Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina-11

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Ahora:DuE = { - 1 ;0 :1 ;3 ;4 ; 5} 
n (DuE) = 6
5. Dados los conjuntos;
U = {-2 ; -1 ; 0; 1; 2; 3; 4}; A = {0; 1; 2; 3}
B = { -2 ; 0; 2; 4}; F = {x e U / x í A v x í B}
G = { x e U / x e A =»xeB }
Hallar el número de elementos de F - G. 
Resolución:
F = { x e U / x í A v x í B }
{X e U / X e A' V X £ B'} = A' u B' 
G = { x e U / x e A =» x e B ) = (p =»q) = (~pvq) 
q
= { x e U / ~ ( x € A ) v x 6 B }
= { X € U / X ^ A V X € B }
= { x G U / x e A ' v x e B } = A’ uB 
Ahora:
F - G = F n G' = (A' u B') n (A' u B)’
= (A' u B') n (A n B')
[(A' u B') n A] n B' = B’ n A = A - B 
F - G = {0 :1; 2; 3} - { - 2 ; 0; 2; 4} = {1; 3} 
n(F - G) = 2
6. SI M = n.° de afirmaciones verdaderas; N = n.° de 
afirmaciones falsas; y sean las afímiaciones:
I. El conjunto universal es único para todos los 
conjuntos.
II. Si A d B entonces B A.
III. Para cualquier conjunto A se cumple A c A.
IV. Si se cumple que A <£ B entonces podemos 
afirmar queA^B.
Determinar: M - N.
Resoiución:
I. El conjunto U es único (V)
II. Si ACE B=» B cc A. Por ejemplo, sean: A = {1:2} 
A B = {2}; donde ACB, pero vea que B c A (F)
III. V A c U ; A c A (V)
IV SiAcTB =» 3xeA/x§ÉB (V)
=» A # B
Luego: IWI = 3 a N = 1 I ^ - N = 2
7. Si se sabe que:
A = {3m + n - 11; 4m - 4}
B = (5m + 2n - 3; 4} son conjuntos unitarios, 
¿cuántos elementos tiene;
R = {m + n: 2m + n + 1: mn + 11; 2n - 7; 4 - m} 
Resoiución:
A - {3m + n -11: 4m - 4};
B = {5m + 2n - 3; 4}
Son unitarios, entonces;
3m + n - 1 1 = 4 m - 4 a 5m + 2 n - 3 = 4 
» m = n - 7 A 5m + 2n = 7 
Resolviendo: m = -1 a n = 6
Reemplazando en R = {5; 5; 5; 5; 5} = {5}
R tiene 1 elemento.
8. Sean a, b€®ta l que bes el menor posible. Sean A 
y B conjuntos tales que B # 0 ; A u B es el conjunto 
unitario.
A = {a ̂+ 2b; a + 2b + 2}
A u B = {-5 /4 a + 3b*; 3a + 4b + 3}
Hallar AnB.
Resolución;
B?É0 A A u B e s unitario a 
A = {a ̂+ 2b; a + 2b + 2} 0
= » A = B = A u B = A n B y todos son conjuntos 
unitarios. Luego;
De A: â + 2b = a + 2b + 2 
=» a * - a - 2 = 0 =» a = 2 v a = -1
DeAuB: - 4 a + 3b* = 3a + 4b + 3 
4
Sla = 2 ; - | + 3b' = 6 + 4b + 3 
=» 6 b ^ - 8 b - 2 3 = 0 =» b í Q
Si: a = -1: 4 + 3b^ = - 3 + 4b + 3 4
« 12b^-16b + 5 = 0
K - 1 K - 5^ b - 2 -b g
Como b es el menor posible: b = 1 
Luego: A n B = A = {2}
9. Dado el conjunto unitario: A = {a + b; a + 2b - 3; 12}. 
Determinar el valor de T = a ̂+ b*.
