Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (106)

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Desdoblando
Luego: S = (2870) + 
,, s = 2871 - ^
' - A
6. Si la serie: S = l . l l . l L l j . 1111 , 
a a" a"
13converge a -;r^,determinar el valor de "a".OD
Resolución;
Hallemos la suma:
a a' a' a*
Multiplicamos por f — ):
10S . 10 110 , 1110
a â ^ â
(I)
..(II)
Suma limite = 1/a
1 - 1/a
Observar que la razón es: < 1
Luego: S
8 =
a -1 0 1
Luego:
(a -1 )(a -1 0 ) 
a
a - 1
=> punto de convergencia
13 13
(a -1 )(a -1Q ) 36 (13 - 1)(13 - 10)
Obsérvese: a = 13, verifica
Además: 1
a 13 < 1 a = 13
7. Determinar la suma de la serie:
f 2"-'
n = l(1 +2'^{1 +2"-')
Resolución:
Sabemos que. 2 x2 '’ ” ' = 2n 
^ 2" ■ ' = 2" - 2" '
^ 2 "- ’ =(1 + 2 ") -(1 + 2 " - ’)
Sea 8 lo pedido (reemplazamos ahi):
3 ^ ^ (1+2 ”) - ( 1 + 2 " - ’) 
n = 1 (1+2")(1+2"-^)
Desdoblando: S = V / — -— r ------ —
n = i l l+ 2 " - ' 1+2"
Extendiendo:
8. Determinar el valor de la suma: 
= - 1 1 1
2x4 4 x6 6x8
Resolución:
Multiplicamos por 2:
2 E = ^ + - ? - + - 2 _ + +
2x4 4 x6 6x8
Desdoblando:
( l - i S
48x50
48x50
J 1_'
48 50:
2E = - - — 2 50 2E = — • E = —50 25
9. Se proponen las siguientes proposiciones:
I- Si {a„}p ̂ „ / a„ = entonces la sucesión es 
3
convergente.
li- {aXeDf/an* 1 = 3 + a „ ,a i = 1,v n>2 
es convergente.
m . { a j „ , « / a „ + 1 = l a , ; a , - 1, V n > 2 
es convergente.
¿cuáles son correctas?
Resolución:
I. ^
• V n G Di: n<3" =» -ü < 1 
3"
V n e Di: 0<a„< 1 
n + 1
n + 1
_n_
3"
3n
=> {a j es acotada. 
< 1, V n e IN
=> a„^i < a„ => {a„} es decreciente
Luego {a j es convergente. (V)
li. {a j„^ „/a ^ .i = 3 + â A a, = 1 
32 = 3 + a? = 4
a, = 3 + 8̂2 = 3 + 4̂ = 19
= 3 + a3 = 3 + 19̂ = 364
De donde lim 3f̂ = CC
=> {a„} no es convergente. (F)
Ili. {aJ,.j,/a „.i = ^a , A a, = ^
a„ 2 an.1
=9 {a j es decreciente.
^ > a, > 82 > a3> ... > a„> ... > 0 
{aJ es acotada.
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Luego: {aJ es convergente. 
Son convergentes: I y III
(V)
10. Calcular el valor de convergencia de la siguiente 
sucesión:
; V n E IN
n + 3 ' 
r\ + 2)
= e'
11. Considere la sucesión definida por. 
determinar el valor de convergencia 
Resolución:
( a X - 1 9 19 33
(an)- T.6’ 11'18’
1 i l i 33 
’ 6’ 11’ 18'
/a i= j 3 Í l i . 3 3 . 
{an) í 3’ 6 '11'18"
Sea: a = — ĉ
Donde: {b„} = {3; 9^9^33;
6 10 14 
T 4
b„ = 3Co’ ' + 6C" ' + 4 C r ' 
b„ - 3 + 6(n - 1) + 4-̂-- -~
bp = 3 + 6n - 6 + 2n̂ - 6n + 4 = 2n̂ + 1 a 
{c j = {3; 6; 11; 18;...}
T T T 
2 2
Cn = 3C S -V 3C r’ + 2C5-'
C„ - 3 + 3(n - 1) +
Cn = 3 + 3n — 3 + n̂ —3n + 2 = n̂ + 2 
Luego: a„ = - => lim a. = lim = 2
n-̂ + 2 
{aJ converge a 2
n" + 2
PROBLEMAS RESUELTOS l o " * '
1. Dada la sucesión de término general
S„ = ■lñ~+~i - í ñ . hallar su convergencia.
