Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (120)

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1. f(1) = log l̂ = 0. es d«5ir, el par ordenado {1; 
pertenece a la fundón .
2. Si: T < s, entonces Sogi,r > íoĝ S
3. Si; r > 1, entonces logt,r < O
4. Si: O < m < 1, entonces < O
Ejemplos
1. Sea f: R— R/f(x) = 13/ . ?
+ '16x + 9x'
hallar un valor de m > O para f{x), tal que |f(x)| < M 
V X G Domf.
Resolución:
25xDomf = E, con f(x) = y =
' 16x"+ 9
=> 16xV + 9y - 25x = O (cuadrática en x)
_ 25±J(25)^-4(16y)(9y) 25±j625-4(16y)(9y)
32y
=> 625 - 64(9)y ̂> O =• ŷ <
|y| < — M = —lyi - 48 48
32y
625
9x64
2. Hallar fog, si; f = M + x , x e [0; 6]
g = x̂ + 2, X e [-1; 3]
Resolución:
Dom(fog) = - 1 < x < 3 n 0 < x ^ + 2 < 6 
-1 í X < 3 A -2 < X < 2 
=» Dom(fog) -1 < x < 2
fog - f(g(x)) ^ f(x" + 2) - /4 + x̂ + 2
fog = + 6; Dom(fog) = -1 < x < 2
3. Resolver: 5"' 25’ ’’ *"> 0 
Resolución:
Expresando la inecuación convenientemente, se 
tendría: > 25
52X-3 2 25
Como la base es mayor que la unidad, se cumple 
que:
0
2 x - 3 > - 2 x + 4 =»4x>7 
7x
x> 7/4
I + 0=
4. Determinar si las siguientes funciones son pares o 
impares;
I. f(x) = (x |x |-- |s e n (x )
II. g(x) - x"
m, h{x)= 1(12x1- l x + 21)
Resolución:
I. f(x) es impar, pues;
f(-x)^ ^| -x|x| + lJJ = -f(x) vx g Domf
II. g(x) es par pues: g(-x) = (-x)“ = g(x) v x € IR
III. h(x) no es par ni impar, pues:
h(-x) = - l( i2 x | - h x + 2|) / -h(x) ^ h(x)
Resolver; ( ^ f 
Resolución:
Colocando en base í ^ j , se tendría; |-^1 ' ̂{j )
Como la base está comprendida entre cero y la 
unidad: |x - 3| > 3
Recordemos que;
¡a] > b « a < -b V a :■ b
= X ~ 3 < ~3 
X < O
Gráficamente:
X - 3 > 3
X > 6
] _____ [
X G ( —cc; 0) u ( 6 ; 00)
Si: f(x) = 2/x^; X > 0;g(x) = 16x̂ ; gofoh = 128-/4x̂ - 1 
Además: h(1) + h(2) = Va + -/b , b > a 
Calcular 5a + b 
Resolución:
gofoh = g(f(h)) = g(2-/h) = 16(2/ñ)^ = 64h ...(1)
Además: gofoh = 128</4x^- 1 ...(2)
D e(1)-(2 )
64h = 128V4x^- 1 ^ h = 2U x^ -1 ,
^ h(1) + h(2) = 273+2/15=-/T2+Veo = Tá+Tb
Como; a < b = » a = 12 Ab = 60 
5a + b = 5(12) + 60 = 120
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PROBLEMAS RESUELTOS
b
■ ■
1. Hallar el dominio de ia relación:
S = {(x: y) e E ' / |x| < y A + y' < 8}
Resolución:
S : - y < x < y a x ^ + / < 8 
Graficamos: - y = x; x = y (y > O ) a x^+ ŷ = 8 
Luego determinamos ias regiones correspondien­
tes a las desigualdades:
y = |x|
I x‘ + = 8Intersecamos:
2x" = l X = ± 2
2. Hallar el dominio de la relación:
S = [(x; y) e E" / x' + / < 4 A y > x + 2}
Resolución:
S : x ^ + / < 4 a y > x + 2 
Graficamos {los bordes)
C: = 4 A L; y = X + 2
Probamos con (0; 0), en ambos casos. 
Luego, tenemos la reglón S.
LnC: x' + (x + 2)^= 4
=» 2x̂ + 4x = O => X = O A X = -2
Intersecamos;
Dom(S) = (-2; 0]
Si se cumple la relación:
F(x) = F{x-1) + F(x-2) 
además: F(1) = 3 y F(0) = 5 
Hallar n en F[-F(-1)] + n = F(3)
Resolución:
En el dato:
F(x) = F{x - 1) + F(x - 2); evaluando para: 
x - 1 - F(1) = F(0) + F(-1)
^ 3 = 5 + F(-1) « F(-1) = -2
4.
