Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (103)

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PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 (UNI 2 0 0 9 • II)
Sea S (a región limitada por las siguientes inecuacio­
nes:
y - X < 4
I - y <0
y + f <6
- K ~ y < - 2
al minimizar f(, sobre S se afirma:
A) Si = X + y, entonces se tiene 2 soluciones.
B) Si f(, j,) = y - X. entonces es solución
C) Si f̂ . y) = -̂ + y, entonces (2; 0) es solución
D) Si f(, y) = - y. entonces se tiene infinitas soluciones
E) Si = y - entonces (6; 3) es solución 
Resolución;
S es la región limitada por:
Xy - X < 4 y+ A <6
i - y < 0 - X - y < -2 
Graficando la región S:
B = (-1:3), 
D = {6; 3)
Para minimizar f(x; y), definidas en las alternativas, eva­
luamos f en los puntos A, B, C y D. Veamos:
A) Si f(x; y) = X + y
f(A)=2, f(B) = 2, f (C )= -^ , f(D) = 9
Como f(A) = f(B) = 2, entonces el mínimo valor 
de f se encuentra en todos los puntos de AB; se 
tendrían infinitas soluciones.
Luego, A) es falsa.
B) Si f(x; y) y - X 
-2f(A) = f(B) = 4. f(C)=4, f (D )= -3
Entonces ei mínimo valor de f se encuentra en el
A.-1È]
.13' 3 )punto D = (6; 3) y no en 
Luego, B) es falsa.
XC) Si f(x; y) = I + y
f ( A ) = | , f(B)= | , f(C) = 6, f(D) = 6
D)
entonces, el minimo valor de f se encuentra en el 
punto A = y no en (2; 0).
Luego, C) es falsa.
Si f(x; y) = I - y
f{A) = O, f(C) = -6, f(D) = O
E)
entonces, el mínimo valor de f se encuentra en el 
punto C = P°'' tendría una solu­
ción y no infinitas.
Luego, D) es falsa,
Srfíx; y ) - y - I
f(A) = O, f ( C } = ^ , f(D) = 0
Como f(A) = f(D) = 0; entonces el mínimo valor de 
f se encuentra en todos los puntos de AD; por lo 
que se tendrían infinitas soluciones, pero (6; 3) es 
solución.
E es verdadera.
Clave: E
PROBLEMA 2 (UNI 2010 - 1)
En relación a un programa lineal, indique ía secuencia
correcta, después de determinar si la proposición es
verdadera (V) o falsa (F).
I. Las condiciones de no negatividad significan que 
todas las variables de decisión deben ser positivas.
II. El número de puntos extremos de la región admisi­
ble es finito
III. En un programa lineal pueden variarse los coefi­
cientes de la función objetiva y aún mantenerse la 
solución óptima,
A) VFV B) FFF C) FFV
D ) F W E)V FF
Resolución:
I. La proposición es falsa.
Como X, y son variables de decisión, entonces se 
cumple que x > O, y > O, debido a la condición de 
no negatividad.
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II. La proposición es verdadera.
Debido a que el número de vértices de toda región 
factible es finito
III. La proposición es verdadera.
Tenemos la región factible F y la función objetivo 
f(x; y) = ax 1- by + c,. Supongamos que (x,; y,) e F 
es la solución óptima del problema, enton­
ces puede ser también solución óptima de 
h(x; y) = mx + ny + Cj.
Clave; D 
PROBLEMA 3 (UNI 2 0 1 0 - II)
Determine el valor mínimo que toma la función objetivo: 
P(x; y) = lOx + 20y, sujeta a las restricciones:
■ x + y > 2 
X - 2y < 2 
y < X
OOA) -70
D)20
B) -20 
E)30
Resolución:
Nos piden: valor minimo de 
P(x; y) = 10x + 20y
Sujeto a: x -i- y > 2
X - 2y < 2 
y < x
Graficando cada una de las desigualdades para resol­
ver el problema de programación lineal.
Ahora, para hallar el valor mínimo, evaluamos P{x; y) 
en los vértices de la región factible 
P(1; 1) = 10(1) + 20(1) = 30
P{2; 0) = 10(2) + 20(0) = 20
El valor mínimo que toma la función objetivo es 20.
Clave: D 
PROBLEMA 4 (UNI 2011 - I)
Un lago se liena de dos especies de peces S, y S2. La 
especie S, proporciona un peso promedio de 4 kg de 
carne y la especie un peso promedio de 2 kg. Dos 
tipos de comida F, y F2 están disponibles en el largo. El 
requerimiento promedio de la especie S, es 1 unidad 
de F, y 3 unidades de F2, mientras que el requerimiento 
de S2 son 2 unidades de F, y 1 unidad de F2 cada día. 
Si se dispone diariamente de 500 unidades de F, y 900 
unidades de F;, determine el número total de peces en 
el lago que maximice el peso total de carne de pescado.
