Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina-9

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Conjuntos
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Georg Ferdinand Ludwig Philipp 
Cantor nació en San Petersburgo 
(3 de marzo de 1845) y murió en 
Halle (6 de enero de 1918). Fue 
un matemático alemán, inventor 
con Dedebind y Frege de la teoría 
de conjuntos, que es la base de las 
matemáticas modernas. Gracias 
a sus atrevidas investigaciones 
sobre los conjuntos infinitos fue 
el primero capaz de formalizar la 
noción de infinito bajo la forma 
de los números transfinitos (car­
dinales y ordinales).
La educación primaria fue inicial­
mente confiada a un profesor par­
ticular. pasando luego a la escuela 
elemental de San Petersburgo. Sus 
estudios universitarios se iniciaron 
en 1862 en Zúrich. pero al siguien­
te año. después de la muerte de 
su padre, pasó a la Universidad de 
Berlín donde se especializó en Ma­
temáticas. Filosofía y Física. En 1872. cuando contaba con 27 años de edad, se convirtió en catedrá­
tico en la Universidad de Halle, dando inicio entonces a sus principales investigaciones.
Sus primeros trabajos con las series de Fourier lo llevaron al desarrollo de una teoría de los núm e­
ros irracionales y en 1874 apareció su primer trabajo sobre ía teoría de conjuntos. Además, trató 
durante muchos años de probar la hipótesis del continuo. Actualmente, su obra es ampllameme 
reconocida y ha sido acreedora de varios honores. Sistematizó el conjunto IR de los números 
reales y usó el concepto de conjunto abierto.
Fuente: Wikipedia
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^ DEHMfCIÓN
Es una reunión (colección o agrupación) de objetos o en> 
tes materiales e inmateriales con características propias. 
Ejemplos:
El conjunto de los animales mamíferos.
El conjunto de los países americanos.
El conjunto de los números impares.
^ NOMENCLATURA
Usualmente se le denota por cualquier letra mayúscula 
del abecedario A, B, C, D... X, Y o Z y los elementos 
que componen el conjunto se designan por letras mi­
núsculas a, b, c, d, ... X, y o z; estos están separados 
por comas o puntos y comas encerrados entre llaves. 
Si un conjunto A está formado por tos elementos 1; 2; 3 
y 4 se escribirá; A = {1; 2; 3; 4} y se lee: “A es el conjun­
to de ios elementos 1; 2; 3; 4”.
•<1 RELACIÓN DE PERTENENCIA (e )
Es la que se establece entre un conjunto y un elemento. 
Ejemplo:
1 e A
elemento conjunto
Indica que 1 pertenece al conjunto A; 1 es un elemento 
del conjunto A.
^ DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO 
Por extensión
Cuando se nombran todos y cada uno de los elementos
que lo constituyen.
ejem plos:
A = {a; e: i; o: u}; B = {2; 4; 6; 8; 10;...}
Por comprensión
Cuando se nombra la característica que tienen todos 
los elementos.
Ejemplos:
P = {x/x e s .......... }; B = {x/x e W, es par}
característica
^ CLASES DE CONJUNTOS 
Universal
Es el conjunto que se toma como referencia; es un con­
junto fijo del cual se toman otros conjuntos, usualmente 
se le denota por U.
Los conjuntos universales más importantes en mate­
mática son los conjuntos numéricos: IR, IK, Z y ® en 
ese orden.
Ejemplo:
Sea el conjunto universal: U = {x e Dí/2 < x < 9} 
es un universo de los conjuntos:
A = {3; 4. 5}; B = {4; 6; 8}; C = {3; 5; 7}
Porque todos los elementos de los conjuntos A, B y C per­
tenecen al conjunto universal U.
Nulo o vacío
Llamado también conjunto nulo, es aquel que no posee 
elementos; convencionalmente, el conjunto vacío es un 
subconjunto de cualquier otro conjunto; se le represen­
ta por: 0 V { }
Ejemplo:
El conjunto de los números pares que terminan en 5. 
Unitario
Aquel que tiene un solo elemento.
