Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (117)

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Relaciones
y
Funciones
O
o
Leonhard Paul Euler nació en Ba- 
silea (Suiza) ei 15 de abril de 1707 
y murió en San Petersburgo (Ru­
sia) el 18 de septiembre de 1783.
Fue un matemático y físico suizo, 
reconocido com o el principal 
m atem ático deí siglo XVIII y uno 
de los más grandes y prolíficos de 
todos los tiempos. Vivió en Rusia 
y Alemania la mayor pane de su 
vida y realizó importantes descu­
brimientos en áreas tan diversas 
com o el cálculo o la teoría de 
grafos. También introdujo gran 
parte de la m oderna terminología 
y notación matemática, particu­
larmente para el área del análisis 
matemático, com o la noción de 
función matemática.
Euler introdujo y popularizó va­
rias convenciones referentes a la 
notación en los escritos matemá* 
ticos en sus numerosos y muy utilizados libros de texto. Posiblemente, io más notable fue la 
introducción del concepto de función matemática, siendo el primero en escribir í(x) para hacer 
referencia a la función f aplicada sobre el argumento x. También introdujo la notación m oder­
na de las funciones trigonométricas, la letra «e» com o base del logaritmo natural o neperiano 
(el núm ero «e» es conocido también com o el núm ero de Euler). Ia letra griega I com o símbolo 
de los sumatorios y la letra «i» para hacer referencia a la unidad imaginaria; además del uso 
de la letra griega n para hacer referencia al cociente entre la longitud de la circunferencia y la 
longitud de su diámetro.
Fuente: Wibipedia
SuiM.'7 0 7 -Rusia, 1783
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^ DEFINICIONES PREVIAS 
Producto cartesiano
Dados dos conjuntos no vacíos Ay B, el producto carte­
siano de ambos se denota por A x B y se define como 
el conjunto de pares ordenados, cuyo primer elemento 
pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al 
segundo conjunto, así: A x B = {(x; y) / x e A a y e B} 
Por ejemplo, sean los conjuntos: A = {1 ; 2}; B = {3; 4; 5} 
El producto cartesiano A x B será:
AxB- { ( 1 ; 3 ) ; (1;4); (1;5); (2; 3); (2; 4); (2; 5)} 
Como también, puede establecerse el producto carte­
siano B X A, y este será:
B X A = {{3; 1 ); (3; 2); {4; 1 ); (4; 2); {5 ; 1}; (5; 2)}
Graficándolos se tendrá:
B
5 ■ • 
4 • • 
3 • •
Ax B
2 
1 +
H— I— I— I—1_
1 2
BxA
H—I—h
1 2 3 4 5 B
De donde puede concluirse que; A < B B<A 
<4 REUCIÓN
Dados dos conjuntos no vacíos A y B, se llama relación 
binaria de A en B a todo subconjunto R del producto 
cartesiano A < B.
O sea: R es relación deAe n B» R c A x B
Determ inación de una re lación
Como una relación es un conjunto se determina por ex­
tensión o por compresión.
Por extensión; nombrando cada uno de los pares de 
la relación.
Sea: A = {1:2} a B = {3; 7}
Se sabe que: A x B = {(1; 3); (1; 7); (2; 3); (2; 7)} y 
como una relación de A en B es cualquier subconjunto 
de A x B y en este caso A x B tiene 2̂ subconjuntos (16 
conjuntos), entonces es posible obtener 16 relaciones 
binarias diferentes de A en B. Veamos para el ejemplo 
mencionado.
R, = 0 
R .-{( i;3 )}
R3-í(1;3); {2; 7)}
R ,-í(2 ; 3): (2; 7)}
R, = A X B
Si A tiene m elementos y B tiene n elementos, existirán 
2'” * " relaciones diferentes de A en B.
Por comprensión; expresando un enunciado abierto P, 
tal que para todo (a; b) g Ax B; P sea una proposición, 
31 P es V =» (a; b) g E 
Si P es F => (a; b) e IR 
Ejemplo:
Se tiene el conjunto formado por 5 automóviles de mar­
cas {m<; m̂ ; mj; m̂ ; mj} y el conjunto formado por las 
cantidades de gasolina consumidas por cada automóvil 
en 100 km, que representaremos por: {C,; C2; C,: Ĉ ; C5}, 
respectivamente. Definir por extensión la relación que 
hace corresponder a cada marca de automóvil la canti­
dad de gasolina consumida por el en 100 km.
Resolución;
El conjunto de pares que define la relación por exten­
sión es; {(m,; CO; (m̂ ; Ĉ ); (mj; C3); (m,; C,): {m;; C5)}.
' A veces los dos conjuntos que están relacionados se > 
I confunden, es decir que se establecen relaciones o -■ 
I correspondencias entre elementos de un conjunto y < 
I elementos del mismo conjunto. '
Ejemplo:
Dado un conjunto de personas, podemos hacer corres­
ponder a cada persona del conjunto las personas del 
mismo que sean más altas que ella.