Ahora: -F (-1 ) = 2 ^ F[-F(-1)] = F(2)
Luego, evaluando para;
X = 2 ^ F(2) = F(1) + F(0) ^ F(2) = 8
X = 3 ^ F(3) - F(2) + F(1) F(3) = 11
^ “ 3”
Reemplazando en la condición;
F[-F(-1)] + n = F(3) n = 3
8 T T
Sea f{x) = - ( x - 1)̂ + 2- Si A(x) = bf(x) -x ), con 
b O y f(x + b) = f(x): hallar en que intervalo se 
encuentraA(x), cuando; O < x< 1
Resolución:
Del dato: f(x +
Luego: A(x) =
b) = f(x) ^ b = 2 -2x 
( 2 - 2x ) [ - ( x -1 ) ^ + 2]
5.
1 - X
A(x) = -2{x - 1 ) ^ +4
Por dato
0 < x < 1 ^ - 1 < ' x - 1 < 0
1 > {x - l f > Q ^ -2 < - 2(x - 1)̂ < O
2 < -2{x - 1)̂ + 4 < 4 
2<A(x )<4 A(x) g (2;4)
Sea S = {2: 3; 4} un conjunto cuyo número de ele­
mentos se expresa así: n(S) = 3. Si:
R, = {(x; y) e Ŝ / y > x}
R, = {(x; y) e Ŝ / y = x̂ }
R3 = {(x; y ) e S ' / y - x = 1}. 
n(R,)hallar: n(R2) + n(R3)
Resolución:
• Ri - {(x: y) e S' / y > x} = {(x; y) e Ŝ / y < x};
X G S A y e S
Para;
x = 2 ; y < 2 ^ y = 2, luego (2; 2) e R, 
x = 3:y<3=>y = 2v3, luego (3; 3): (3; 3) g R, 
x = 4;y<4=»y = 2 v 3 v 4 , luego (4; 2), {4; 3), 
(4: 4)gR,
- R, = {(2; 2), (3; 2), (3; 3), (4; 2), (4: 3), (4; 4)}
• 2̂ = y) £ / y = x̂ }; X e S a y e S
Para: x = 2; y = 2̂ =» y = 4, luego; {2; 4) g
X = - 3^ =• y = 9, pero 9 ^ 8
X = 4; y = 4̂ =5 y = 16, también 16 í S
- R2 = {(2; 4)}
• R3 = { (x;y)£SVy-x=1} = {(x;y)eS^/y = x+1};
x G S A y e s 
Para: x = 2 ; y =2 + 1-^y = 3, luego (2: 3) g R3 
x = 3 ; y =3 + 1=»y = 4, luego (3; 4) e R3 
x = 4 ; y = 4 + 1=*y=5, pero 5 ^ 8
- R3={(2; 3), (3; 4)}
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Entonces: n(R,) = 6; n(R2)=1; níRj) = 2 
n(Ri) 6
n{R2) + n(R3 2+1 = 2
6. En 2 se define las siguientes relaciones:
R, = {(x; y)/3x + y = 7}
R2={(x: y ) / 5 x - 4 y = 12}
S = {(x; y) / 3 (x; z) e R, a (z; y) e RJ 
determinar S por comprensión.
Resolución:
De acuerdo con la definición: S = RjOR,
De: R, = {(x; y) e / y = 7 + 3x}
Dom(R,) = TL ; Ran(R,) = {7 + 3x / x g 2}
De: R2={(x; y) e 2^/4y = 5 x - 12}
R ,= {{x- y)eS^/y= | x - 3 }
Como: y e 2 =» x = 4k; v k e Z, entonces: 
Dom(Rj) = {4k / k e 2}; RaníR^) = {5k - 3 / k 6 2} 
Entonces se puede observar que:
Ran(Ri)n DomtRj}?^ 0, pues 3 x; k e 2 / 7 + 3x = 4k 
Lo cual significa que: S = R2OR1 existe.
Según el enunciado del problema, solo interesa la 
regla de correspondencia de S, más no el dominio 
que tendría.
Sean (x; 2) e R, a (z; y) g R2=» 3x + z = 7a 5z - 4y= 12 
= 15x + 5z = 35A5z-4y = 12 => 15x + 4y = 23 
3 = R20R1 = {(x; y) / 15x + 4y = 23}
7. En el conjunto A = {2; 4; 5; 6}, se definen:
R = {(x;y) G / x < y}
8 = {(x; y) e  /x + 1 = y}
T = {(x; y) e A" / x y}
señalar la proposiciones verdaderas:
I. R n S c T II. T no es simétrica
III. Ru Tes de equivalencia
Resolución:
Extendiendo las relaciones R, S y T.