Resoiución:
A = {a + b; a + 2b - 3; 12} es unitario 
^ a + b = a + 2b -3 = 12 
De donde: a = 9 a b = 3 
T = + b̂ = 90
10. Dados los conjuntos;
A = {1; 2; {1; 2}; 3} A B = {{2; 1}; {1; 3}; 3} 
Haliar el conjunto {(A\ B) n B] u (B \ A).
Resolución:
A={ 1 ;2 ; 3; {1;2}}
B = {3; {1:2}; {1;3}}
A \B = A - B = {1;2}
(A \ B) n B = 0; pues 1 ^ B a 2 í B 
B \ A = B - A = {{1;3}}
Luego; [(A \ B) n B] u (B \ A) = 0 u {{1: 3}} = {{1 ; 3}}
11. Sea A = {2; 3; {2}; {3}; (2; 3}; 0 ; { 0 } }
De las siguientes proposiciones ¿cuántas son co­
rrectas?
I. {2; 3} g A II. 0 C A
lll.{0 }c P { A ) I V { 2 : 3 } c A
V 0 e A Vl.{2; 3; {3} } eP(A)
Resoiución:
A = {2: 3: {2}; {3}: {2; 3}: 0 ; {0}}
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1. {2; 3} es un elemento de A, por (V)
lo que {2; 3} e A
II. V A e U : 0 cA ÍV)
III. Como 0 c A =» 0 e P(A) ^ {0} c P(A) (V)
IV. 2 e A A 3 e A = { 2 ; 3 }c A (V)
V. 0 es un elemento de A, por lo que: 0 e A (V)
VI. 2 e A A 3 e A A { 3 } e Á entonces
{2; 3; {3}} c A, con lo cual: {2; 3; {3}} g P(A) (V)
Las 6 son correctas.
12. Reducir: M = {[(A'= u B^) n (B u C)] \ (A n C)} n \ B; 
si A, 8, C son tres conjuntos.
Resolución;
Tenga en cuenta que: A \ B = A - B = A n B ^
M = {((A^u B^) n (B u C)j \ (A n C)} n \ B
M = {((A n 8) '̂ n (B u C)] n (A n C f) n \ B
M = {[(A n B)*̂ n (A n C f] n (B u C)} n n B^) 
Como: [(A n B) u (A n C )f = [A n (8 u C)]*̂
= A^ u (B u C f 
M = {[A^ u (B u C)'"] n (8 u C)} n (C u B)^
M = {[A"" n (B u OI u [(B u C f n (8 u C)]} n (B u C f 
0
« M = {A^ n (B u C)} n (8 u C f 
M = A'̂ n [(B u C) n (B u C)' ]̂ = a*̂ n 0 = 0
13. Si A = {0}, 8 = P(A), C = B\ A y D = P(C), deter­
minar 8 n D.
Resolución:
A = {0} es unitario 
8 = P(A) = {0 ; {0}} = {0 : A}
C = B - A = {{0}}
D = P(C) = {0 ; {{0}}}
0 e B A 0 e D =» 0 e 8 n D y e s e l único elemento 
en común para B y D.
.-. B n D = {0} = A
14. Si A es un conjunto dado por;
A = {2; 6; 12; 20; ...; 992}, calcular el número de 
subconjuntos propios de A.
Resolución;
(8 es subconjunto propio de A) « 8 c A a 8 A.
Si n(A) es el cardinal de A, entonces el n.° de sub­
conjuntos propios de A es: 2"‘*’-1 .
A = {2; 6; 12:20;...; 992}
A = {1 X 2; 2 X 3; 3 x 4 ; 4 X 5; . 31 x 32}
Se puede notar que; n(A) = 31 por lo tanto, el n.° de 
subconjuntos propios de A es: 2 '̂ -1 .
15. Simplificar: {[P u n [(P^ n Q))} u P 
Resolución:
{[P u Q ^ f n n Q)} u P
= n n (P*̂ n Q)} u P; {0*=^ = Q 
= (P^ n Q) u P = (P*̂ u P) n (Q u P) 
u
= Q u P = P u Q
16. En una institución deportiva de 58 personas de 
los cuales: 38 juegan fútbol, 15 juegan básquet, 
20 juegan béisbol, 03 juegan los tres deportes. 
