Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina-12

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Como: a + b + c + x = 100% ...(IV)
Al sumar (I + II + lll): 2(a + b + c) = 144% 
a + b + c == 72%: finalmente en (IV)
X = 28%
33. Si P(A, tiene 16 elementos y P(e) tiene 32 elemen­
tos, determinar cuántos elementos, tierie P^^,; si 
se sabe que A n B tiene 3 elementos.
Resolución:
Si = 16 =» 2"̂ *» = 16 n(A) = 4 
Si P,B, = 32 2"'®’ = 32 =» n(B) = 5
A = 4 B = 5
Además n(A n B) ) = 3, graficando; 
Finalmente; P(aub> = 2®
= 64
34. Si A es el conjunto de números de 3 cifras del sis­
tema senario. B es el conjunto de los números de 
4 cifras del sistema quinario. Determinar el número 
cardinal de ia intersección de A y B.
Resolución:
A={100,„ . . . ,555„ , }
B = {1000,5,.... 4444,5,}
Pasando a base 10 cada coniwito tenemos:
A = Í 3 6 ......215} B = {125....... 624}
n(AnB) = {125.......215}
.•. n(AnB) = 91
35 . En un salón de una academia donde hay 30 alum­
nos, se determinó que: 18 aprobaron aritmética, 
20 aprobaron álgebra, 19 aprobaron geometría, 
12 aprobaron aritmética y geometría. 11 aprobaron 
aritmética y álgebra, 13 aprobaron álgebra y geo­
metría. De los que aprobaron aritmética y átget>ra 
4 no aprobaron geometría. ¿Cuántos no aprobaron 
ninguno de los 3 cursos?
Resolución:
Aritmética y Álgebra, pero no geometría, tenemos 
que: U = 30.
E)el gráfico;
Arit. * 18 Alg. = 20
36. Hallar (a + b + c + d + x), sabiendo que el con­
junto A tiene x elementos y en totel presenta abod 
subconjuntos. donde; a, c y d son cifras pares.
Resolución:
Si n(A) = x; entonces;
Subconjuntos; 2” = abcd (por dato) pero abcd debe 
ser un número de 4 cifras, pares y además poten* 
»a de 2; por lo tanto los posibles valores del nú­
mero son;
1024, 2048, 4096, 8192; la única posibilidad que 
cumple es 2,048; finalmente: 2" = 2048; X = 11. 
a + b + c + d + x = 26
37. Una encuesta a 200 personas reveló la siguiente 
información concerniente a 3 candidatos A, B y C 
de un cierto club social, que se presentaban a 3 
diferentes ca^os;
• 28 a favor de A y B; 98 a fóvor de A o B pero no 
deC.
• 42 a ̂ vo r de B pero no de A o C.
• 122afavordeBoCperonodeA.
• 64 a fóvorde C pero no deAo B 
■ 14afavorAyCperonodeB.
¿CuánUs personas estaban a favor de los 3 can­
didatos?
Resotución:
Comenzando del úWmo dato tenemos:
U = 200
Colocando tos datos adecuadamente tenemos el 
gráfico mostrado:
A B
Dei 1.*^dato
Anteriormente; 
b + c = 28 
a + b = 56 
Del U;
a + b + c + 4 2 + 16 + 14-l-64 = 200 
a + b + c + 136 = 200; a + b -l- c = 64 
a + b + c + b = 84 
64 + b 9 b = 20; pero nos piden c 
.-. c = 8
...(i)
•••(I)
+ —
—:r^ :c d ; c + d
38. Dados ios conjuntos binarios;
R = {6; X + y; X - y; 16} y P =
Hallar (c - d)
Resolución:
Por ser conjuntos binarios, d^3e poseer 2 elemen­
tos, por io tanto:
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© m/mX + y = 16 
de R X - y = 6
2x = 22 ;x = 11 : y = 5
deP cd; c + d
P = {73: cd: c + d} ^ por ser binarios cd = 73 
Nos piden: c - d = 4
39. En una clase mixta de 35 alumnos: 7 varones apro­
baron aritmética, 6 varones aprobaron álgebra, 5 
varones y 8 mujeres no aprobaron ninguno de los 
2 cursos; 5 aprobaron los 2 cursos, 11 aprobaron 
sólo aritmética y 16 hombres hay en clase. ¿Cuán­
tas mujeres aprobaron solo álgebra?
Resolución:
• b + c = 6 ...(II)
• b + d = 5 ...(ili)
• a - i -e=11 ...(IV)
• V = 1 6 = a + b + c + 5 (dato) 
a + b + c = 11
(l + l l )a + b + c + b = 1 3 =»b = 2
Graficando nuevamente; U = 35
M
En (I) » a = 5; En (II) c = 4 
En (lll) =» d = 3; En (IV) =*e = 6 
Del gráfico: 5- i -6- i -2- i -3- i -4 + x + 5 + 8 = 35 
x = 2
40 . En una encuesta sobre las preferencias entre los 
productos A y B, la mitad de los que respondieron 
que preferían A también afirmaron que consumían 
6, pero los que respondían que solo consumían B 
fueron el doble de los que respondieron que solo 
consumían A. Si 16 de los encuestados dijeron que 
no consumían ni A ni B. ¿Cuántos de ios 96 en* 
cuestados consumen solo A?
