Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (10)

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es decir;
P [P [P ,,.[P (x )]...3 l = a"x + b •.a-11
Ahora en ei problema: P(x)=^ax-i b ...(I)
Por dato; P[P[P(x)j] = 27x + 52; según la propie­
dad planteamos; 
a ' - 1a"x ( b = 27x4-52.a - 1
De ta identidad; a ''= 27 a bl a ^ - 1 
a - 1 ■= 52
Con lo cual conseguimos: a = 3 a b = 4; luego en 
(1) se obtiene. P(x)= 3x + 4, finalmente tenemos 
P{-2) = 3(-2) + 4 P{-2) = -2
24. Calcuiar el valor de n si dado P(x) = nx + 3, se ve- 
nfica; P(x) + P{2x) -i- P(3x) = 30x + m,
Resolución:
Observar que; P(2x) = n(2x) + 3 = 2nx + 3;
P(3x) = n(3x) + 3 - 3nx i- 3.
Por condición;
(nx + 3) + (2nx + 3) + (3nx + 3) = 30x + m; es decir; 
6nx + 9 = 30x -r m; de la identidad: 6n = 30 
.’. n = 5
25. Sea: F(x)= 2F(x) vxeIR.tai que; F(x)-• 2, 
calcular el valor numérico de; 2000 - F (/l999̂ - 1) 
Resolución:
Como: F(x) '■ 2, podemos elevar al cuadrado a am­
bos miembros de la identidad mostrada:
[F(x)] ̂= x̂ + 2F(x), dando forma; [F(x)] ̂- 2[F{x)] = x̂ 
[F(x)]' - 2[F(x)j + 1 = x' + 1 ^ [F(x) -1 ]" = x̂ + 1. 
Es decir: F(x) = -Ix^ + 1 + 1 (I)
Allora reemplazando: x = /l999^ - 1 en (I) se con­
sigue:
F (/i999^- 1) = A/1999^- l f + 1 + 1 = 2000, 
Finalmente el valor pedido será; 2000 - 2000 = O 
.-. VN = O
26. Si; F(x) = X + 2; H(x) = x - 2. Proporcionar el equi­
valente de: F[H(x)j + H[F(x)].
Resolución:
• Para encontrar F[H(x)j se deberá reemplazar x 
por H(x) en F(x):
^lH(x)] = H(x) + 2; pero: H(x) = x - 2, luego
F(H(x)] = x - 2 ^ 2 - x ..,(1)
Para encontrar H[F(x)] se deberá reemplazar x 
por F(x) en H(x);
H[F(x)] = F(x) - 2; pero F(x) = x + 2, luego
H[F(x)] = x + 2 - 2 = x ...(II)
Finalmente de sumando (I) y (11) se obtiene lo 
pedido;
F[H(x)] + H[F(x)] = 2x
27. Si: xF(x) + 16 = 4F(x) + x̂ ; encontrar: F(x - 4), 
Resolución:
Efectuando transposición de términos en la condi­
ción tenemos: xF(x) - 4F(x) = x̂ - 16 
=> ( x - 4 ) F(x) = x̂ - 4̂ = (x + 4)(x - 4)
De donde: F(x) = x -i- 4 ...(I)
Como se pide; F(x - 4); debemos reemplazar 
en (I) X por (x - 4) asi:
F(x- 4) - (X - 4) + 4 F(x - 4) = X
28. Sabiendo que:
4i(x + 5) = 2x - 1 y (|)(h'(x) + 1 ) = 4x + 3 
Calcular: My[4>(7)}
Resolución:
Si; íi(x + 5) = 2x - 1 => <(1(7) = 3 
Luego, se busca v|/(3):
De: (t*(x + 5) = 2x - 1 - 2(x + 5) - 11 
Cambiando x + 5 por n/(x) + 1 :
‘t'ívM + 1) = 2(v(x) + 1) - 11 
Por dato: 2(y(x) + 1) - i i = 4x + 3 
De donde: n/(x) = 2x + 6 v(3) = 12
29. Se sabe que un polinomio P(x) es tal que es
de 3.° grado, P(1) = P(-2), P(0,5) = 2P(1/2),
P(2) = 12, P(0) = 2. ¿Cuál es et coeficiente del 
término lineal del polinomio?
Resolución:
P(x) es de tercer grado, 
como: P(1/2) = O =» 1/2 es raíz.
