Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (118)

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Luego: a + 1 = 2 => a = 1
a + 1 = -2 =• a = -3 
{no es posible, no haría cumplir a los dos úitimos pares)
También:
|b - 11 = 3, luego: b -1 = 3 = b= 4 
(no es posible, no haría cumplir el último par)
« b - 1 = -3 = b = -2
Como: a > 0 a b < 2 = > a = 1 ; b = -2
Luego f - {(2; 2); (4; 3); (5; 1); (6: 2)}
Domf = {2; 4; 5; 6}
Ranf = {2: 3; 1}
i. a+b=-1 II. Domf n Ranf = {2}
III. Domf-Ranf = {4; 5; 6}
6. Hallar Domf - Ranf, si f es una función y a e 2: 
f = {{a + 1:3); (a - 3; b - 1); (a + b; 7);
Resolución:
Como a e 2, entonces: a = 4 
Reemplazando se tendrá:
f = í(5; 3); (1;b-1) ; (4 + b; 7); (1; 1); (4; 0)}
De donde también: b - 1 = 1 =» b = 2 
^ f = {(5: 3); (1; b - 1); (4 + b; 7); (1; 1); (4; 0)}
Luego; Domf = (5; 1; 6; 4}
Ranf = {3; 1; 7; 0}
Domf - Ran, = {5; 6; 4}
7. Si el Domf e [-3; 2), determinar el rango de la fun­
ción: f(x) = 2 - 3x
Resolución:
Si Domf e [-3; 2], implica que; -3 < x < 2 ...(1)
Además: y = f(x); luego: y = 2 - 3x
En(1): 9 > - 3 x > - 6 
1 1 > 2 - 3 x > - 4 V - 4 < 2 - 3 x < 1 1 
Es decir: -4 < y < 11 Ranf e [-4; 11]
8. Si Domf= [-3; 2], hallar el conjunto solución para 
el rango de la función: f(x) = x' + 1
Resolución:
Si Domf = (-3; 2] == - 3 < x < 2 .„(1)
Pero; y = x' + 1
Analizando, la variación de x es;
• 3 - 2 - 1 O 1 2
Pero, la de x̂ es; O < x̂ < 9
En (1): 0 < x ' < 9 =» 1 < x' + 1 < 10 
Luego: 1 < y < 1 0 Ranf = [1; 10)
9. Hallar el dominio de: f(x) = 1
lx^~~ 7x - 8 
Resolución:
Para que f(x) tenga existencia en E debe tenerse 
en cuenta que:
x' - 7x - 8> O V ( X - 8)(x + 1) > O 
Utilizando el criterio de los puntos críticos, se 
tendrá:
- 1 8 
.-. Domf = < - o o ; -1 ) u (8; + o o ) 
o también; Domf = IR - [-1: 8]
10. Hallar el dominio y el rango de: f(x) = A - x̂ 
Resolución;
Sea; y = '/4 - x̂
De donde, para que tenga existencia en E; 4 - x̂ > O 
^ x " - 4 < 0 * ( x + 2)(x - 2) < O
Por el criterio de los puntos críticos:
+ - +
•4---------------- O - O -------------------- ►
- 2 2
» Domf = [-2; 2], quiere decir: -2 < x < 2 
Haciendo el análisis para x', se tendrá:
0 < x ' < 4 => 0 > - x ^ > - 4 =̂ 4 > 4 - x ^ > 0 
Es decir: 2 > (4 - x )̂’'̂ > 0 = » 0 < y < 2 
^ Ranf = [0; 2]
11, Hallar el dominio de: f(x) = 1 + /x + 1
/ 5 -x - 2 
Resolución:
De la expresión puede observarse que en el primer 
sumando: X e E - {2} ,,,(1)
El segundo sumando: X > O ,,,(2)
El tercer sumando: X < 5 ...(3)
De (1), (2) y (3):
0 2 5
Donde: Domf = [0; 2) u (2; 5) 
o también: Domf = [0; 5) - {2}
12. Hallar el dominio y rango de: f(x) = x+1
x - 2 
Resolución:
Como el dominio está representado por el conjunto 
de los valores que puede tomar x. entonces;
Domf = m - {2}
Para determinar el rango: y x+1
1 + 2vDespejando x: x = ’y - 1
13. Hallar el dominio y el rango de;
X® - 5x‘ + 8x
x - 2
•. Ranf = E - {1}
x(x-2 )(x - 3)
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Resolución:
Factorizando el numerador:
_ x^(x^-5x + 6) _ x^(x-2) (x-3) _ , 
x(x-2)(x + 3) x ( x -2) ( x -3 )
Donde: x 0; 2; 3 
Luego: f(x) = x̂
Domf = IR - {0; 2; 3} a Ranf = IR'"
14. Hallar el dominio, rango y además graficar:
f(x) = i Z + X
 ̂ I?