• R = {(x; y) e A" / X < y}
Para:
X = 2:2 < y y = 2; 4; 5; 6 ̂ {2; 2). (2;4), (2; 5), (2,6) e IR 
X = 4: 4 < y =» y = 4;5;6 =» (4;4), (4; 5), (4;6)e E 
X = 5: 5 < y => y = 5; 6 => (5; 5),(5; 6) g IR 
x = 6 : 6 < y = > y = 6 = ( 6 ; 6 ) G E 
Luego:
- R = {(2; 2), (2; 4). (2; 5). {2; 6), (4; 4), (4; 5),
{4; 6), (5; 5), (5: 6). {6; 6)}
• S = {(x;y)GA^/y = x+1}
Para: x = 2:y = 2 + 1 =3, pero 3 í A 
X = 4: y = 4 + 1 = 5 ^ (4; 5)eS 
X = 5: y = 5 + 1 = 6 = (5; 6) e S 
x = 6:y = 6 + 1=7, pero 7 ^ A 
Luego, S = {(4; 5), (5; 6)}
• T = { (x ; y)eA^/x#y}
T = A X A - {(2: 2). (4; 4), {5; 5), {6; 6)} 
Analicemos ahora cada expresión:
I, R n S = 1(4; 5), (5; 6)1 c_ T (Verdadero)
II. Si X y =» y # x, es decir: v(x; y) e T: (y; x) e T 
=» T es simétrica (Falso)
III. R u i = A X A (el lector puede deducir esto de 
inmediato) y por propiedad la relación A x A. 
necesariamente es de equivalencia. (Verdadero)
.'. Son verdaderas; I y III
8. Sean: N = {0; 1; 2; ...; n; ...} a A = {0; 1; 2; 3; 4}
denotemos por r N A, la función que satisface.
• r(m) = m, si m e A
• r(m) = r(m + 5k), v k e IN
Determinar las soluciones enteras de las ecuaciones: 
r{5) = e A r(4h) = 1
Resolución:
De r(m) = m. m e A
r(m) = r(m + 5k), v k e IN
Tenemos: r(0) = 0; r(1)= 1; r(2) = 2; r(3) = 3; r(4) = 4
En r(m) = r(m + 5k) evaluamos para m = O a k = 1
r(0) = r(0 + 5) = í ^ r(5) = r(0) = O ^ C = O
Como r(4h) = 1 = r(1), evaluamos para: m = 1
^ r(1) = r(1 + 5k) ^ r{1) = r(1 + 5k) = r(4h) = 1
Como res periódica, una posibilidad es 1 + 5k = 4h
h = l ^ t ^ ; k e lK 4
Para: k = 3 =̂ h = 4
Una solución entera es: C = O a h = 4
9. Dada la función polinomial;
P(x) = x̂ - 10 OOOx̂ - 10 002x + 9999 
calcular el valor de: P(10 001)
Resolución:
Haciendo: 10 001 = a 
=> P(x) = x^-(a - 1)x̂ - (a + 1)x + a - 2 
Piden P(a) = â - (a - 1 )â - (a + 1 )a + a - 2 
P(a) = â - â + â -a^ - a + a + 2 
.'. P(a)= P(IOOOI) = -2
10. La función f(t) = - f + + b - a'*, con b - a^>0,
representa la fórmula de crecimiento de una pobla­
ción de conejos en un ambiente con recursos limi­
tados de (pastos y espacio), en función del tiempo 
t en años (a > 0). Determinar cuando la población 
será máxima.
Resolución:
Para hallar el máximo valor de la función
f(t) = t" + 2a¥ + b -a^ t > O (tiempo)
Completando cuadrados:
f(t) = b - ( t ' - 2a¥+ â )
f(t) = b-( t ^-a^)2
f(t) es máximo es t̂ = t = a
11. Dado los siguientes enunciados:
I. Si f: E —*■ E Gs función creciente, 9 es función 
c o n s t a n t e , e n t o n c e s f + g e s f u n c ió n c r e c ie n t e .
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II. Si h; m—* ¡Res función par, entonces g{x) = h{-x) 
es función par.
III. Si g: IR—»IR es función impar, entonces h(x) = g(-x) 
es función impar.
Señalar las proposiciones correctas.