Luego: P(x) = (2x - 1)(ax ̂+ bx + c), 
como P(0) = 2 =* término independiente = 2 
Luego; P(x) = (2x - 1)(ax' + bx - 2)
P(1) = P(-2): a + b + c = -5(4a - 2b - 2)
^ 7a - 3b =4 ...(I)
P(2) = 12; 3(4a + 2b - 2) = 12 
4a + 2b = 6 ...(II)
de (I) y (II): a = b = 1
P(x) = (2x - 1)(x' + x - 2)
=> P(x) = 2x ̂ + x̂ - 5x + 2
Coeficiente del término lineal = -5
30. Sea P(x) = ao + a,x + ... + a„x" un polinomio
de grado n. Definimos un operador sobre los
polinomios mediante D(8o + â x + ... + agx"] = 
a, + 2â x + 333X2 + ... + na„x''’ ’.
Determinar el polinomio P(x) tal que 
D[P(x)] = 3x̂ + 2x^ Dar la suma de sus coeficien­
tes como respuesta.
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Resolución:
Por dato: D{P{x)] = 3x ̂+ 2x^
Según e! operador: D[P(x)] = 3x^” ’
Luego se concluye: P(x) = x ̂+ ^ x “* + ao
Nos piden: ZcoeflP] = P(1)= ®o + ^
Observar que el operador D aplicado al potinomio re­
presenta a la primera derivada del polinomio.
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 (UNI 1970)
¿Cuál es el valor numérico de la expresión:
( 2 - x - x ') '- ‘ , parax = -2?
A )-0,25 B )-5 4 0 2
D)0 E)512
Resolución;
Reemplazando el valor de x en la expresión dada, se 
tendrá:
(2 - (-2 ) - (-2 )'] ' ■ = [2 + 2 - = O
Clave: D
PROBUMA 2 ( tN I 1971)
Encontrar el valor numérico de;
A + A + _ L _ .^ _ .§ £ _ S ^ + a " -b " -c ^ be ac ab a b c
Para a = 1; b = j ; c = I
A) 7 11
144 B ) 7 ±
E )8 A
0 9144
D ) 9 ^
Resolución:
Reemplazando los valores dados en la expresión dada:
1 1 i i \ i i ) 1
i m
i ) ( i
3
.3/14 
2
l i
4
i l i
c ; = 1 2 4 . 8 , 6 _ ^ _ 3 _ 4 , J _ _ J _ _ J L 
2 ^ 3 ^ 4 12 8 6 4 9 16
S = 9 + S = 9 ®144' 144
Clave: 0
PROBLEMA 3 ( tN I 197S)
En el siguiente polinomio: P,2, = ax" + bx + c 
Se sabe que: P(,, = P(3, = O y P,2, = 2 
Calcular; (a - b + c)
A )-4 B }-8 0 - 1 2
D )-16 E )-20
Resolución:
Por dato: P(i, = a + b + c = 0
P,3, = 9a + 3b + c = O 
P,2, = 4a + 2b + c ~ 2 
Resolviendo el sistema; a = -2; b = 
Se pide: a - b + c= -16
5; c = - 6
Clave: D
PROBLEMA 4 ( tN I 1983 - II)
El polinomio: P«, = ax* + bx̂ + cx" + dx + e es tal que;
P(0) ~ P(-i) — 6 y P|,| — P(i _
Calcular: (2c - b)
A) 2a 
D)5
Resolución:
Como: P,o, = 0 => 
Además: P,., = P,
B ) 3 - a 
E) 6
e = 0
0 4
Pm, = P,i> = 0 « a + b + c + d = 0(0 ) “ ' ( 1 )
P,.i, = 6 
P/-H = P,„ = 6
- b + c - d = 6
-( I)
...(II)
16a + 8b + 4c + 2d = 6 
8a + 4b + 2c + d = 3 ...(IN)
(1 ) + (2): a + c = 3 a = 3 - c
(1) - (2): b + d = - 3 ^ d = - 3 - b
(IV)y(V) en (III);
8(3 - c) + 4b 4- 2c - 3 - b = 3 
-6c + 3b = -18 2c - b = 6
PROBLEMA 5 (UNI 201 3 - II)
El valor numérico de:
P(x) = X® + (3 - 3 /3x" - 9^3x' + 5x + 7/3 
Para: x = 3/3 es:
A)20/3 B)22/3 C ) 2 4 l3
D)26/3 E) 28/3
Resolución:
Por Ruffini:
...(IV )
-..(V)
Clave; E
1 (3 - 3/3 -9 /3 0 5
X = 3/3 3 9 0 0
1 3 0 0 5
R = P , , , = 2 2 /3
7/3
15/3
22/3
Clave: B
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n
P R O B L E M A S
■ m
PROPUESTOS ■ ■
1. Sedefine:
P (a )
P (a P ) = 7 4 f ; a > p ,
Además P(x) O, v x, calcular: P(6) x P(2) - P(3) x P(1 )