Resolución:
Sabemos que: íx } = |x|
Luego: f(x) = -—r + — ; (x # 0)
Aquí existen dos posibilidades:
• Si X > O =» ]x| = X 
Reemplazando en la función original:
+ f - f ( x) -2
• Si X <■ O =» |x| = - X 
Reemplazando:
f(x) =
- X
Graficando:
f(x) = -2
y f(x ) = 2
f(x> = - 2 D o m f = IR - {0 }
- 2 , R a n f = { - 2 ; 2}
«FUNCIONES ESPECIALES Y REPRESENTA­
CIÓN GRÁFICA
La correspondencia entre el conjunto de elementos del 
dominio y el conjunto de elementos del rango, puesto 
que el rango de cada par ordenado corresponde o es de­
terminado por el dominio, se puede ilustrar por medio de:
1. Sistema de coordenadas cartesianas en el plano.
2- Dos rectas numéricas paralelas (para cada fun­
ción), una que representa el dominio y otra el rango.
3. Por los diagramas de Venn-Euler.
4. Por cualquier otra forma de representación que se 
pueda intuir.
Es decir, el conjunto de pares ordenados de una fun­
ción real de variable real, pueden considerarse como 
las coordenadas cartesianas de un punto en el pla­
no. El conjunto de dichos puntos es la gráfica de la 
función.
Como a cada elemento del Domf le corresponde un 
solo elemento del Ranf, la gráfica cartesiana de una 
función es cortada a lo más en un punto, por cualquier 
recta perpendicular al eje de las abscisas.
Función po linom ía i de grado n
Si: aox" + a,x" ’ ' -t- asx" ’ ̂ + ... + a„. ,x -t- a„ es un po­
linomio de grado n, donde n es un entero no negativo. 
Entonces:
G = {(x; y) / y = â x" + a,x"’ ’ -i-... + a„_,x + aJ es una 
función polinomíai de grado n, cuya regla de correspon­
dencia está dada por:
G(x) = aox" + a,x"' '' + ... + a^.iX + a„
Función constante
Es una función polinomíai de grado cero, esto es:
C = {(x: y) / y = C,x°) v C = {(x; y) / y = C}.
Donde: C(x) = C y C e IR 
DomC=E; RanC = C
y
y = c
(0;C)
0
Su gráfica es una recta paralela al eje x, intersecando al 
eje y en el punto (0; C).
Función lineal
Es una función polinomial de grado 1, definido por: 
f(x) = ax + b 
Donde a; b e E: (a 0)
La gráfica de esta función es una línea recta (de ahí el 
nombre de función lineal).
Por ejemplo: hallar la gráfica, el domino y el rango de la 
función: f(x) = 2x - 5
Resolución:
Hagamos una pequeña tabla de valores;
X 2 3
f(x) -1 1
Ubicando los puntos en el plano cartesiano:
Donde: Domf = IR 
Ranf = IR
y
0
Conclusión. Todas las funciones de la forma 
y = ax + b; con a # O, tiene como dominio y rango a 
todo el conjunto de los IR. Su representación gráfica es 
una recta, que se traza por dos de sus puntos que se 
hallan dando dos valores arbitrarios a “x”, y encontran­
do los correspondientes a “y”-
Función va lo r absoluto
Es aquella función cuyo dominio es el conjunto de los 
números reales y cuya regla de correspondencia es:
X, si: x > O
l-x . si; x < Of(x) = ixl =
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Su gráfica es la función 
de dos rectas simétricas 
respecto al eje y.
Por ejemplo: graficar y = [x - 2]
Resolución:
Tabulando:
X y
0 2
1
2 0
3 1
Conclusión. El dominio de la función valor absoluto es 
todo el conjunto de los números reales.
El rango es el conjunto de ios números reales positivos 
o nulos.
Función cuadrá tica
Es una función polinomial de grado 2, definida en el 
conjunto de los reales; cuya regla de correspondencia 
es:
f(x) = ax' + bx + c 
Donde: a # 0 y a;b;ccIR
La gráfica de una función cuadrática es una parábola 
cuyas ramas se abren hacia arriba si a > O o hacia aba­
jo en caso contrario.