Resolución:
U = 96 A = 2x
Por lo tanto: x + x + 2x + 16 = 96
4x = 80; X = 20 Solo A = 20
41. S iA = {(}i, {(}•}, 1, {1} } , determinar el valor de ver­
dad de las siguientes proposiciones;
I.<|)CA l i . * e A l l l .(4.)cA
Resolución:
A={4.¡ { ^ } ; 1 ; { 1 } }
I. (f c A (V); V conjunto A.
II. i|) e A (V); i|) es elemento de A.
ili. {4»} c A (V), también se tiene {i|)} e A.
V W
42. SeaU = {O; 2 ’; ( -1,34)“; 3,1416; 12}
A = { x e U / x í I N A X í © }
B = { x £ U / x e I I v x í Z }
C = { x e U / x e ® = » x e N }
Determinar ei número de elementos de (A u B) - 
(AuC)
Resoiución:
U = {0: 1/2:1; 3,1416; 12}
A = {x € U/x € Dí A X € ©} = {^2}
B = { x e U / x e n v x « 2 } = {1/2; 3,1416; 12}
C = {x e U/x e ® =» X e N } = { X e U/x í ® V X G DI}
= {l :«/2}
Luego: (Au B) - (Au C) = B - C = {1/2; 3,1416} 
n ( ( A u B ) - ( A u C ) ) = 2
43. Si n(Au B) = 11. n(P(A)) + n(P(B)) = 192, hallar 
n[P(A n B)j, siendo A y B dos conjuntos cuales­
quiera.
Resolución:
• n(AuB)=11;n(A) = x;n(B) = y 
n(P(A)) + n(P(B))=192
2 * + 2>'= 192 = 128 + 64 « X = 7 A y = 6
• n(A u B) = n(A) + n(B) - n(A n B)
=» 11 = 7 -i- 6 - n(AnB)
=^n(AnB) = 2 n(P(A-I-B)) = 2̂ = 4
44. En una fiesta el 44% toman, el 37% fuman; además 
el 25% de los que toman, fuman. Si no toman ni 
fuman 84 personas. ¿Calcular el total de invitados?
Resolución:
Toman No toman
Fuman x%
3a% a% c%
44% toman; 3a + a = 44 ^ a = 11 
37% fuman: a + c = 37 » c = 26 
No toman ni fuman: 
x% = 100% - (4a + c)% = 30%
Si N es el total de invitados:
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30% N = 84 - ^ N = 84 N = 280
45. Se definen los conjuntos:
A - {x g 2 o/ -11 < 2x - 5 < 9}, 2° = enteros no 
negativos
B = { x e A / x ^ - 2 x í A}
Haliar ia suma de elementos dei conjunto B.
Resolución:
A = {x G ES / - 1 1 < 2x - 5 < 9}
=. A = { x e Z o / - 3 < x < 7 }
=» A = { 0 : 1 : 2 ; 3; 4; 5: 6}
B = { x e A / x ( x - 2 ) í A }
X = 0 : x( X - 2 ) = 0 g A (No)
X = 1 : x { x - 2 ) = - 1 € A (Si)
X = 2 :x ( x -2 > = 0 e A (No)
X = 3 : x ( x - 2 ) = 3 e A (No)
X = 4 :X(X-2) = 8 Í A (Si)
Simiiamiente, para 5 y 6.
=» B = {1:4:5; 6} 1 elementos = 16
46. Dado ei conjurrto A = {2; {3}; {2, 3}; 4 } ¿cuántas 
proposiciones son verdaderas?
i. i ^eA 
iV.3€{2, 3}
II. 4>cA 
V. {2} g A
IÜ.4GA
VI . {3 }cA
Resoiución:
A = Í 2 ; {3}; {2. 3}; 4} 
i. (Ji € A (F), C A
III.4g A(V)
V. í2 } eA (F ) : { 2 1 c A 
.-. Hay 3 verdaderas
II. ♦cA(V)
IV. 3 e {2; 3} (V) 
VÍ . {3 }cA(F) , {3} e A
47. Sean A, B y C tres conjuntos contenidos en ei uni­
verso finito de 60 elementos. Si (B - C) u (C - B) 
tiene 40 elementos, el conjunto A - (B u C) tiene 
10 elementos, ia intersección de ios tres conjuntos 
tiene 5 etementos, que el conjunto B n C o A' es 
vacio.
¿Cuántos elementos tiene ei conjunto?. A' n B' n C. 
Resoiución:
T = 60
D n 0 n A’ = $
Dando nombre a cada una de ias regiones vacías.