Resolución:
I. f: IR —► E es creciente .a g es constante
t:: (V X, ; X2 e ir / X, < X2
= f(Xi) ■ f(x j Ag(x,) = g(Xj)
f(x,) + g(x,) < f{x2) + g(x2)
= ( f+g)(x, )v{ f+g)(x2)
f 4 g es creciente (V)
II. Si h: IR—*-IR es par =» h(-x) = h(x) 
g(x) = h(-x). vx e IR.
g(-x) = h(-(-x)) = h(x) - h(-x) = g(x) 
g es par (V)
III. Si g: IR—*• IR es impar entonces:
g(-x) = -g{>í)-
h(x) - g(-x), V X € IR.
Ii(-x) = g(-(-x)} = g(x) = -g (-x )= h(x)
=■ h es impar. (V)
.-. Son correctas: I, II y III
12. Sean las funciones:
f = {(x: y) c E^/y = U ~ x } 
1g - {(x; y) c IR̂ / y =
I ?
determinar el dominio de: f + g 
Resolución:
f = {x; y ) e E ' / y = ¡ 4 ^ }
4 - x - i O ^ x < 4 => Domf = ( 
g = {(x; y)eIR^/y=
Vx' -4 
O -> (x + 2)(x - 2) ' O
2 =5 Domg •= (—cc; —2 ) u ( 2 ; +ao)
4]
x̂ - 4
^ X < -2 V X 
Dom(f + g) = Domf n Domg 
Dom(f + g) = ({-oc; 4]) n ((-cc; -2) u (2; -ex» 
Dom(f + g) - { -X .: -2 ) u (2; 4]
13. Hallar f g, si f(x) = X + 1; x 
X - 1; x
Resolución:
Domf = (-oc; 2) u (3; +cc)
Domg = (-TI.. 1) u (4; +cc)
Dom(f + g) = Domf n Domg 
Dom(f + g) = (-cc; 1) u (4; +co)
Para x e ( - x; 1)
(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x + 1 + x - 1 = 2 x
Para x e 4̂; +3c)
(f 4 g)(x) = f(x) 4 g(x) = x - 1 + x 4 l = 2 x 
• (f+g)(x)= 2x; X e (-oc; 1) u <4; +?c)
14. Dado: f = {(2;-1), (3; 1). (4; 5)}
g = {(3: 2), (4;-1), (5, 7),{1;-1)} 
determinar el rango de 3f 4
Resolución;
f = {(2;-1), (3;1), (4; 5)}
^ 3f = {(2; -3), (3; 3), (4; 15)} 
g={(3; 2), (4;-1), (5; 7), (1;-1)}
= ĝ = {(3; 4), (4; 1), (5; 49).(1;1)}
Dom(3f 4 ĝ ) = Dom(3f) n Dom(g )̂
Dom(3f + ĝ ) = {2; 3; 4} n {1; 3; 4; 5}
Dom(3f + ĝ ) = {3; 4}
(3f + g )̂(3) = (3f)(3) 4 g (̂3) = 3 4 4 = 7 
(3f 4 g )̂(4) = (3f)(4) 4 g'(4) = 15 + 1 = 16 
Ran(3f 4 ĝ ) = {7; 16}
15. Determinar cuáles de tas siguientes proposiciones 
son correctas:
i. Si f es una función inyectiva, entonces f es cre­
ciente o decreciente.
II. Si fes creciente, entonces fes inyectiva.
III. Si f es subyectiva, entonces f es creciente.
Resolución:
1. Si f es inyectiva, f no es necesariamente cre­
ciente o decreciente. Por ejemplo, la función; 
x 4 1; -1 < X < O
2 - x ; O < X < 1
Es inyectiva, pero no es creciente ni decreciente (F)
II. Si f es creciente, f necesariamente es inyectiva. 
pues: V X,; x̂ g Domf: x, < Xj (x̂ )
- f(x i)< f(x 2 ) = f(x ,)# f{X 2 ) (V)
III. Si f es subyectiva,entonces f no necesariamen­
te es creciente. (F)
.-. Es correcto solo II
16. Sea la función f; [1; 4] —► [a; b] definida por 
f(x) = x̂ - 2x + 3, hallar a + b para que f sea inyec­
tiva y sobreyectiva.
Resolución:
f: [1:4] =» [a; b]/f(x) = x̂ - 2x 4 3 
f(x) = (x - 1 )̂ + 2; su gráfica es;
En [1; 4]. la función es inyectiva y además es cre­
ciente. Como f es sobreyectiva:
=. Ranf = [a; b] = [f(1): f(4))
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