E jem p los:
1. Graficar: y = f(x) = x'
X y V -2 , si -2 < X < -1
0 0
3
-1, si -1 < X < 0
1 1 \ f(x) - [[XD = 0, si 0 < x < 1
2 4 \ / 1, si 1 < X < 2
-2 4 V y 2, si 2 < X < 3
-1 1 0 De donde se aprecia que;
Domf = IR A Ranf = IR* 
Graficar: y = f(x) = -x '
X y
0 0
1 - 1
- 1 - 1
2 - 4
- 2 - 4
Domf = IR A Ranf = IR
Conclusiones. El dominio de todas las funciones es IR. 
El rango es el conjunto de los números reales positivos 
o nulos si a -■ O y el conjunto de los reales negativos o 
nulos si a 0.
Ei punto más alto o más bajo se llama vértice de la pa­
rábola.
Comentarios. Si a > O el vértice es el punto más bajo y 
la curva tiene la forma de un puente colgante.
Si a < O el vértice es el punto más alto y la curva tiene 
la forma del arco iris (cuando ei sol está por ocultarse). 
La trayectoria de la baia de un fusil tiene esta forma 
parabólica.
Función raíz cuadrada
Es una función definida por; f(x) = / x ; donde; x > 0. 
Donde /x es un número no negativo cuyo cuadrado es 
X, esto es y' = x, que es la ecuación de una parábola 
cuyas segundas coordenadas son mayores o iguales 
que cero.
Por ejemplo: graficar f(x) = -/x
X f ( x )
0 0
1 1
2 n
3 /3
y
V3- ^ f ( x )
ñ -
1 •
0 1 2 3 X
Donde: Dom = IR'" a Ranf = E*
Función máxim o entero
Denotado por [I II y definida por; 
f(x) = QxD = n; si: n < x < n + 1 
Donde n es un entero, QxD es el máximo entero no ma­
yor que X.
Lagráfica de la función máximo entero es como se 
muestra:
-2 -1 O
Domf = IR 
Ranf = 2
<4 GRÁFICA DE FUNCIONES DE FORMAS ESPE­
CIALES
Por lo visto anteriormente. ías funciones especiales tie­
nen la forma y = f(x), definiremos ahora a una función 
de forma especial de la forma siguiente;
y = f(x - a) + b
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Para graficarlas, deberá tenerse en cuenta las siguien­
tes reglas o pasos a seguir:
Desplazamiento horizonta l
Si: a O, hacia la derecha 
Si: a V O, Inacia la izquierda 
Si: a = O, no hay desplazamiento
Desplazamiento vertica l
Si: b > O, hacia arriba
Si: b < O, hacia abajo
Sí: b = 0. no hay desplazamiento
E jem plos:
1. Graficar: y = [x - 2| + 3 
Resolución:
Una forma práctica para esbozar la gráfica es:
• Eliminado las constantes y graficar la función 
referencial.
• Luego analizando el comportamiento de las 
constantes, nos indicara el desplazamiento ho­
rizontal o vertical.
y = ( x - 2 ( - f - 3 l a = 2 
y = | x - a | + b) b = 3
2. Graftcar: y = (x+1)^-2 
Resolución:
Comparando; y = (x -h 1)-" - 2 ] a = - 1
y = (X - a)' + b 1 b = -2 
y
y = (X+1)2-2,
3. Graficar: y = |x + 3| 
Resolución:
Comparando: y = x + 3 
y = X - a
4. Graficar: y = - 1
Resolución:
Comparando; y = x̂ - 1 
y = (X - a)"
a = O 
b = -1
y = x^-1
5. Graficar; y = |x̂ - 31 
Resolución:
Aqui existen dos funciones, entonces primero ana­
lizamos f(x) = - 3, luego se toma el valor abso­
luto I |.
f(x) - x' - 3 1 a = O
y = (x - a)^+ b, b = -3
Como y = x' - 3 describe una parábola con vértice 
en -3, al tomar el valor absoluto; 
y = |x̂ - 3| tendremos;
6. Graficar: y = | | x -1 | -1 |
Resolución;
Primero analicemos para; ¡x - 1| - 1 
Sea: f(x) = | x - 1 | - 1 =»a = 1 a b = - 1
7. Graficar: y = x'-2)x|
Resolución:
Si X > O y = x̂ - 2x =» y = (x -1 )̂ - 1
S i x < 0 = y = x^- 2(-x) ^ y = (X + 1)̂ - 1 
Six = 0 => y = 0
= -3 
= 0
y
y=x' -2
\ - I 1 /
- 1 X 1 (-1;-1)
<4 TIPOS DE FUNCIONES: INVECTIVA, SURVEC- 
TIVA, BIYECTIVA
Función inyectiva
Si los pares ordenados diferentes que lo forman no tie­
nen segundas componentes iguales.
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