Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (12)

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9. Calcular el valor de "m" con la condición, que et 
polinomio;
Sea de grado absoluto 28 y que la diferencia de los 
grados relativos a x e y sea igual a 6.
Resolución:
GR(x) = 2m + n - 2 a GR(x) - GR(y) = 6 
GR(y) = m + n + 3; (2m + n - 2 ) - ( m + n + 3) = 6 
=> m = 11
GA(E) = 3m + 2n + 1 = 28 n = -3
10. Sabiendo que en el monomio:
M(x; y) -
el GR(x) es 32. Hallar el GR(y)
Resolución:
 _____ vn̂ -2
M(x; y) = r h y I
. . . , , nZr, n [3 r -2 . . (2 n 1)]
M(x; y) = (x y )
M(x; y )= ( y " 'y " ' ’ (ŷ '
GR(x) =32 ^ ■ ' = 2''̂ ^
GR(y) = n "̂ ■ ’ = 2''^’ ’ ' = 8
^3n-1 „ 2 n- 1
= x" y
n = 2
11. Se tienen 3 polinomios enteros P, Q y R (definidos 
en la variable x), sí se sabe que la suma de los 
grados de Q y R excede en 10 unidades al grado 
de P; también el grado de VP^QR es 10 y el grado 
(PQ\3
de -— ~ es 34, hallar la diferencia de los grados 
R“*
en Q y P.
Resolución:
Supongamos: GA(P) = a; GA(Q) = b; GA(R) = c 
Dato; b + c = a + 10 ...(I)
Otro: GA(Vp^QR) = 10 
2a < b 4- c
Además: GA
= 10=»2a + b + c = 40
(PQ)=
R"
= 34
...(II)
(lll)=> 3a + 3b - 4c = 34 
Nos piden: b - a
• (II) - (I): 2a = 30 - a = a = 10
• En (I): b + c = 20=*c = 2 0 - b
• En (lll): 30 + 3b - 4(20 - b) = 34 
^ 30 + 3b - 80 + 4b = 34
7b = 84 ^ b = 12 b - a = 2
12. Sea P un polinomio definido por:
p(x) = (1 + 2x)" + (1 + 3x)", tal que ia suma de 
coeficientes excede en 23 al término independien­
te. Indicar el valor de verdad de las siguientes pro­
posiciones:
I. El polinomio P(x) es de grado 2.
II. La suma de sus coefícientes es 25.
III. El término cuadrático de P(x) es 12x^
Resolución:
De P(x) = (1 + 2x)" + (1 + 3x)"
Observar; GA(P) = n 
• lcoef.(P) = P(1) = 3" + 4"
. T1(P) = P(0) = 1 + 1 = 2
Dato; 2coef,(P) = TI(P) + 23
3" + 4" = 25
De aquí: n = 2; con esto:
GA(P) = n = 2 =. (I)es V 
Scoef. = 25 (ll)es V 
Térm. cuadr.(P) = 4x^ + 9x^ = 13x ̂ => (lll) es F 
W F
13. Si P es un polinomio definido por:
^ 3x3^y-i ^ ex'
t. a
tal que:
GA(P) = 20 y GR(x) = 8, hallar el valor de T = ab. 
Resolución:
P(x; y) = 4x"-'y '
Se nota;
• GA(t,) = a + b - 1
• GA(tg) = a + b + 1
• GA(t3) = a + b + 1
Además; GR(x) = a + 3 = 8 (dato)
En(l): 5 + b + 1 = 2 0 ^ b = 1 4 
T = ab = (5)(14) = 70
GA(P) = a + b + 1 
a + b + 1 = 20 .,.(1)
a = 5
14. Sea P un polinomio homogéneo definido por:
P(x; y) = ax" + bx'̂ ” ' y* - cx^y“” - dy '̂'"^
Tal que la suma de sus coeficientes es - 8, enton­
ces el valor de M = a + b + c + d, es:
Resolución:
Del polinomio homogéneo:
P(x; y) = ax" + bx"’ \® - cx*y‘’ - dŷ *"'̂
T ^ ,t
GA(t,) = GA(t,) = GA(Í3) = GA(tJ 
=» c = c - 1 + a = a + b = 2 c - 3
(1) (2) (3) (4)
. (1) = (4): c = 2c - 3 ^ c = 3
• (1) = (3): a + b = 3
Además:
Icoef.(P) = P(1; 1) = a + b - c - d = -8 
Aquí: 3 - (c + d) = -8 =» c + d = 11
M = 3+ 11 = 14
15. Acondíción; a + b b + c a + c , hallar el grado
absoluto de: P(x; y; z) =
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Resolución:
• Se pide: E = 7a ̂+ 6ac + 2bc
(a + b) ̂+ -(I)
De la condición: = -r =a + b b + c a + c
Aplicando propiedad de serie de razones iguales,
tenemos;
a b e ____ c _ a + b + c _1
a + b b + c a + c 2(a + b + c) 2
Ahora, igualando cada término a: 1 se tendrá; 
a = b = c = k (constante)
Finalmente reemplazando en (I) tenemos:
7k' + 6k^+2k^ E = 3
(2k)" + k
16. Hallar los términos que tiene el polinomio 
P(a; b; c) = + 3.