Resolución:
lim S, = lim(7n + 1 - /ñ) = l im | - j= j— ^ O 
.-. Luego: {S„} converge a 0.
2. Sea (a„) la sucesión cuyo término general es 
a„ = Vn + 1 - ^/ñ, hallar su convergencia. 
Resolución:
{an}n=w/a„ = ̂ n̂ + 1 - /̂ñ lim â = limíVn + 1 - ^/ñ)
= lim
V(n + 1)̂ + 3;n(n+ 1) +
= O
=» {a„} converge a 0.
lim = limíVn ̂+ 1 - n) = lim
.-. {aJ converge a O
= O
1 + n
3. Si en la sucesión: a,, 82, 83, ...a„, ... se cumple que
3n*2 - 3(1-1 + a„; vn > 1 y ag = a „ = 10,
Hallar a, + a„ + a. + a.
Resolución:
{â } / a „, 2 = a„.̂ , + a,; v n e IN a a, = a„ = 10 
Sea: S = 83 + â + aj + ag 
^ S = as + a; + ag = 2as + ag 
n = 9: â i = a,o + Sg => a,o — O
n = 8: a,0 â + â =» 3g = —10
n = 7: Bg = + 87 =» a? - 20
n = 6: ag = 87 + a« => ag = -30
n = 5: â = as + 85 => 85 = 50
^ S = 2(50) + (-30) .'. S = 70
Sea: Tc = -1; para: k = 1 ; 2; ... se cumple:
1 1 1
' 2^+1 2“ + 2 2̂ + 2̂
entonces en la serie: Ŝ = r̂ + r, - 
Hallar la convergencia. 
Resolución:
r„ = i A V k e M
1 1 1
" 2“ + 1 2̂ + 2 2*̂ + 3
S, = To + r, + r̂ + ... + r. 
Tenga en cuenta la propiedad
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Dada la serie ^ a „
d= 1
Si lim a„ 0 ==» diverge
" k = l
V k e Di: 2̂ + 1 < 2“ + 2 
1
2 V l 2*+ 2̂
Análogamente: > 1
2''+ 2 2''+ 2'' 
1 >. 1
Sumando: r. >
2 '+ 2' 2'' + 2’‘ 
2" 1
1r, > V k e IN
2'' + 2̂ 2
=> lim r. 5¿ 0
k - : c '
=* Ŝ, = Po + r, + Tj + ...+
Diverge, pues: lim S,< = + ̂
k = 0
(crece ilimitadamente)
5. Dada la sucesión (0; 0; 6; 18; 36;...}, determinar el 
lugar que ocupa el número 216.
Resolución:
{a j = {0; 0; 6; 18; 36:...}
Donde: 8n = 3b„, siendo:
{bj = {0; 0; 2; 6; 12: „.}
{b„} = {0; 0; 1 X 2:2 X 3; 3 X 4;...} 
b„ = (n - 1)(n - 2) == a„ = 3(n - 1)(n - 2) 
Luego; = 216 = 3(n - 1)(n - 2)
= (n - 1)(n - 2) = 72 = 9(8) n = 10
6. Determinar el valor de convergencia de la sucesión; 
Resolución:
lim 8r, = limh + = lim
limíl n -ivl n
7. Determinar el limite de la función f,
/ n + 1 ^{̂r>) = [ — , ^ , cuando n tiende al infinito.. n + 3 
Resolución:
lim t = limíl - n + 3
= lim
= e"
2(n-2)
= e"
2 ( n * 2 )
■fi-3Í _ 0-2(1) _ -̂2
8. Determinar el número cual converge la sucesión;
n ll2 3 4 n+1
Resolución:
Propiedad: de la media aritmética 
Sea {a„} una sucesión.
