Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (102)

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Sujeto a;
Graficando:
X > O, y > O 
2x + 4y > 8 
2x - 5y < O 
- X + 5y < 5
fserá mínimo en P 
Cálculo de P:
2x - 5y = O 
2x + 4y = 8 y= 9
Luego: f„.= f ( f ; f ) = 2 ( f ) . 8 ( | 
104iP
9
23. La compañía Tigre S. A. requiere producir dos 
clases de recuerdos de viaje: del tipo A y del B. 
Cada unidad tipo A producirá una ganancia de $1, 
mientras que una del tipo B generará un ganancia 
de $1,20, Para fabricar un recuerdo tipo A se ne­
cesitan 2 minutos en la máquina I y 1 minuto en la 
máquina il. Un recuerdo tipo B requiere 1 minuto 
en la máquina I y 3 minutos en la máquina II. Hay 
3 horas disponibles en la máquina I y 5 horas dis­
ponibles en la máquina 11 para procesar el pedido. 
¿Cuántas piezas de cada tipo debe producir Tigre 
S. A para maximizar la ganancia?
Resolución:
Sean x: n.° de piezas de tipo A 
y: n.° de piezas de tipo B 
Sea G, la ganancia obtenida tal que:
G,(x; y) = X + 1,2y 
Sujeto a : x > 0 A y > 0 
Horas en máq. I: 2x -h y < 180 
Horas en máq. II: x + 3y < 300 
Graficando:
G, será máxima en P, cuyas coordenadas son;
2x+ y=180 ^ ^ = 48 34
X + 3y = 300 ^
La ganancia será máxima cuando se produzcan; 
48 piezas dei tipo A y 84 piezas del tipo B
24. A continuación se muestran 4 regiones en el plazo 
xy, indique cuál(es) de ellas representan la región 
factible de un problema de programación lineal Di- 
dimensional.
Resolución:
►y
til.
Un problema de programación lineal bidlmensional 
{en IR̂ ) cuya restricciones son inecuaciones de pri­
mer grado, las cuales generan regiones delimita­
das por segmentos de rectas. Por tanto, solo es 
posible que 1 y IV sean regiones factibles en esos 
problemas.
25. Un granjero tiene 480 ha en la que puede sembrar 
cebada o maíz. Él calcula que tiene 800 horas de 
trabajo disponible durante la estación crucial del 
verano. Dados los márgenes de utilidad y requeri­
mientos siguientes;
Maíz: utilidad: $40 por ha.
trabajo: 2 h por ha.
Cebada: utilidad; $30 por ha.
trabajo; 1 h por ha.
¿Cuántas hectáreas (ha) de cada cereal debe plan­
tar para maximizar su utilidad?
R e s o lu c ió n :
Sean: x; n.° de hectáreas de maiz 
y; n.° de hectáreas de trigo 
La utilidad U (función objetivo) será:
U{x: y) = 40x + 30y 
Restricciones:
Terreno; x + y < 480
Horas de trab.; 2x + y < 300 
Además: x > O a y > O
Graficando:
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U será máxima en P, cuyas coordenadas son:
j X + y - 480 ^
[ 2x + y = 800 ’
^ = U(320; 160) = 40(320) + 30(160) = 17 600
26. Un grupo de aficionados de un equipo de fútbol en­
carga a una empresa de transportes el viaje para 
llevar a los 1200 socios a ver la final de su equi­
po, la empresa dispone de autobús de 50 plazas 
y de microbuses de 30 plazas. El precio del viaje 
en cada autobús es de 252 dólares y el del viaje en 
microbús de 180 dólares. Sabiendo que la empre­
sa dispone de 28 conductores. ¿Cuál es el costo 
máximo del viaje?
Resolución:
Sean, x, n.° de autobuses 
y, n.° de microbuses 
El costo C del viaje será: C„ = 252x + 180y 
Sujeto a las restricciones:
N.° de conductores: x + y < 28 
N.° de aficionados: 50x + 30y < 1200 
A además: x > O a y > O 
Gráfica:
C toma su máximo valor en P. 
Calculando las coordenadas de P:
X + y = 28 
50x + 30y = 1200
X = 18 a y = 10
Luego: C^,, = C(18; 10)
C„a,- 252(18) + 180(10) = 6336
27. Maximizar Z = 2x + lOy
Sujeto a las siguientes restricciones:
X + y < 30: X - 3y < 0; X > 0; y > O 
Resolución:
I. De las restricciones:
X + y < 30 hacemos L,: x + y = 30
X - 3y < O hacemos L2: x - 3y = O
X > O hacemos L3; x = O
y > O hacemos L̂ : y = O
II. Resolviendo gráficamente el sistema de inecua­
ciones formado, para ello graficamos las rectas: 
L,, L2, Lj y L4.