3xy
Si es homogéneo y de grado 20 respecto de "a”. 
Resolución:
Sea el polinomio de “n" términos:
+ 3
,2 x y
'b^e'' 
con el grado de “a”;
+ l + ...
nxy = 20 => nxy = 60 •..(I)
Por concepto de polinomio homogéneo en los dos 
primeros términos: 
xy - X - y 2xy - x - 1 - y - 1 
3 “ 3
Efectuando resulta: xy = 2 ,„(ll)
Al reemplazar (II) en (i): n = 30
Grado relativo a x = GR,(P)
Grado absoluto de P(x) = GA[P(x)] = [P]° 
Grado absoluto = grado
17. Calcular m + n, si el polinomio;
P(x; y) = 3 x 2 ' " * " - 5^2« - n - 3ym-n + 1 _
. n - 2 ym . n
Es de grado 10 y la diferencia entre los grados re­
lativos a X e y es 4,
Resolución:
Observar que: [P]° = 3m + 2n - 2 = 10. 
es decir: 3m + 2n = 12 ...(I)
También: GR(x) = 2m + n -2 ̂ GR(y) = m + n + 2, 
por dato: GR(x) - GR(y) - 4, es decir:
(2m + n -2) - (m + n + 2) = 4=. m = 8.
En (I); n = -6 
.-. m + n = 2
18. La siguiente expresión en variable x;
(a + + (b - a)x
Puede reducirse a monomio; según esto, propor­
cionar su valor reducido.
Resolución:
Escribiendo así la expresión:
6 a
(a + b̂ )x® - abx -̂* ̂ + (b - a)x
Como se puede reducir a monomio; los términos 
de la expresión tienen que ser semejantes, es 
decir:
^ ^ = 1 = a - b = 6 A a + b = 4a - b a + b
Resolviendo: a = 5 a b = -1. se pide;
M(x) = (a + b̂ - ab + b - a)x M(x) = 5x
19. Encontrar el valor de “n" para el cual, la expresión; 
M(x) =
[(x-2j3x2n 3J2̂4
Sea de segundo grado. 
Resolución:
Efectuando en cada corchete:
^ 3 n - 5 „ 2 n - 3 j 2 ^ 4 ^ 1 0 r t - 1 S - . l
M(x) = = x"
(x‘" - “ r X-
Por condición: 6n - 22 = 2 n = 4
20. Sabiendo que el grado de la expresión;
¡ 1 ^
Es -5, Calcular el valor de "n".
Resolución:
Llamemos P a la expresión, la cual escribiremos
x'
-w'
E! grado de la expresión P está dado por:
GA(P) = I (2n + 1) + 2n (2n - 3) + ^
Por condición se debe cumplir: 5 - = -5
n =48
GA(P)= | ( 4 - n ) = 5 - §
21. Si P es un polinomio sobre E definido por: 
P(x;y) = x^""^- '^ + x" ' -"y5-" ' 
hallar el valor de: T = 3m - 4n. 
Resolución;
5-m
Si P es un polinomio, entonces los exponentes de 
las variables deben ser números enteros no nega­
tivos (vea el cneficiente; m 4- 5).
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Luego:
2n + m - 1 5 > 0 A m - n > 0 A 5 - n > 0 A 6 - m > 0 
Donde; m; n e 2Z
=^2n + m > 1 5 A m > n A n < 5 A m < 6 
(1) (2) (3) (4)
• De (4): m = 5; 4; ...