A) 360 B)380 0)400
D)420 E)460
Resolución:
De los datos:
s ,
X
S2
y
Totales
F, 1 2 500
F. 3 1 900
Función
objetivo 4 2
Restricciones;
Graficando:
X - H 2y < 500 ... L, 
3x + y < 900 ... I 2 
X > O A y > O
Evaluando ia función objetivo 
f(x; y) = 4x + 2y 
f(0: 250) = 500
f(260: 120) = 1260 => solución óptima
( X = 260; y = 120)
f(300;0)= 1200
.-. El número total de peces es 380
Clave; B
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PROBLEMA 5 (UNI 2011 • I)
Sea:
S = {(x; y)/a,x + b,y < C,, + bjy < Ca, x > O, y > 0}
La región admisible de un problema de programación 
lineal.
Indique la secuencia correcta después de determinar si 
la proposición es verdadera (V) o falsa (F)
L Si se modifica S, obteniéndose
S, = {(x ; y ) /a , + b ,y <C„ â x + b jy < Ĉ , ajX + b jy < C3. 
X > O, y > 0}, la s o lu c ió n no c a m b ia , e n un p ro b le ­
m a d e m a x im iz a c ió n ,
II. Si f(x; y) es la función objetiva y (Xq; yo) es la so­
lución en S y (x,; y,) es la solución en S, enton­
ces, en un problema de minimización se tendrá 
f(xo;yo)<f(x,;y,)
En general S,, la nueva región admisible puede o 
no variar en relación a S.
A) FFV
D) WF
B) FW 
E) VFV
OFFF
Resolución;
I. Falso, porque depende de los coeficientes en 
ajX + bjy < C3 que podían modificar el punto de la 
región factible donde se obtiene el máximo.
II. Verdadero, al reducir la región factible por la parte 
inferior el mínimo valor aumenta, Al reducirse por la 
parte superior eí mínimo no varía.
III. Verdadero, toda proposición puede ser verdadera 
o falsa.
Clave; B
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■ " ■ O PROBLEMAS PROPUESTOS
Una tienda vende dos marcas de televisores. La 
demanda de clientes indica que es necesario tener 
en existencia un número de aparatos de A que sea 
al menos el doble de aparatos de B. También es 
necesario contar con por lo menos 10 aparatos de 
la marca B y 20 de A. Hay espacio para no más de 
100 aparatos en la tienda encuentre un sistema de 
desigualdades que describe todas las posibilida­
des par tener en existencia las dos marcas. Consi­
derar X la cantidad de A e y la cantidad de B.
A)
C)
E)
x>20 x> 10
y > 10 y> 10
x<2y o ¡ X < 2y
X + y < 100 X -H y < 10
x>20 x> 10
y>10 D) y> 10
x>2y x>2y
X + y < 100 X -i- y < 100
x > 5
y> 10
X > 2y
x + y < 100
2. Si la función objetivo Z = ax + 3y; a > O, toma un 
valor máximo de 39 en la región admisible mostra­
da, hallar el valor de "a”.
A) 1
D)4 E)5
3. Trazar la región S definida por las restricciones da­
das y marcar sus vértices. Calcular el valor máximo 
de C = 3x + y en 8.
3x - 4y > -12 
3x + 2y < 24 
3x - y <15
x > 0 ; y > 0
(S) =
A) 9
D)18
B) 15 
E) 21
C) 12
Calcular el máximo valor de Z= 5x + 4y, tal que se 
cumple:
' 6x + 4y < 24 
x + 2y < 6 
-X +y< 1 
0 < y < 2 
x > 0
5.
7.
8.
A) O
D) 15
B)5
E)21
C) 10
6.
Un sastre tiene a su disposición 16m ̂de algodón, 
11 m̂ de seda y 15m ̂ de lana. Un traje requiere 
Jo siguiente 2m^ de algodón, Im^de seda y 1m̂ 
de lana; una túnica requiere lo siguiente: 1 m̂ de 
algodón, 2 m^de seda y 3 m^de lana. Si el traje se 
vende por S/.30 y una túnica por S/.50, ¿cuántas 
piezas de cada confección debe hacer el sastre 
para obtener la máxima cantidad de dinero?
A) 8 trajes B) 4 trajes C) 7 trajes
O túnicas 3 túnicas 2 túnicas
D) 3 trajes E) 5 túnicas
4 túnicas O trajes
Si A es un conjunto definido por:
A = {(x; y) e E x E ^x - y < 1}
Entonces la figura que mejor representa la gráfica 
del conjunto A es;
A) y
/
/ X
D) y
E) y
[1
/ ,
'x
Resolver el problema de programación lineal. 
Maximizar: Z(x; y) = 3x + 2y 
Sujeta a las restricciones; 
x - t - y < 1 ; x > 0 ; y > 0
A ) -2 B)0 0 2
D)3 E)4
Maximizar F{x; y) = 4x + 6y, sujeta a:
X + 3y < 6 
3x + y < 8 
x > 0 : y > 0
A) 9,8 B)10,7 0 1 2
D)16,5 E)18
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