III. Cálculo del punto B: B(Xo; yo) = L, n Lj 
Resolviendo:
L,: X + y = 30; Lj: x - 3y = O
x ^ f
B(xc; yo) -
IV. Reemplazar las siguientes coordenadas de las 
esquinas en la función objetivo:
" ' ■ " ■ - - f í x ; y) 
e sq u in a ^" '\^ Z = 2x + lOy
0(0; 0) Z = 2(0) + 10 = 0
A(0; 30) Z = 2(0)+ 10(30) = 300
Z = 2 ( ^ ) + 1 0 (^ ) = 120
V. El máximo de Z es 300; cuando x = 0; y = 30
28. Determine los valores óptimos de la función objeti­
vo Z = 3x + y; sujeto al conjunto factible S.
Resolución:
Se puede observar en la gráfica que los vértices 
(esquinas) son puntos de intersección de cierto sis­
tema de ecuaciones.
Vamos a evaluar la función objetivo en cada es­
quina.
y)
esquin^\. Z = 3x + y
A(0; 2) Z = 3(0) + 2 = 2 (minimo)
9(1; 3) 2 = 3(1} + 3 = e
C(4; 0) Z = 3(4) + 0 = 12 (máximo)
0(1; 0) Z = 3(1) + 0 = 3
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Asi tenemos que los valores óptimos de la función 
objetivo Z = 3x + y son:
Z(máximo) = 12 a Z (minímo) = 2
29. Una fábrica produce cámaras fotográficas con­
vencionales y digitales. Se obtiene un ingreso de 
S/.400 por cada cámara convencional y S/.700 
por cada digital. En un dia no se pueden fabricar 
más de 300 cámaras convencionales ni más de 
200 digitales ni tampoco se pueden producir más 
de 400 en total. Si logra vender toda la producción 
del día. ¿Cuál es el número de cámaras de cada 
clase que conviene fabricar para obtener un ingre­
so máximo?
Resolución:
Planteamiento del problema 
Sean; x; número de cámaras convencionales 
y; número de cámaras digitales
• Se pide maximizar el ingreso;
I = 400x + 700y
Las restricciones según datos son;
X < 300; y < 200; x + y < 400
Donde, x > O j condición de no negatividad 
y > 0 i
• Graficando la región factible S,
Cálculo de las esquinas (vértices)
A (0 ; 2 0 0 ) B (2 0 0 ; 2 0 0 )
0(300; 100) D(300; 0)
0 (0 ; 0 )
Evaluar la función objetivo en cada esquina
^ ^ í x ; y) 
e s q u in a \ ._ ^ ^ 1 = 400 x + 700y
A(0; 200) 1 = 400 (0 ) + 700 (200) = 140 000
B(200; 200) 1 = 400 (20 0 ) + 700 (200) = 220 000
C (300; 100) 1 = 400 (300) + 700 (100) = 190 000
D (300; 0) 1 = 400 (30 0 ) + 700 (0 ) = 120 000
0 (0; 0) 1 = 400 (0 ) + 700 (0 ) = 0
Se concluye que se deben producir 200 cámaras 
convencionales y 200 cámaras digitales para asi 
obtener un ingreso máximo de S/.220 000.
30. Una sastrería tarda 2 horas en cortar y 4 horas en 
coser un traje tejido. Para confeccionar un traje de 
lana peinada, tarda 4 horas en el corte y 2 horas 
en cosido. En un dia de trabajo, la sastrería dispo­
ne de 20 horas para corte y 16 horas para cosido. 
Las ganancias por un traje tejido son de $34 y por 
un traje de lana peinada son $31. ¿Cuántos trajes 
de cada tipo deben producirse en un dia para op­
timizar su ganancta?¿Cuál es la ganancia máxima 
obtenible?
Resolución;
Una forma de plantear el problema es constru­
yendo una tabla en forma de una matriz (casillas 
dispuestos en filas y columnas) donde se deben 
colocar los datos del problema en forma ordenada, 
clasificándolas según las características del pro­
blema.
