Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (9)

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Entonces;
P(2) = 2' + 3{2) - 1 = 9
P(-2) = (-2)^ + 3(-2) - 1 = -3
P (^ ) = (V3)' + 3(/3) - 1 = 3 ^ + 2
P(a + 1 ) = (a + 1 )̂ + 3(a + 1 ) - 1 = + 5a + 3
P(x - 2) = ( X - 2) ̂+ 3(x - 2) ~ 1 = x" - X - 3
P[P(x)] = P [x" + 3x - 1] = (x" + 3x - 1)' + 3(x̂ + 3x -1) - 1
1. En todo polinomio ta suma de coeficientes se 
obtiene reempiazando a su(s) variabie(s) por ia 
unidad.
Zcoeficlwites = P(1)
Ejemplo:
Sea; P(x) = x̂ + 4x* + 7x - 3
Icoeficientes = P{1 ) = + 4(1)* + 7(1) - 3 = 9
2. En todo potinomio el ténnino independiente (Ti) se 
obtiene reemplazando a su(s) variabte(s) cero.
TI = P{0)
Ejemplo:
Sea; P(x) = x̂ + 4x ̂+ 7x - 3 
Tt = P(0) = 0̂ + 4(0) ̂-f 7(0) - 3
Ejemplos:
1. Calcular: E_ P (2 )-2P (-2 )
P (1 )-P (-1 )
Si; P(x) = + 3x - 1
Resolución:
Catculando separadamente:
P(2) = 4 + 6 - 1 = 9 
P(-2) = 4 - 6 - 1 = -3 
P(1) = 1 + 3 - 1 = 3 
P(-1) = 1 - 3 - 1 = -3 
Reemplazando en la expresión pedida; 
^ _ 9 -2 ( - 3 ) 15
3 - ( - 3 ) = - ^ E = 5/2
SI; P(x) = x̂ - 3x + 1 
Hallar; S = ^ P (3)- P(2)+ P(1)
P (2 )-P (1 )-P (-2 ) 
Resolución:
Calculando separadamente:
P(3) = 27 - 9 + 1 = 19
P(2) = 8 - 6 + 1 = 3
P(1) = 1 - 3 + 1 = -1
P(-2)= -8 + 6 + 1 = -1
Reemplazando en la expresión dada:
+ 1
S = 1 9 - 3 - 1
3 + 1 + 1 
S = /2
+ 1 =
3. Si: P(x) = x" + x + 1; hallar: P[2 - P{Q)] 
Resolución:
Calculando primero P(0): P(0) = O + O + 1 = 1 
en la expresión se tendrá;
P(1) = 1̂ + 1 + 1
P [2 - (0 ) ] -P ( l) - 3
4. Si; F(x) = x" + X + 1; G(x) = x" - 2x + 2 y 
H(x)= F(x+ 1) + G(x-1): hallar: H(1)
Resolución:
Calculando primero:
F(x + 1) = ( X + 1)' + ( X + 1) + 1 = x̂ f 3x + 3 
G(x - 1) = ( X - 1)' - 2(x - 1) + 2 = x̂ - 4x + 5
Reemplazando:
H(x) = x" + 3x + 3 + x̂ - 4x + 5 = 2x' - X + 8 
Luego: H(1) = 2(1) ̂- (1) + 8 H(1) = 9
5. Si: P(x) = X + 7; hallar P[P(x)]
Resolución:
Reemplazando el valor de P(x):
P(P(x)] = P(x) + 7; como P(x) = x + 7 
Entonces; P[(x)] + 7 = x + 7 + 7 = x+14
6. Si: P(x + 1) = X + 3; hallar P(x)
Resolución:
Primera forma:
Escribiendo (x + 3) en función de x + 1:
P(x + 1) = X + 1 + 2
Luego, donde aparezca (x + 1) se colocará x:
P(x) = X + 2
Segunda forma:
Haciendo; y = x + 1 =>x = y - 1
Escribiendo la expresión original en términos de y;
P(y) = y - 1 + 3 ^ P(y) = y + 2
Una vez reducida se hace; y = x P(x) = x + 2
7. Siendo: P(x + 7) = x̂ + 4x - 3 
Determinar; P(x)
Resolución:
Haciendo: x + 7 = y=>x = y - 7
En la expresión original: P(y) = (y - 7 f + 7(y - 7) - 3
Reduciendo: P(y) = ŷ - 7y - 3
Haciendo: y = x =» P(x) = x̂ - 7x - 3
8. Si; P, X - 1 = X® - X + 1; hallar P(-2)
Resolución;
Para calcular la expresión pedida podemos hacer;^ = - 2 ^ x = - 3
Este valor se reemplaza en la igualdad original: 
P(-2) = -23
Si: P(x - 3) = 5x - 7 y P[F(x) + 2] = lOx - 17 
hallar: F(x - 2)
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Resolución:
En el primer polinomio en lugar de x colocaremos 
F(x) + 5;
PIF(x) + 5 - 3] = 5[F(x) + 5] - 7 
P(F(x) + 2] = 5 F(x) + 18 
10x - 17 - 5F{x) + 18 
Despejando tenemos: F(x) = 2x - 7 
Entonces: F(x - 2) será: F{x - 2) = 2{x - 2) - 7 
F{x - 2) = 2x - 11
10, Si: F(x’’ - 2) = , calcular F(1).
