + 2; p 3(x) = x̂ ® + 3; 
P,(x) = x^' + 4: ... ; P,2(x) = x" + 12 
^ GA(P,) = 11; GA(Pj) = 19; GA(P3) = 29;
GA(P,) = 41;... ;G A(PJ = a,2 
Vemos la sucesión;
t. por sucesiones; 
t„ = 7n̂ - 13n + 17
t, t̂ tj t,
11; 19; 29; 41^
+ 8 + 10 +12 
+ 2 + 2 
Luego:
GA(P) = 11 + 19 + 29 + 41 + ... + a
GA(P) = [7(1)' - 13(1) + 17] + [7(2)' - 13(2) + 17] +...
+ [7(12) ̂- 13(12) + 17] 
GA{P) = 7(1 ̂+ 2̂ + ... + 12') - 13(1 + 2 + ...
+ 12)+ 17x 12 = 3740
11. Hallar el grado absoluto del monomio;
M(x; y) - xy
T/xy
xy
Resolución:
M(x; y) = (xy)" ^ 1 xy'"\
xy \ xy"̂ /
M(x; y )^ (xy)"’ - ’ ' ' - i ’ (xy)"
M(x; y) = (xy)’ (xy)-^ = (xy)̂ = x Y 
.-. GA(M) = 8
12. Sabiendo que el grado de P(x) y Q(x) son m y n 
respectivamente. Hallar el grado de:
[P'(x)Q^(x) + P'(x)Q^(x)j; m > n 
Resolución:
El grado de: P^(x)Q'(x) es 3m + 2n 
El grado de: P (̂x)Q (̂x) es 2m + 3n y m > n 
Como el grado de P'(x)Q'(x) es mayor que el grado 
de P'(x)Q^(x) el grado de:
[P’ (x)Q (̂x) + P^(x)Q'(x)] es 3m + 2n
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a P R O B L E M A S RESUELTOS Q
1. Hallar la reducción de;
G(x; y) = 2mx" ’ ""y" ’ ̂ ^ mni¿ O
Resolución:
Para que sea reductible, los términos tienen que 
ser semejantes.
2 = m - 2 n A m - 3 = n + 2=>n = 3 a m = 8 
G(x; y) = 2(8)xV + 3(3)x"y' = G(x; y) = 25xV'
2. Hallar el grado absoluto de J, donde:
-5x ''-^y^ '
Sabiendo además: 6 < GR(x) < 12 
Resolución;
Como “n” es positivo: GR(x) = n + 2 
Además: n - 5 > 0 =» n>5;
También: 4 debe ser entero, entonces “n" es 4 4
6 < n + 2 < 1 2 = f 4 < n < 1 0 
Como: n > 5 y n es 4 => n = 8; en J:
J(x: y) = 3xV - x V - 5x'°y'
.-. GA(J) = 17
3. Sabiendo que at reducir la expresión:
F(x;y) = 2 ^ „ ^ , ^
Representa un monomio en el cual se cumple: 
= 20; según esto, hallar n/m.GR(y)
Resolución:
F(x; y) = 2
m + r
X
F{x; y) = 2(x™y")^‘ " =
10
GR{x) _ on . + n)
n(m + n)
GR{y)
^ ^ 2 0 ^ - n - ^ 1 68m m
4. Determinar el grado de:
(X ^.2)n -2
= 20
M(x; y) =
(x"y''+ llíx""
Resolución:
El grado de (x" ’ - 2 2y
El grado de (x"y"' + 1 ) es 2n 
El grado de (x" es (n + 1 )"
El grado de M(x; y) es: {n + - [{n+1)" + 2n]
Y debe ser mayor o Igual que cero 
n" + 4n + 4 - (n̂ + 4n + 1)
El grado de M(x; y) es 3
5. Qué valor debe tener “n’’ para que la expresión 
adjunta:
. sea de segundogrado.
Resolución:
De la expresión;
l ( - 1 ) 3 - 1 | 3 - n 2 7 - 1 2 - n i 5 - n
x(x) = X = X
Como es de 2,° grado: ̂ = 2 => n = -39
6. En el siguiente polinomio:
M = 2 x Y ’ ’ + Sx^'^'y" - 7x"' - V •" + x"” y * ’ 
el grado relativo con respecto a x vale 12, siendo 
el grado absoluto del polinomio 18, Hallar el grado 
relativo con respecto a y
Resolución:
De la expresión; el mayor exponente de x es m + 3. 
Como GR(x) =12=»m + 3 = 12=»m = 9 
El término con mayor grado es: x"" y •" ’
Como: GA(M) =18 => m + 3 + n + 1 = 18 =» n=5
En la expresión: 2x®ŷ + 3x 'V ~ 7xV + x’V
Por lo tanto: GR(y) = 7
7. En el polinomio:
F(x; y) = 4x^^"-y-= + 7 x """ "y -^+
Se verifica que la diferencia entre los grados 
relativos a x e y es 5, además que el menor 
exponente de y es 3, Hallar el grado absoluto del 
polinomio
Resolución:
De la expresión:
GA(x) = m + n + 5 a GA{y) = m + 2;
(m + n + 5 ) - ( m + 2) = 5 => n = 2
El menor exponente de y es: 
m - 4 = 3=>m = 7
F(x; y) = 4xY + 7 x ' Y + 2 x Y GA(F) = 17
8. De: P{x; y) = x"’ V " ‘ 
Calcular el GA mínimo:
+ x" ̂ Y - (xy)*
Resolución;
Como el grado es (+); también para que el grado A 
sea mínimo debe de tener el grado cero; 
x = - y - ' = GA[P(x; y)] = 2(3 - 7) = O ^ a = 7 
P(x; y) = xy'" + x®y* - 1 
GA[P(x; y)j = 13
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