• De (3): n = ® ; 4; 3; ...
De aquí, los únicos valores de “m" y “n" que verifi­
can (1) y (2) son: m = 6 y n = 5 
T = 3(6) - 4(5) = -2
22. Indicar el valor de verdad de las siguientes propo­
siciones;
I. GA(P + Q) < GA(P) + GA(Q)
II. GA(P - Q) < GA(P) + GA(Q)
III. GA(P)" = GA(P); neIN
IV. GA(PQ) = GA(P) + GA(Q)
Si M y N son los números de las proposiciones ver­
daderas y fafsas respect/vamente hallar la relación 
entre M y N.
Resolución;
I. GA(P + Q) < GA(P) + GA(Q); esta proposición 
se verifica siempre que el GA(P), el GA(Q) y 
el GA(P + Q) estén perfectamente definidos (la 
proposición no lo dice).
Por ejemplo: si P(x) = + x - 1 a
Q(x) = -x^ - X + 1; P(x) + Q(x) = O 
El grado de O no está definido, por tanto, no ve­
rificaría la desigualdad =» (I) es F
II. Es similar a la proposición (I) => (II) es F
III. GA(P") = GA(P) X n; n G IN ^ (lll) es F
IV. El grado de un producto es igual a la suma de los 
grados de cada uno de los factores =» (IV) es V
= M = 1 a N = 3 N>IVI
23. Si P es un polinomio definido por:
P(x) = (5x - 1)^"-'(2x + 5)" + [(3x + 1)(x + 5)]" +
(x̂ + n)(x - 2)
Tal que tienen como término independiente -36, 
hallar eí grado del polinomio P.
Resolución:
P(x) = (5x - 1 f " ■ \2x + 5)" + ((3x + 1 )(x + 5)1" +
(x̂ + n)(x - 2)
Aquí: TI(P) = P(0) = (-1)^" ’ (5)" + [(1)(5)]" + (n)(-2) 
-5 " + 5" - 2n = -36 =» n = 18
Luego;
P(x) = (5x - 1)'^(2x + 5)’® + [(3x -I- 1)(x + 5)]’® +
(x^+ 18)(x - 2)
Donde; Grado (P) = 35 + 18 = 53
24. Si: P(x; y) = (abe + 16)x'^y‘’ - (be -h a)x''y" +
(b - c)x’ ŷ"
Es un polinomio idénticamente nulo, calcular el 
grado de la expresión:
Q(x; y) =
Resoluclón:
Por ser polinomio; a e E” a [b; c] c IN y como 
es idénticamente nulo se cumplirá lo siguiente: 
abe + 16 = O -..(I) 
be + a = O ...(II) 
b - c = O ...(lll)
De (II): be = -a ; en (I): â = 16 => a = ±4 
Como: a G 2 => a = -4 
O sea: be = 4; de ()))): b = c =» b̂ = 4 
Como: beIN => b = 2 = c 
Finalmente la expresión dada será:
Q(x; y) - ■■■ [Qr = 1
25. Dados dos polinomios P y Q (definido en la variable 
x), indicar el valor de verdad de las siguientes pro­
posiciones:
I. Si GA(P) = 5 A GA(Q) = 5, entonces GA(P + Q) = 5
II. Si GA(P - Q) = 5, entonces GA(Q) < 5
III. Si GA(P) > 1 A GA(P'Q')= 13, entonces
GA(PQ) = 6
Resolución:I. Supongamos así;
P(x) = X* + x" + 1 => GA(Q) = 5
P(x) = x= + 2 ̂ GA(Q) = 5
Luego: P(x) + Q(x) = x'' + 3 => GA{P + Q) = 4
Con esto: (I) es F
II. Sea: P(x) = x® + x" + 1 a Q (x ) = x® + x - 2; 
vemos que; P(x) - Q(x) = x* - x -i- 3
Donde: GA(P-Q)=5; pero GA(Q)=6>5 = (ll)esF
III. Sea; GA(P) = m > 1; GA(Q) = n 
como.- GA(P'Q') = 13
=̂ 3m + 2n = 13; m > 1
1 l
3 2 =̂ única posibilidad
Luego: GA(PQ) = m + n = 5 
= (lll)esF ,. FFF
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PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 (UNI 1978)
Eí siguiente monomio es de grado 2. El valor de “n” es:
A) 1/2
D)2
B)3/2
E)1
0 2/3
Resolución:
Por ser de grado 2: — + — = 2 =» 1 + - = 2
n ri(n ) n
Resolviendo: n = 1
PROBLEMA 2 (UNI 1982 - 1)
Si eí grado del siguiente mor^omio:
3x' V̂x"" V2x̂ es 8
El valor de “m" es;
C)9
Clave: E
A) 2
D) 12
Resolución:
B)6
E)16
Por teoría de grados; GA = 6+ + + = 8D 13 oU
Resolviendo;
180 + 24 + 3m = 30x8
3m = 240 - 204 =» m = 12 m = 12
Clave: D
PROBLEMA 3 (DM 2 0 0 4 - II)
Dados los siguientes polinomios: P(x) de grado 2 y tér­
mino independiente uno; y Q(x) = (x - 1 )P(x) + 3x + 1.