Resoiución:
Dándole una forma adecuada a la expresión:
F(x ̂- 2) = (x*
(x«
Sea; x'' - 2 = 1 => x' = 3 
Reemplazando se tendrá:
' 3 
F(1) = 3̂
a P R O B L E M A S RESUELTOS
■ ■
Q
■ ■
2 .
3.
4.
Dado: F(x) = 4x ̂- 8x - 31; evaluar:
Resolución:
F(2) = 4(2y - 8(2) - 31 = -31
F(4) = 4(4)" - 8(4) - 31 = 1
F(0) = 4(0) ̂- 8(0) - 31 = -31
^ F = (-31)1' = -31
Si: H(x) = 2x^+x‘'; P(x) = 4x®-2x^-x^ y 
G(x) = 3x" - x^ calcular: H(4) + P(4) + G(4)
Resolución:
Tenemos:
H(4) + P(4) + G(4) = 2(4)' + 4“ + 4(4)® - 2(4) ̂- (4)'+
3{4)-‘ - (4)® = 1792
Si: P(x) = ax + b y además:
P[P[P(x)ll = 8x + 189. Calcular: P(3) 
Resolución:
[P(a{ax + b) + b]] = 8x + 189 
a(a(ax + b) + b] + b = 8x + 189 
â x + a^b ab + b = 8^+ 189
t t
Entonces: â = 8=»a = 2 a 
b(a' + a + 1) = b(2' + 2 + 1) = 189 
Luego: P(x) = 2x + 27 
=» P(3) = 2(3) + 27 P(3) - 33
b = 27
Si: G(x) = x - 1; F(x) = x 
Determinar G 1
G F(^)'x '
Resoiución:
^ ' = 1 + 1 
X
F(1
X
1
= 1 + 1 - 1 = 1 
X X
1 = G 1
F(^)
1_
' x ' X
= G(x) = x - 1
5. Si: F(x) =
8 .
y F(x) = PlF(x)l; calcular: P(64)
6 .
x+ 1 
Resolución:
F(x) = P[F(x)] si: F(x) = a 
=* P(a) = a P(64) = 64
Calcular m en:
F(x) = (3x" + x"'-’)"'(mx ̂ - X + 3)^(x' + 192) 
Sabiendo que el coeficiente principal del producto 
es igual al término independiente del mismo.
Resolución;
F(x) = (x"’-')"’ (3x + 1)"(mx' - x + 3)'
Coeficiente principal = S^ím')
Término independiente = 3 (̂192)
3"'{m') = 3̂ (4̂ ) ^ m = 4
7. Si: F(x) = x(x - 6) + 9; calcular:
í F(x)
F(x + 3 ) - F ( x - 2 ) - 5 
Resolución;
F(x) = ( X - 3)
F(x + 3) = [ ( X + 3) - 3 f = x'
F(x - 2) = [ ( X - 2) - 3 ] " = ( X - 5 ) "
E = (x -3 )
x " - (x ^ - 10x + 2 5 )-5 
Si: X 3; E = 1/10
X - 3
1 0 ( x - 3 )
Sabiendo que: G(x) = x
G [5P(x) - 4F(x)J = 13x + 18
G [2P(x) + F(x)] = 15
hallar el valor numérico de: G[P[F(2)]J
Resolución:
Como: G(x) = x G(*) = ’ ... (I)
De(l);
5P (x) - 4F (x) = 13x + 18 ... (H)
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2P{x) + F(x) = 15 ...(lll)
P(x) = X + 6 P{-1) = 5
F(x) = 3 - 2x => F{2) = -1 
Luego; G[P[F(2)H = G[P(-1)] = G(5} = 5
9. Siendo: S(x) = 2x + 3 
Además: S[F(x) + G(x)] = 4x + 3
S[F(x) - G(x)] = 7 
Hallar: K = F(G(F(G...(F(G(1))...)))