¿Cuántos juegan en dos de los tres deportes?
Resolución:
Totai de personas: 58
Piden: x + y + z
p S í ó í l s = 36 - (X + y) + X + y + 3 + 12 -
(x + z) + z + 17 - (y + z)
=» 58 = 67 - (X + y + z) x + y + z = 9
17. Dado M = {1; 2; 3; 4; 5}, indicar el valor de verdad 
de las siguientes proposiciones:
I. 3 x e M / 3 x - 5 e M
II. v x e M ; 3 y e M / x + y < 7
III. 3 x e M / v y e M ; x + y = 7 
Resolución:
M = {1;2; 3; 4; 5}
I. Para X = 2 e M vemos que:
3x -5 = 1 e M » (I) es V
II. x + y < 7
 ̂ Nótese, cuando x toma los
^ valores indicados, siempre
4 existe un y E M que verifica la
5 desigualdad dada » (íf) es V.
III. x + y = 7
Nótese, cuando y = 1 g M, no existe x g M que 
verifique la igualdad dada.
^ (lll) es F 
W F
18. De un total de 1000 camisas se piensa eliminar 
aquellas que tengan 3 fallas y vender a la mitad de 
precio las que tengan solo dos de ellas. Si luego 
de la inspección de las camisas no se eliminó a 
987 de ellas y se vendieron, pero no a mitad de 
precio 875 camisas; 500 de las cuales no tenían 
fallas, calcular cuántas camisas tenían solamente 
una falla.
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Resolución:
U = 1000
•
* No se eliminan 987 camisas
^ Se eliminaron 13 camisas (tienen 3 fallas)
* Las que no se vendieron a la mitad de precio 
son las que tienen solo 1 falla o ninguna falla: 
este total es: a + b + c + 500 = 875 (dato)
=* a + b + c - 375
N.° de camisas 
con una falla
19. Sean U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} y A = {1; 3; 7}, 
determinar el valor de verdad de las siguientes pro­
posiciones:
I. v x , y e A : 3 2 G U / x + y + z > 1 0
II. V x e A: 3 y e U / V z e A: X + z^>10 - y
III. ~(v x e A : 3 y e A / x + y > 5 )
Resolución;
I. Nótese cuando x y e toman sus mínimos valo­
res (unos), sí 3 un z que verifica la desigualdad. 
Por tanto, para otros valores de x e y superiores 
a uno también se verificará la desigualdad.
=» ( l )esV
II. Observación: x + y + > 10
I 1 i
1 9 1
Para los mínimos valores de x, z se verifica la 
desigualdad, por tanto para todos los valores 
de X, z mayores que uno también se verifica la 
desigualdad.
» ( l l )esV
III. ~ ( v x e A : 3 y G A / x + y > 5 )
=s 3 x e A / V y G A : x + y < 5
Observación: Si x = 1 a y = 7 no se verifica la
desigualdad.
=»(111) es F .-. W F
20. En relación a los conjuntos numéricos IN, Z, Q, n 
del universo £, cuales de los siguientes enuncia­
dos son correctos:
I. 1R\<EI = I[
II. (® nz = z )A (zn iN = 0)
III. (2\Dí = 0) =» (nuS = (D)
Resoiución:
I. K = ®uH A(D n i i = 0
por lo que: & \ <& = ü (V)
II. Como Z c ® => ® n 2Z = Z y Z ' con Bí son 
disjuntos: Z ' n IM = 0
Luego: (® n Z = Z) ¿ (z n Dí = 0 )
V V
La proposición es F: (F)
lll. Z \B Í = Z"U{O}9t0
Luego: (Z \ Pí = 0 ) =» (n u Z = 0 )
F - ( )
La proposición es V. (V)
.-. Son correctos: I y lll
21. Se tiene un conjunto de 420 personas que ven los 
canales A, B y C y se observa que: 240 no ven el 
canal A, 180 no ven el canal B, 150 no ven el canal 
C. Losque vieron por lo menos dos canales son 230 
personas, ¿cuántas personas ven los 3 canales?