A) 6 B)2 C)3
E)0D)1
2. Dado los polinomios;
H(x + 1) = 4x - 5 
F(-x) = X + 1;
P(x) = H(x) + F(x) 
determinar: P(x) + H(1 ) x F(-1)
A ) 3x - 18 B)3x C)3x+10
D ) 3 x - 8 E)3x+18
3. Si H(x) = (X + 1)(x + 2){x + 3) ... fx + n)
10
n 6 Bí A n > 30; calcular ( - i)
A)1
D)0
B)2 C) 10
E) mayor que 50
4. Si; [F(x}]' X f ( I ^ ) - ( I / ; calcular: F(3)
A) -6 
D)3
8)5
E)-1
C)2
5. Si se cumple:
P(x - 1 ) + P(2) = P(x) + P(1 - X ) + (5x - 4) P(x + 1 ) + 6x" 
Calcular la suma de coeficientes de P(x + 8)
A) -6 
D) 14
B)6
E )-2
C)2
6. Si: P(x) = 7i; f(x) = 0: calcuiar: £(P(i) + f(i))
A) T I
D) 10 + 71
B) IOti 
E) 5571
C)0
7. Si: P(x) = ^ ; encontrar el equivalente de P[P(x)]— ó
A) x' 
D) X'
B)x
E)2x
C)0
8. Si; 8{x + 1)^+b(x - 1)̂ = 9x̂ + lOx + c 
Hallar: abe
A) 42 
D) 224
B) 48 
E)36
C) 126
9. Si H(H(x))= 4x + 1, calcular el mayor valor de h |-^ 
17A) ^ 
D)0
B)5
E)7
C)-5
10. Del siguiente polinomio: 
P(x + 3) = ax̂ + bx + 2
Se cumple que: suma de coeficiente es igual al 
término independiente. Calcular
D )1 E)9
C) 5
11. Si se cumple P{2x) = P{x + 3); calcular P{2) h- P(5)
A) 2 
D) -2
8)1 C)-1
E) Faltan datos
12. Si: P(x -1- 5) = (x+ 3)'" + (x - 1)'- t (x - i;
Calcular P(21)
A) O 
D) 19"
20 sumandos
B) 19' 
E) 19-
C) 19'
13. Si el polinomio:
P{x) = (n - 16)x" + 2x"-’ + 3x"■ '+ ...+ (n + 1) 
es mónico; calcular la suma del término indepen­
diente con la suma de coeficientes.
A) 171 
D) 189
B) 172 
E) 177
C) 188
14. Si: 5f(x) = x + 2 + calcular
A , |
D)1
B ) f
E)7
Indicar el valor de: P[P[P[P[P[P(2003)]]]]
A) 2003 B) / f C) /Ti
D) ^ E)1000
16. Si: f(2x + 1) = x, calcular 
E = 2f{x) - f(2x)
A) 4
d ) 4
8) 1/4
e ) 4
C)1
17. Si se cumple que: P{x) = q |2+-1|
y además Q(x) = 2x + 7; calcular: E = P(2) 
A) 4 B)8 0)12
D) 10 E)11
18. Calcular: G[F(1)]
si: F(x) + G(x) = 5x - 8 
F(x) - G{x) = 7x + 6
A)5 8)12 C)-12
D )7 E )6
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19. Si; P(x + 2) = 6(x + 1) - 5 
además; P(f(x)) = 12x - 17 
hallar; f(10)
A) 12 B)19
D)10 E)13
C) 20
20. Sea P{x) = Q(x) tal que P(x) = 3(x + a) - b{x - 2) 
Q(x) = 2bx +11. calcular: a + b
A) 3 8)4 C)5
D) 6 É) O
21. Calculara en el polinomio: P{x) = 2x + 1 
si: P(P(a)) = 5
A )1 B )1/2 C) 1/3
0)1/5 E)2
l2 x + Í322. Sabiendo que: F(x) =
/ 5 X - / 2
Obtener: F[F(x)] 
A)2x
X
5D )4
B ) f
E)x
C) 5x
23. Sí se cumple que:
F(x) = ^ : F[G(x)] =x - 1 ’ ■ x - 2
Dar el valor de G(x).
A) X B) x + 1 C) X - 1
D) 2x - 1 E) 2x
24. Si: F(x - 2) = 2x"
A) 15 
D) 13
- x - 1 , calcular F(1) + F(-1)
B) 16 C )14
E) 12
25. Si: F(x^ + 1) = x̂ + X - 12; calcular: F(9) + F(28)
C)0A) -6 
D) 12
B)6 
E) -12
26. Si: F{x) = X* + 1; X < 1
Vx + 1; X > 1
Calcular: F(-3) + F(4)
A) 15 8)9
D)13 E)12
C) 11
27. Si: P(x) = x" + 3x - 10. hallar: P{x + 3)
A )x^+10x + 8 8)x^ + 9x + 8
C) x̂ + 9x D) x" + 8
E)x"
28. Si: P(x^ - = 5(x^ - / x f + 2(x" - Vx + 1) - 2
hallar: P(-2) + P(0)
C) 12A) 14 
D) 18
B) 16 
E)20
29. Si la suma de coeficientes de: P(x) = (x ̂- nx - 1)^ 
es igual al término independiente de:
Q(x) = (x ̂- 2x + 2)' + 9; hallar n.