Resolución:
S[F(x) + G(x)l = 2[F(x) + G(x)] + 3 = 4x + 3 
S[F(x) - G(x)] = 2[F(x) - G(x)] + 3 = 7 
F(x) + G(x) = 2x =» F(x) = X + 1 
F(x) - G(x) = 2 => G(x) = x - 1 
G{1) = 0 ^ F[G(1)]=F(0)=1 
Como termina en ia evaluación de F:
K = F[G(F(G...))]=1
10. Si; P(x + 4) = 5x - 1 y P[F(x) + 3] = lOx + 14 
calcular el valor de F(4)
Resolución:
P(x + 4) = 5(X + 4) - 21
Si: X + 4 = a =» P(a) = 5a - 21
P[F(x) + 3] = 5[F(x) + 3] - 21 = lOx + 14 
Despejando: F(x) = 2x + 4 => F(4) = 12
11. Si: F(x) =x^ + 1 y H(x) = x̂ - 1 
calcular: E = H[F(x)] - F[H(x)j
Resolución:
H[F(x)] = H(x' + 1) = (x' + 1)" - 1 
= x“ + 2x' + 1 - 1
F[H(x)j = F(x' - 1) = (x' - 1)" + 1 
= x' - 2x' + 1 + 1 
^ H(F(x)] - F[H(x)] = 4x' - 2
12. Si; F (x ) -1 + G ( x ) - ^
Calcular un valor de x que verifique la condición:
F[G{x)I = 2 - G[F(x)j; señalar: x̂ + -^
x
Resolución:
F[G(x)] = F( 3 - x )= 1
3 - x .
G[F(x)] = G(1 + f ) =
5 - x
2x
3 - ( 1 + ^ )x
Como F[G(x)] = 2 - 6[FG(x)]; tenemos: 
5 - X _ 2 _ 2x
x - 1
= 2¿ri6x+_1 = O = x = 3 ± 2 l2 
2(x+ 1)
Si: X = 3 + 2 ‘í2 . tenemos:
+ ^ - (3 + 2^2)^ + ------
x̂ (3 + 2 ^)^ (3 -2 /2 ) '
= (3 + 2 / 2 ) ' + ~ = 2 ( 9 + 8) = 34
(9 -8 ) ' '
13. Si: F(x) = 4x + 5 y F[g(x) + 3] = 8x + 5 
Hallar: g(4)
Resolución:
F(g(x) + 3] = 4[g(x) + 3] + 5 = 8x + 5 
Despejando: g(x) = 2x - 3 = g(4) = 5
14. Hallar el valor numérico de F(S) donde:
'"■̂ (m + 4)'"“ V(m - 2)"'Vm + 2 f 
"V(m-2)°"V(m + 4)
F(m) =
Resolución:
’’/ f i m i )F(m) =
F{5) =
’̂ /(m + 4)
®/9 . °̂/3 .
i j _ j _ 
35 320 3100
= 3‘
15. Si: P(x + 2) = x" + 4x + 4 
Hallar: P(x + 4) - P(x - 4)
Resolución:
P(x + 2) = (x + 2 f 
Si : x + 2 = a =» P(a) = â 
P(x + 4) = (X + 4)̂
P(x - 4) = (X - A f ( - )
P(x + 4) - P(x - 4) = (x + A f - (X - 4)'
= x̂ + 8x + 16 - x' + 8x - 16
P(x + 4) - P(x - 4) = 16x
16. Hallarn en el polinomio:
p(x - 2) = (3nx - 8n)' + (x - 2)̂ " + 12x - 24 
Sabiendo que el término independiente de la va­
riable excede en 14 a la suma de coeficientes del 
polinomio.
Resolución:
Si: x - 2 = y=>x = y + 2
P(y) = [3n(y + 2) - 8n]̂ + y=" + 12(y)
P(y) = (3ny-2n)^ + / " + 12y 
término independiente - (-2n)^ = 4n̂
2icoef. del polinomio =
[3n(D - 2 n f + (1)'" + 12 = n' + 13 
P or condic ión:
TI - Icoef. = 14 ^ 4n̂ - (n̂ + 13) = 14 
3n̂ = 3 y 3̂ = n = 3
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17. Si: F(x) = F(x - 1) + F(x - 2)
Además: F(1) = 3 y F(2) = 4 
calcular el valor de: F[F[F(0)])
Resolución:
Dando valores adecuados a x en la primera 
relación.