Por dato: e + b + d-t-c = 40
A' = {b :c ;n } B’ = {c; d; 10; n}
C = {e: b: 10: n}
Dei total: e-i-b + d + c+ 10 + 5 + n = 60 n = 5 
40
48. Si A c B y A n D * 0.
Simplifique: [(A n D') n B®] u ÍB u (A - D)]
Resotución:
S i : A c B y A n D = 0 tenemos
Luego simplificando:
[(An D°) n B*̂ ] u [B u (A - D)1 = B 
A A
B
49. De un grupo de 60 estudiantes, 26 hablan fi^ncés 
y 12 solamente francés, 30 hablan inglés y 8 so> 
lamente inglés, 28 hablan a l^ á n y 10 sblámente 
alemán: también 4 hablan los 3 idiomas mencio­
nados. ¿Cuántos hablan Inglés y alemán pero no 
francés?
Resolución:
U = 60
Inglés = Francés = 26
( ( * \ 
8 i 12 \
V / \ * )
\ J y X z \ /
V y Memán - 26
x + y + 4 + B = 30 
x-t-z + 4 + 1 2 = 26 
y + z + 4 + 1 0 = 28
X + y = 18 
X + z = 10 
y + z = 14.
(+)
2x + 2y + 2z = 42 
X + y + z = 21
=> X = 7 ; y = 1 l : z = 3
.-. Hablan inglés y alemán pero no francés = 11
SO. Un grupo de personas decide viajar y resulta que 40 
mujeres van al extranjero, 37 hombres van a provin- 
das, 28 casados van al exfranjero y 45 sesteros van 
a provindas. Si se sabe que hay 42 hombres casa* 
dos y que 18 mujeres solteras viscan ed ejdrar^ero, 
entonces el número de mujeres solteras es.
Resolución:Realizando ei diagrama con los datos:
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Nos piden calcular ei nún>ef0 de mujeres solteras. 
Completando los datos en ei diagrama.
Hombres Mujeres
Viajan a 
provincias
1
f 36
Viajan al 
extranjero ■ J
Hay 44 + 18 = 62 mujeres solteras.
51. De 120 estudiantes. 25 personas que fuman no 
leen. 13 mujeres fuman, 15 mujeres no fuman 
ni leen, 32 personas leen pero no fuman. 80 son 
hombres, 50 no leen. ¿Cuántos hombres leen y no 
fuman?
Resolución:
• 25 personas que fuman no leen.
• 13 mujeres fuman.
• 15 mujeras no fuman ni leen
• 32 personas leen pero no fuman
• 80 son hombres
• 50 no leen
20 hombres leen y no fuman.
52. Al realizar una encuesta a un grupo de 320 turistas 
sobre la gastronomía peruana, francesa y mexica­
na, se obtuvo la siguiente información;
• A 180 turistas les agrada solo 1 de las 3 gastro­
nomías mencionadas.
• Ninguno de los turistas que gustan de la gastro­
nomía peruana, gustan de la francesa.
• A 20 turistas no les agrada ninguna de estas 
gastronomías.
¿A cuántos turistas les agrada 2 de las 3 
gastronomías mencionadas?
Resoiución:
320
• A 180 les agrada solo 1 de las 3: 
a + b + c = 180
• Ninguno que gusta de la gastronomía penjana, 
gustan de la francesa;
y + m = 0 = » y = 0; m = 0 
Piden; x + y + z 
Sabemos que:
a + b + c + x + y + z + m + 20 = 320 
180 + X + y + z + O + 20 = 320 
.-. x + y + z =120
53. La negación de la expresión; Para todo nú­
mero real x existe un número entero y tal que: 
y < X < y + 1 es:
Resoiución;
La negación de ia expresión queda representada por:
~ [ v x e E ; 3 y e 2 ; y < x A x < y + 1] como;
~ [v x] = 3 X y ~ [3 y] = V y se tendrá lo siguiente: 
3 x e E ; V y € 2 ; y > x v x > y + 1
54. En una reunión de 120 alumnos. 30 son varones 
que no les gusta el pescado, 50 eran mujeres que 
sí gustan del pescado, si el número de varones que 
les gusta el pescado es la tercera parte de las mu­
jeres que no gustan del pescado. ¿A cuántos les 
gusta el pescado?
Resolución:
Hombres Mujeres
X 50
30 3x
Gustan
pescado
No gustan 
pescado
De la figura:
X + 50 + 30 + 3x = 120 
.-. 50 + X = 60
4x = 40 =» X = 10
55. A es un conjunto de 8n elementos. B un conjunto 
de 5n elementos y tienen (2n - 1) elementos co­
munes. Si n(A - B) - n (B - A) = 12, ¿Cuántos 
subconjuntos propios tienen A n B)?
Resoiución:
Dató: n(A - B) - n(B - A ) = 12 
(6n + 1) - (3n + 1 )= 12 
3n = 12 =« n = 4
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