A) 5 B)6 0 4 D)2 E)8
30. Si; F(x + 3) = + 2x - 15. hallar: F(x + 5)
0) x̂ - 7A) x̂ + 6x - 7 
D)x" + 5x + 7
B) x" + 6x 
E) x" + 9
31. Si: P(x+ 1) = x" - 3x - 28, hallar: P(3x - 1)
A )3x"-21x B)9x" -18
C) 9x̂ - 21x - 18 D) 9x̂ + 21x + 18
E) 3x" - 7x - 9
32. Si: P(x) = 3x + 4 a P(Q(y)) = 6y + 7, hallar: Q(3)
A) 9 B)7 0)11
D)5 E)13
33. Si: F(x) = ax + b ; F(1) = 4 A F{-1) = 6, hallar: 
F(F(5))
A) O 8)5 0 ) - 5
D)10 E)-10
34. Si: F(X) = (X- 1 )" + a, hallar: + ; x # O
A) 4 
D) -2
B) -4 
E)1
0 )2
35. Si: X, y G Z*; se cumple:
F(x + y) = F(x) + F{y) a F(1 ) = 6. hallar: F(3)
A)1 
D) 16
36. Dar el valor de:
B) 12
E)6
C) 18
:¿^[P(V2)1+ P(V3) + P(V4) + ... - P(VÍÓ2)] 
sabiendo que; p{ x - = x^ -
A) 50 
D)54
B) 52 
E)60
0)53
37• Si: [F{x)f F i]1 - X
+ X
calcular el valor de F(3)
I f
3Í
A) 2 
D)3
38. Si: P
B)5
E )-1
O) -6
V 3x- 1
V 3x- 1
= V3x,
calcular E = P(2)P(4)P(6)...P¡98)P(100) 
P{3)P(5)P{7)...P(97)P(99)
A) 2,01 
D) V3
B) 2,02 
E)2
39. Sea: F una función tal que: F: IN"
I. F{2) = O
II. F(ab) = F(a) + F(b)
III. F(n) = 0; si la última cifra de n es 3
C) 2,03 
IN'"; cumple:
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1 0 0 ■ C o l e c c i ó n U n ic ie n c ia S a p ie n s 
Calcular: F{1994)
A )1994 
D )1992
B)0
E)(1994f
C )1993
40. Si: F(x) = ax + b y F(2) = 11: F(-2) = -5; hallare! 
valor de F(3)
A) 13 
D) 16
B) 12 
E) 18
C) 15
41. Si: P(x - 2) = x' - 4x + 4, hallar:
A)1
D)4
E = /P(3)-P(4)
B)2
E)5
C)3
42. Siendo P(x) y F(x) dos polinomios los cuales 
satisfacen:
P(4x + 1) + 3x = 7 + F(x + 3)
F(5x + 1) - 13 = x' - P(2x + 11)
Calcular: '/^(P(Í3)j
A) 4 
D)7
8)2
E)9
C)6
43. Dado; P(x - 1) = ax̂ - bx̂ + cx - 6
calcular el valor de P(2); sabiendo que P(-4) = 7
A )-11 8)10 C )-17
D)15 E)-19
44. Si: P(x) = x“ - 13x̂ + 36
calcular: P(-2) + P(2) + P(-3) + P(3)
A) 10 B)0 C)8
D)-10 E) -8
45. Si; P(x) = x̂ + 2x + 1; Q(x) = x̂ - 2x + 1; calcular
P(3) + Q(-3)
A) 32 8)0 C)16
D)64 E)12
46. Si: F(x + 3) = x̂ + 3x̂ + 3x+1; calcular: F(4) + F(-2)
C) -54A) -12 
D) -56
8) -2 0 
E) -43
1. E i 7. B i 13. D i 19. B 25. A 1 31 C C i 43. E
2. A 1 8. C i 14. A i 20. B 26. D 1 32 B 38 A 1 44. B
3. D i 9. B 1 15. A i 21, B 27. B i 33 B 39 B I''4 á A
4. A i 10. C 1 16. D 1 22. É ■ 28. B [ 34 B i 40. C r - M . D
§. A 1 11. B i ■’ 7' C i 23. C 29. C ] 35 C 1 :
6. B ! 12. A i 18. C i 24. C 30. A 1 » A i 42. B
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