Para x = 2: F(2) = F{1) + F(0) => F(0) = 1 
Se pide: F[F[F(0)]] - F[F(1)] - F(3)Nuevamente dando un valor adecuado a x en la 
primera relación:
Parax = 3: F(3) = F(2) + F(1) .-. F(3) = 7
4 3
18. Señalar el valor de: x(11) sabiendo que;
x(2a - 1) = x(2a + 1) - a + 1; además: x(3) = 1
Resolución:
Si: 2a — 1 = 3 => a = 2
en la expresión: x(3) = x(5) - 2 + 1 => x(5) = 2
Si' 2a - 1 = 5 => a = 3; en la expresión:
x(5) = x(7) - 3 + 1 ^ x(7) = 4
Si: 2a - 1 == 7 => a = 4; en la expresión:
x(7} = x{9) - 4 + 1 ^ x(9) = 7
Si: 2a - 1 9 ^ a = 5; en la expresión:
x(9) = x{11) - 5 + 1 x(11) = 11
19. Si: F(x) = F[F(x)] = 2
Hallare! valor de: E = ""V(x + 7)*''‘" 
Resolución:
2 = F[F(x)] = F
' 2 x - 1 ■
■ x - 2 ,
- 1 4x - 2 - X 2
x - 21 2 x - 1 ' _
X - 2 / 2 x - 1 _ , 2x - 1 - 2x ^ 4
x - 2 x - 2
^ = 2 ^ X = 2 E = 'Í9® = 9" = 81
20. Dado el polinomio:
P(x - 1) = (2x - 3)̂ " + {3x - - 32{x - 2)
Hallar n tal que el término independiente del 
polinomio sea igual al doble de ia suma de 
coeficientes del mismo.
Resolución:
Del enunciado: TI = 2X coe f.
Es decir: P(0)= 2P(1) ...(’ )
En el polinomio para x = 1 :
p(0) = (-1)2" +12-'... 32(-1) = 34
Para x = 2: P(1) = (1)̂ " + (4)'" + 32(0) -1 + 4 ^ "
P(0)yP(1)en (*):
34 = 2 [1 + 4""] ^ 34 = 2 + 2 . 4"
32 “ 2^ '̂ ̂ =» 2̂ “ Q2n-1
^ 5 = 2n + 1 
.-. n = 2
21. Si consideramos a los siguientes polinomios:
P(x) = 3x-1Q „(1)
P[F(x)] = 6x + 5 ...(II)
Hallar F(8).
Resolución:
En (I) hagamos: x = F(x): P[F(x)] = 3F(x) -10; como
P[(x)] = 6x + 5; luego se tendrá 6x + 5 = 3F(x) - 10
=> 6x + 15 = 3F(x), es decir; F(x) = 2x + 5. 
Finalmente, para calcular F(8), hagamos x = 8 en 
F(x) ^ F(8) = 2(8) + 5 .-.Fifi) = 21
22. Si: P(x) = encontrar el equivalente de: P[P(x)].
Resolución:
Para encontrar: P[P(x)] debemos reemplazar x por:
P(x) en la condición P[P(x)]= t '■ como:
¿ i r í X ) •“ ó
P(x) = ^ luego se tendrá;
' 3x + 4 ■ 
> 2x - 3 .
2 | | 2 L + 4 1 - 3
P[P(x)] =
9Í____
. 2x " 3,
Finalmente efectuando operaciones se consigue: 
P[P(x)] - x
23. Si: P[P[P(x)]] = 27x + 52, calcularel valor de; P(-2). 
Resolución:
Para resolver este problema se tendrá en cuen­
ta que el polinomio P(x) que ha dado origen a 
P{P[P(x)]] es de 1.° grado, pues P[P[P(x)]] también 
lo es, luego nos planteamos un problema general. 
Si: P(x) = ax + b; a 0. Hallar el equivalente de:
P m - [ P (xM.-ÍÍV,
n veces
Dicho problema lo resolveremos por un método 
inductivo:
• Hallemos P[P(x)] a partir del dato:
P[P(x)] = aP(x) + b 
P[P(x)]=a(ax + b) + b =» P[P(x)] = â x + b(a + 1) ...(I)
• Hallemos: P[P[P(x)]] a partir de (I):
P[P[P(x)l] = a'P(x) + b(a + 1)
P[P[P(x)l] = a'(ax + b) + b(a + 1)
=» P[P[P(x)]] = a'x + b(a' + a + 1 ) ,..(ll)
■ Hallemos: P[P[P[P(x)]]]] a partir de (II). 
P[P[P[P(x)]]J] = a'P(x) + b(a ̂+ a + 1)
=» P[P[P[P(x)]]]]= a (̂ax + b) + b(â í a i 1)
P[P[P{P(x)]]]] = a \ + b (a' + a' + a + 1 ) (III)
De acuerdo a la forma que presenta (I), (II) a (III) 
deducimos:
P[P [P ,.. [P(x)]...]i = a "x + b (a "-^+ a"- ̂ + ... + a + 1); 
n veces
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