Si: iim a = L lim a i± f»2 + a3+ ^ + a, ^ ^
h rr, 1 / 1 ^ 2 ^ 3
^ Í"1 F(2 + 3 + 4
lim b„ = 1
n+1 = 1
9. Dada la serie: — + ^ + ^ ^ + a > 10. 
a â â
hallar el valor de "a", tal que la serie converge a:
Resolución;
Siendo: a > 10 
5 _ 11 , 101 , 1001 , . , 1
e _ 10+ 1 , 10"+ 1 , 10^+ 1 ,O ------ r-----K---- 5---- 1------5— + . . .
a a‘
Como; a > 10 
« S =
O < < 1
10
a 10
1 -1 ° 1 --L
10 1
1 a -1 0 ' a -1
a
a -1 0 ' a -1 ^19
De donde: a = 20
10. Determinar la suma de la serie: ^ (2”" + 3”")
rl'>̂
Resolución:
Tenga en cuenta que; vlr|<1 
£n» 1 ' '
S = £ (2-" + 3-")^ = ¿ (4-" + 2(6)-" + 9-")
r - I n i. 1
s = X 4 - + 2 Í 6 - + ¿ g -
n= 1 1 = 1 n - 1
1 1 1 
- 4 , o, 6 , , 9S =
1 1 2 ( - ^ )
1 V
4 6
1 00
11. Determinarci valor de T = 2^ 1
n(n + 2)
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Resolución;
100 2
T = 1 V 2 . 1 i_ \
2 ,4',n(n + 2) 2 n + 2 Ì
T ^ I y f l y f _ ^ 12 n = i'n n + 1/ 2 “ iln + 1 n +
t = 4 ì 4 - '• + 4 ( 4 - ^2\1 101/ ' 2\2 102;
T = I/1 0 0 u I/_ 5 0 .i = 7625 
2 \1 0 lj^ 2 ll0 2 ) 10302
12. Indicar cuáles de los siguientes enunciados son 
correctos.
I. {a j es creciente, a, = /2 , a„ = J2a„_^, n > 2
es decreciente.
es una sucesión acotada.
n"+ 1.
Resolución;
I. De a„ = ; a, = /2
Observamos:
82 ~ ^2â =» 82 — V2/2
83 = /2a¡ ^ 83 = J2J2W
84 = /2a¡ ^ a, =
Nótese que; a, aj < a, < 
=> la sucesión es creciente
..< a„ < 3̂ -1 <■ .. 
=> (l)es V
il. De la sucesión I ^ .1, se tiene: a. = -H-- In + 1) " n + 1
n + 1^ ñ ~ r*+ 1 
" " n + 2 3n “ ar.l1 = n
a - - a „ , , =
-1
(n + 1){n + 2)
n+1 n+2
+ 2n - n̂ - 2n - 1 
(n + 1){n + 2)
< 0; n e IN
=> a„ - < 0 =» a„ < a„.i
=:■ la sucesión es creciente = (II) es F 
n 1 _ nIII. De la sucesión n^+ 1 n"+ 1
Luego; lim â , = lim
n"+ 1
= O
=» {a„} es convergente, donde se sabe por pro­
piedad que toda sucesión convergente es aco­
tada ^ (III) es V 
(I) y (III) son correctos.
13. Sea la sucesión; 1, 7 , 37.175
5’ 25'125’ 625’ ' 
indicar cuáles de los siguientes enunciados son co­
rrectos.
I. Es decreciente. II. Es convergente.
III. Es divergente
Resolución;
De la sucesión: {a.)
I. Observemos: a. = a a, =b 25
Donde: a, < a, (1 < ¿
Con esto, ya se puede afirmar que no es decre­
ciente => (I) es F
3i = 4 -3 ^
5’
a - 2 - ^3 ^ -2 5 ^ 2̂ - 52
125 "
S r
Ahora; lim a. = lim
5̂
4 ^ -3 “
5̂
4^-3^
5''
Recuerde; si O < k < 1 = lim k" = O
n - ^
Aplicando; lim a„ = O- O = O
=» {a j es convergente =» (II) es V
III. Por lo anterior => (III) es F 
,', Solo (II) es correcto.
14. Determinar el valor de la siguiente suma;
n = 1
Resolución;
V n e IN; n(n + 1 ) es par
\-3fi _ ^ .|^n(n-l)/ 1
r = 1
1 \" 8 _ 1 
1 -4 ^
X ( - i ) ^ - w ^ " = S ( - - ' ) '
n = 1 r =1
£ ( - i ) " ‘ - " (2 r“ = £ ( i í =
15. A qué valor converge la serie:
k= 1
Resolución:
Tenga en cuenta que:
z
, t ‘i2(k!) 2 ,'e ,(k-1)!
S = I T k - 1 + 1 
(k -1 )!
, ( k - 1)! ' ( k - 1)!
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