Ejemplo:
A = {x/x es el conjunto de planetas con el nombre Tierra} 
B = {9}
Finito
Cuando tiene un número conocido o limitado de elemen­
tos. Es dedr son susceptibles a ser enumerados.
Ejemplo:
A =: {x/x es el conjunto de computadoras que tiene de­
terminada oficina}
In fin ito
Es aquel conjunto que tiene una cantidad ilimitada de 
elementos.
Ejemplo:
A = (x/x es un número primo}
■<1 RELACIONES ENTRE CONJUNTOS 
Conjuntos iguales
Cuando tienen los mismos elementos, no importando 
et orden y la forma de presentación de los elementos. 
ejem plo:
A = {1:2; 4; 8; 16}; B = {2; 2'; M ; ^ ; 6°}
Conjunto de inclusión o sul»conjunto
Un conjunto A está incluido o está contenido en un con­
junto B, si todo elemento de A es elemento de B. Esto 
se indica de la siguiente manera;
A c B
t
Está contenido 
o está incluido
B d A
t
Incluye o 
contiene
Ejemplo:
Sea: A = {1 ; 2; 3; 4}; B = {1 ; 2; 3; 4; 5; 6} 
De donde se observa; A c 6.
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St
SI;
A ( .B * B rA « » A » 6 
Ac B ' iB c Ç a A c C 
t^c. A, V A 
/ A • A
^ COMPARACIÓN ENTRE CONJUNTOS 
Conjuntos ills|untos
Son aquellos que no tienen ningún elemento común. 
Ejemplo:
A = {a; e}: B = {1; 2; 3} A es disjunto con B 
Conjunto de conjuntos
Es un conjunto cuyos elementos son otros conjuntos. 
A={ {1 } ; 0; {1;2};{1;2;3}}
Conjunto potencia
Dado un conjunto A, se denomina conjunto potencia o 
conjunto A. Se denota por P(A).
Sea; A = {1;2;3}
P(A) = {{1}; {2}; {3}; {1; 2}; {1; 3}; {2; 3}; {1; 2; 3}; 0}
Donde el número de elementos del conjunto P(A) es 
^ = 2^
En general se demuestra que:
n.° elementos del conjunto P(A) de un conjunto A que
tiene n elementos = 2".
Conjuntos comparables
Dos conjuntos A y B serán comparables si A c B v B c A, 
esto es si uno de los conjuntos es subconjunto del otro.
Ejemplo:
SI A = {1; 2; 3); B = {1; 2; 3; 5)
Entonces A es comparable con 6 porque A c B.
-<1 REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS CON­
JUNTOS
Existen dos formas para representar gráficamente las 
relaciones entre los conjuntos. Las formas más conoci­
das son los diagramas de Venn-Euler y los diagramas 
lineales.
Diagramas de Venn-Euler
Los conjuntos se pueden representar aquí, mediante 
ciertas curvas simples y cerradas y de distintas formas 
las cuales delimitan los elementos de un conjunto dado. 
Ejemplo:
A = {a, e. i, o. u}; B = {1; 3; 5; 7}
fig. 1 fig. 2 fig. 3
Generalmente al conjunto universal se le representa por 
medio de un rectángulo (fig. 3).
Diagramas lineales
Usado por lo general para conjuntos que están inclui­
dos en otros.
Por ejemplo:
• A c B se representa de la siguiente manera:
B
A c B j A c C y B c D , donde D y C son no com­
parables, se tiene:
D
1
B C
^A ^
M c P ; P c Q ; M d R ; R d T, R c M ; T c R 
Q
^ OPERACIONES CON CONJUNTOS 
Unión (U)
La unión o reunión de dos conjuntos A y B se define 
como el conjunto de todos los elementos que pertene­
cen a A, a B o a ambos y se denota por:
A u B, se lee “A unión B'
Gráficamente;Ejemplo:
Sean
A = {1:2; 3; 4}
B = {2;4:6}
A u B = {1:2;3;4: 6}
En general. Dado dos conjuntos Ay B, entonces existe: 
A U B = {x/x e A V X e B}
1 . A u f i , S y e t ú n i c a
2. AUD-*BUA
3l ^ B ) U C 3 A u ( B u C ) 
Á A. A - A 
6 A U 3 - A 
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