Resolución;
Supongamos que hay 5 personas, que ordenadas de 
la más pequeña a la más alta las representaremos por 
Pii p2Í P3; P4; Ps- La relación definida queda determinada 
por extensión mediante el siguiente conjunto de pares:
{(Pi; P2): (Pi; P,); (p ,; p *); (p ,: p )̂: (p :̂ p )̂; (p ;̂ P4): (p ;̂ p )̂:
{P̂ ; P4); (P3: P5); (P4: P,)}
<4 FUNCIÓN
Es un conjunto no vacío de pares ordenados(x; y) for­
mado por la correspondencia de dos conjuntos, tal que 
dos pares ordenados diferentes no pueden tener el 
mismo primer elemento; caso contrario el conjunto de 
pares ordenados representa a una relación.
Ejemplos:
f = {(2; 3); (4; 5); (5; 7)} es una función, 
g = {(2; 1); (3; 1); (4; 1)} es una función, 
h = {(1; 2); (2; 3); (3; 4): (1; 5)} no es una función; es una re­
lación porque existen dos pares ordenados distintos 
que tienen un mismo primer elemento, 
m = {(3; 2); (3; 4); (3; 5)} es una relación.
Por lo general, las funciones se denotan por letras tales 
como: f; g; h; F; G; ... , etc.
« DOMINIO Y RANGO DE LIMA FUNCIÓN
Al conjunto formado por los primeros elementos de los 
pares ordenados se les denomina dominio de la fun­
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ción y rango al conjunto que tiene como elementos las 
segundas componentes de los pares ordenados.
Por ejemplo: sea f = {{2; 3); (4; 7); (5; 9)}
El dominio de f denotado será: Domf = {2: 4; 5}
El rango de f denotado será: Ranf = {3; 7; 9}
<4 FUNCIÓN DE VARIABLE REAL
Es una función que tiene la siguiente regla de corres­
pondencia:
y = f(x) o y = F(x)
en donde su dominio esté en IR y su rango también esté 
formado por números reales.
Es necesario precisar que V representa la variable in­
dependiente y al conjunto de valores que puede tomar 
se le designará como el dominio de f (Domf), a su vez 
“y” representa la variable dependiente y al conjunto de 
valores que puede tomar se le designará como el rango 
de f (Ranf).
Sea: f - {(x; y) / y = f(x)}
Donde: y = f(x) —► regla de correspondencia
v a r ia b le
d e p e n d ie n te
v a r ia b le
In d e p e n d ie n te
Además: Domf = {x / y = f(x)} a Ranf = {y / y = f(x)} 
Ejemplos:
1. Indicar cuáles de los siguientes conjuntos, repre­
sentan una función:
A = {(2; 3); (3; 3); (4; 3); (4; 5)}
B = {(2; 3); (2; 3); (2; 3): (3; 3)}
C = {(a; a^)/a = -1; 0; 1; 2}
D ={(a'; a) /a = -1; 0; 1;2)
Resolución;
El conjunto A no representa una función, ya que 
hay dos pares ordenados distintos que tienen igual 
primer elemento.
El conjunto B puede también escribirse:
B = {(2; 3); (3; 3)} es una función.
El conjunto C estará expresado por:
C = {(-1; 1); (0; 0); (1; 1); (2; 4)} es una función.
El conjunto D puede escribirse:
D = {(1; -1); (0; 0); (1; 1); (4; 2)} no es una función,
2. Indicar la regla de correspondencia, el dominio y 
rango en;
Resolución;
Un elemento de B es igual a un elemento de A au­
mentado en 2- Se puede denotar:
y = 9(^) = X + 2 => regla de correspondencia 
donde: x e A; y e B 
Dominio; Domg = (1:2; 3; 4}
Rango: Rang = (3; 4; 5; 6}
3. Si f(x) = x - 1, dondex = -1; 0; 1; 2; 3, 
determinar: 
i. El conjunto f
II. Domf n Ranf
III. f(0);f(1); f(5);f(7)
IV. Gráfica del conjunto f
Resolución;
I. Sabemos que: f(x) = x - 1 
luego: y = f(x): y = x - 1
como: X = -1: 0; 1; 2; 3 a y = -2; -1 ; 0; 1; 2 
además: f = {(x; y) / y = x - 1}
f = {(-1 ;-2); (0;-1);(1;0); (2; 1); (3; 2)}
II. De lo anterior se deduce que:
Domf = {-1 :0 : 1:2; 3}
Ranf = {-2; -1 ; 0; 1;2}
Domf n Ranf = {-1; 0; 1:2}
III. Como f(x) = X - 1, entonces:
f (0)=-1
f(5) = 3 ya que 5 no se encuentra en el Domf 
f(7) = 3
IV. La gráfica de f será;
y
4. Dada la función;
f - { {2 ; 6 ):(1 ;a -b);(1 ;4 ); (2; a + b); (3; 4)} 
determinar a y b.
Resolución;
Para que sea función debe cumplirse;
a + b = 6 
a - b = 4
•(1)
(2)
Resolviendo (1) y (2): a = 5 a b = 1
5. Dada la función;
f - { ( 2 ; 2); (4; 3); (2;¡a+1|); (4; |b-1| ) ; (5;V^);
( 6 ; /T ^ ) }
determinar:
1. a + b II- Domf n Ranf III. Domf - Ranf 
Resolución;
Para que sea función debe cumplirse:
|a + 1| = 2 A |b - 1| = 3 
Sabemos por definición que;
a O
1̂1 X = a V X = -a
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