♦ a + b + c + m + n + p + x = 420
• 240 no ven el canal A (A*̂ ): 
b + c + n = 240
• 180 no ven el canal B (B^): 
a + c + p = 180
• 150 no ven el canal C (C“̂ ): 
a + b + m = 150
> 230 vieron por lo menos dos canales:
m + n + p + x = 230 
Sumando las cuatro últimas:
2(a + b + c + m + n + p) + x = 800 
420 - X
=> 840 - 2x + x = 800 =» X = 40 
Ven los 3 canales 40 personas.
22. En una encuesta realizada a 150 personas que 
gustan dei vino se obtuvieron el siguiente resultado:
* 30 personas gustan del vino tinto pero no el 
moscato.
* 20 personas no gustan de vino alguno.
• 80 hombres prefieren el moscato.
* 10 mujeres prefieren solo el moscato. 
Determinar el número de mujeres que prefieren el 
vino tinto y el moscato.
Resolución:
i20
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El universo está formado por 150 personas;
30 + 80 + X + 10 + 20 = 150 =» X = 10
Luego, el número de mujeres que prefieren et vino 
tinto y el moscato es x + 10 = 20
23. Durante todas las noches del mes de octubre, So­
ledad escucha música o lee un libro, si escucha 
música 21 noches y lee un libro 16 noches. ¿Cuán­
tas noches escucha música y lee un libro simultá­
neamente?
Resolución:
Como octubre tiene 31 días:
Música Ubro
a + b = 21; b + c= 15 ; a + b + c = 31 
Sumando las dos primeras; 
a + 2b + c = 36 a + b + c + b = 36 b = 5 
3Í
.-. Escucha música y lee un libro a la vez, durante 
5 noches.
24. Indicar el valor de verdad de las proposiciones si­
guientes;
I. S IAnB° = 0 = » A - B = A
II. SiC = ( A - B ) n B =* ( ( B - A ) u C ) u A = A u B U B
lll. Si A = {x e Z / x̂ + 1 = 0} A
B = { x e I R / x - x = 1 } =»A‘̂ n B ‘̂ = U C
Resolución: A
1. Se sabe que; A n B ̂= A - B, 0 sea que;
II. De; C = ( A - B ) n B = A n B ^ n B
0 =» C = 0
Luego;
[(B - A) u C] U A = (B n A' )̂ u 0 uA 
= (BnA^)uA 
Por absorción 
= A u B =» (U)esV
III. DeA; 3 x e 2 / x ^ + 1 = O =»A = 0 
D e B ; 3 x e E / x - x = 1 =»8 = 0 
Luego: A‘̂ nB^ = U n U = U=» (l l l )esV
.-. F W
25. Dados los conjuntos A, B y C indique el valor de 
verdad de las siguientes proposiciones:
I. ( A n B ) n ( A u B ) = A n B 
». ( A - B ) n C ‘= = A - ( B U C )
III. A - (B U C) = (A - B) u (A n G)
IV. A a [B - (B - C)1 = (Au B) n (C uA) 
Rdsoluclón;
I. (A n B ) n ( A u B )
= I ( A n B ) n A ] u [(An B n B]
= ̂ u (AnB)
= A n B ^ ( l )esV
II. ( A - B ) n C ^ = A n ,B^nC^
= A n (B u C)*̂
= A - ( B u C ) ‘̂ « ( l l ) e s V
III. Por lo anterior;
A - ( B u C ) = ( A - B ) n C ‘̂ ^ ( l l l ) e s F 
IV A n [B - (B - C)] = An [B n (B - C)^]
= An [Bn(B ^üC ) ] = A n ( B n C ) =» (IV)es F
Por absorción
26. Si A, B, C son conjuntos del universo U. Tal que 
A n C = E; simplificar; [(A - B) - C^] n (E - B)^
Resolución:
Dato; A n C = E
Sea P = [ (A - B) - Ĉ ]̂ n (E - B)'"
P = ( A n B ' = n C ) n ( E - B ) ' =
P = (E n B‘=) n (E - B)^
P = ( E - B ) n ( E - B ) ® = 0
27. En el siguiente diagrama las regiones sombreadas 
se identifican como la expresión;
Resoiución:
Del gráfico, consideremos dos partes que definen 
la región sombreada.