Variables 
de elección Árticutos Cortar Coser Ganancia
X traje tejido 2 4 $34
y
traje de lana 
pernada 4 2 S31
horas
disponibles 20 16
Paso 1;
Definir las , número de trajes tejidos 
vanables ] . ^ ̂ i .j
de elección ̂ peinada
Paso 2; Expresar la función objetivo que se desea 
maximizar G(x; y) = 34x + 31y 
Paso 3; Expresar las restricciones en términos de 
desigualdades en "x" e "y":
2x + 4y<20; 4x + 2y<16 
Paso 4; Condiciones de no negatividad; x > 0; y > O 
Entonces, el problema de programación lineal es: 
Maximizar G = 34x + 31y
Sujeto a: 2x + 4y < 20
4x -I- 2y < 16 
X > O A y > O
Paso 1; Graficar la región factible S;
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Paso 2: Hallar las coordenadas de los vértices;
Para hallar el vértice 
B, resolver el sistema 
de ecuaciones
2x + 4y = 20 
4x + 2y = 16
Reducir: X + 2y = 10 
2x + y = 8
(por - 2)
=» f -^x - 4y = -20 
1 2 V y ^ 8 
- 3y = -12 
y = 4 
X = 2
A=(0;5), B = {2;4), C - (4, 0):
Paso 3: Evaluar la función objetivo en cada es­
quina
Esquinas G = 34x + 31y
A(0, 5) G = 34(0) + 31(5) = 155
B(2, 4) G = 34(2) + 31(4) = 192
C(4, 0) G = 34(4) + 31(0) = 136
0(0, 0) G = 34(0) + 31(0) = 0
Conclusión: Deben producirse 2 trajes tejido y 4 
de lana peinada, para obtener una ganancia máxi­
ma de $192-31. Una aerolínea se dispone a adquirir aviones B327 
y B357. Los servicios diarios que debe proveer son 
de un minimo de: 2000 pasajeros en primera ciase, 
1500 en clase turística y 2400 en clase económi­
ca. Operar un avión 8327 cuesta $12 000 y puede 
transportar 40 pasajeros en primera clase, 40 en 
clase turistica y 120 en clase económica. Operar 
un avión 8357 cuesta $10 000 y puede transportar 
80 pasajeros en primera clase, 30 en clase turísti­
ca y 40 en dase económica. ¿Cuántos aviones de 
cada tipo debe adquirir para minimizar los costos 
de operación?
Resolución:
El planteamiento dei problema debe empezar res­
pondiendo ia pregunta:
x: n.° de aviones B327 
y: n.° de aviones B357Si se tiene
Se pide minimizar ei costo: 12 OOOx + 10 OOOy 
Sujeto a:
var. avi. 1.*
Clase
c lase
tu ris .
c lase
eco.
cost.
X B 327 40 40 120 12 000
y B357 80 30 40 10 000
> 2 0 0 0 > 15 000 > 2400
El problema de programación lineal es:
Minimizar; C = 12 OOOx + 10 OOOy
Sujeto a; 40x + 80y > 2000
40x + 30y > 15 000 
120x + 40y >2400 
X > O A y > O 
Reducir las restricciones: 
x + 2y>50 L,: x + 2y = 50
4x + 3y > 150 =» Lj: 4x + 3y = 150
3x -H y > 60 =■ L3; 3x + y = 60
X > O A y > O
Paso 1; Graficar el conjunto solución S (que es la 
región factible);
L, L2 L3
X y
0 25
50 0
X y
0 50
37,5 0
X y
0 60
20 0
Paso 2; Hallar las coordenadas de las esquinas
• A = (0; 6)
B - L, n L, 3x + y = 60 se obtiene 
4x + 3y = 150-^ B = (6:42)
r - I I • J 3y = 150 \ se obtiene 
- ̂ 1 x + 2y = 5 0 ^ 0 = (30; 10)
• D = (50; 0)
Paso 3: Evaluar la función objetivo en cada esquina
Esquinas C = 12 OOOx + 10 OOOy
A(0; 60) C = 12 000(0) + 10 000(60) 
C = 600 000
B(6; 42) C = 12 000(6) + 10 000(42) 
C =: 492 000
C(30; 10) C = 12 0 0 0 (3 0 )+ 10 000(10) 
C = 460 000
D(50: 0)
C = 12 000(50) 10 000(0) 
C = 600 000
Mínimo
Conclusión: Se detje adquirir 30 aviones B327 y 10 
aviones 8357 para obtener costo minimo de $460 000
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