Si Q(2) = 7 y P(1) = 2. Halle la suma de raíces de Q(x).
A) O B)-8/3 010/3
D)4 E)5
Resolución:
Del problema se sabe:
P(x) = ax̂ + bx + 1 ..,(1)
Q(x) = (x - 1)P(x) + 3x + 1 ,..{ll)
(1) en (II); Q{x) = (x - 1 )(ax̂ + bx + 1) + 3x + 1
Q(x) = ax̂ + (b - a)x̂ + (4 - b)x
P(1) = 2; 2 = a + b + 1 ^ a + b = 1 ...(lll)
Q(2) = 7; 7 = 8a + 4b - 4a + 8 - 2b
7 = 4a + 2b+ 8 =. 2a + b = -1/2 ...(IV)
De (lll) y (IV): a - - | ; b - |
Luego: Q(x) = - | x ' - 4x' + | x = O
Aplicando Cardano, suma de raíces: -• ( - 4 ) 8
- 3/2) 3
Clave: B
PROBLEMA 4 (UNI 2007 • II)
Determine el polinomio mónico de menor grado de 
coeficientes enteros que tenga como raíces a los nú­
meros reales /2 - 3 y -/3 - 2. Dar como respuesta la 
suma de sus coeficientes.
A) 28
D) 70
B) 42 
E) 84
O 56
Resolución:
Recordemos que si x,; Xj; X3; X4 son las raíces de un 
polinomio Mónico P, entonces:
P ( X ) = ( X - X , ) ( X - X ^ ) ( X - X j ) ( X - X 4 )
También, si una raiz del polinomio es de la forma
a + /b , entonces, otra raíz debe ser a - -/b cuando los
coeficientes son racionales.
En el problema, tenemos de dato las raíces;
X( = —3 + /2 =* X2 = ~3 —
Xj = —2 + /3 =5 X4= —2 — Í3
Luego, el polinomio Mónico de menor grado es;
P ( X ) = ( X - X , ) ( X - X j ) ( X - X 3 ) ( X - X 4 )
P(X) = [X ̂ - (X, + X2 >X + X,X2 ](X^ - (X3 X4 )X + X3 X4 ]
P(x) = [x ̂- ( - 6)x + 7][x ̂- (-4)x + 1]
P(x) = (x̂ + 6y^+ 7)(x ̂+ 4x + 1)
Ide coef.(P) = P(1) = (14)(6) = 84
Clave: E
PROBLEMA 3 (UNI 201 5 - 1)
Halle el menor grado del polinomio; x" + ax + b, a O, 
(n > 1), para que x̂ - 1 sea un divisor
A) 2 B)3 0 4
D)5 E)6
Resolución:
Si P(x) = x” + ax + b, es divisible (x ̂- 1)
= P(x) = (x^ - 1)q(x)
P(1) = 0 = > 1 + a + b = 0 ...(I)
P (-1) = O « (-1)" - a + b = O .,,(11)
Restando (I) y (II): 1 - (-1)" + 2a = O 
2a = ( - 1 ) " - 1 
Se tiene: a ? í0 = » ( - 1) " - l 5¿0 
Entonces "n" es impar 
Grado mínimo de n: 3
Clave: B
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