1. B n ( A u C )
Si a la (1) le restamos (diferencia de conjuntos), 
la (2), se obtiene la región pedida, esto es: 
ÍB n (A u C ) ] \ (A n B n C ) .
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28. Si A, B y C son subconjuntos del conjunto universal 
U. según la figura, ¿cuáles son las zonas que re­
presentan a: (A n 8)' \ (C U A')?
Resolución;
(A n B)' \ (C u A') = (A' u B') n (C u A’)'
(AnB)’ \ (C u A’) = (A- u B') n (C n A) 
(AnB) ' \ (CuA ' ) = (A’ u B’) n (A n C) 
(A n B ) ' \ ( C u A ’) = ((A’ u B') n A) n C 
(A n 8)' \ (C u A’) = f(A;_r^) u (S’ n A)J n C 
0
(A n B)’ \ (C U A') = (8’ n A) n C’ = (B' n C’) n A 
(AnB) ' \ (CuA ' ) = ( 8 u C ) ' n A
región sombreada es la pedida, es decir: 5
29. Considere tres conjuntos; A, B yC tales que:
C n A = C: n(C) = 150; n(A' n B‘) = 90; 
ní(Au B) - C] = 6n(C), hallar n(U).
U: conjunto universo.
Resolución:
C n A = C =» C c A
n(C') = 150; n(A’ n B') = 90 ^ n((A u B)') = 90 
n [ ( A u B ) - C ] = 6n(C)
Hadendo un diagrama y ubicando los datos, se 
tiene:
l_a región sombreada representa a: (Au 8) - C 
n(C') = 6x + 90 = 150 =» x = 10 
Luego: n(U) = 90 + 7x n(U)=160
30. Considere dos conjuntos comparables cuyos car­
dinales son números que se diferencian en ^es, 
además ia diferencia de los cardinales de sus con­
31.
juntos potencias es 112. indicar el número de ele­
mentos que posee su intersección.
Resolución;
Sean A y B los conjuntos, tales que: n(A) - n(B) = 3 
Además: n(P(A)) - n(P(B)) =112
^ 2"*** — 2"*®' =112 
Sea: n(B) = x =» n(A) = x -i- 3 
« 2” ^ - 2 * =112 ^ 2* (7) = 112 
=»2“ = 16 = 2* ^ x = 4 
Luego: n(A) = 7 a n(B) = 4
En un salón de 150 alumnos, hay 90 que por lo me­
nos aprobaron uno de los cursos de aritmética, álge­
bra o geometría, pero no aprobaron física ni quími­
ca. 20 alumnos aprobaron física o química pero no 
los dos. ¿Cuántos aprobaron física y química si hay 
10 alumnos que no aprobaron ningún curso? 
Resolución;
El problema nos habla de 5 conjuntos, pero de 
estos solo 2 son los participantes y de donde nos 
piden la respuesta (como U = 150 y por lo menos 
90 aprobaron los anteriores).
Física Química
U = 60
a -I - b = 20 (dato) del gráfico:
a + x + b + 1 0 = 60
20 + X -I- 10 = 60 X = 30
32. En una población se determinó que el 50% de los 
habitantes toman leche y que el 40% comen carne. 
Si la suma de los que sólo toman leche más los 
que sólo comen carne es el 54% de los habitantes. 
Hallar que porcentaje de la población no come car­
ne ni toman leche.
Resoiución:
Se sabe que en este caso 
U = 100%, graficando:
carne = 40% leche = 50%
Por dato: a -i- c = 54% 
Del gráfico: a + b = 40% 
b + c = 50%
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