Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (14)

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Polinomios 
especiales
Évariste Galois nació el 25 de octu­
bre de 1811 y murió el 31 de mayo 
de 1832, Fue un matemático fran­
cés. Mientras aún era un adoles­
cente. fue capaz de determinar 
la condición necesaria y sufi­
ciente para que un polinomio 
sea resuelto por radicales. Dio 
solución a un problema abierto 
mediante e! nuevo concepto de 
grupo de permutaciones. Su tra­
bajo ofreció las bases fundam en­
tales para la teoría que lleva su 
nombre, una rama principal del 
álgebra abstracta. Fue el primero 
en utilizar el término «grupo» en 
un contexto matemático.
Siendo todavía estudiante del 
Louis-le-Grand, Galois logró pu­
blicar su primer trabajo (una de­
mostración de un teorema sobre 
fracciones continuas periódicas) 
y poco después dio con la clave para resolver un problema que había tenido en jaque a los ma­
temáticos durante más de un siglo (las condiciones de resolución de ecuaciones polinómicas 
por radicales). Sin embargo, sus avances más notables fueron los relacionados con ei desarrollo 
de una teoría nueva cuyas aplicaciones desbordaban con mucfio los límites de las ecuaciones 
algebraicas: la teoría de grupos. Las contribuciones matemáticas de Galois fueron publicadas 
finalmente en 1843 cuando Joseph Liouville revisó sus manuscritos y declaró que aquel joven 
en verdad había resuelto el problema de Abe! por otros medios que suponían una verdadera 
revolución en la teoría de las matemáticas empleadas.
FuentG: W ífeipedia
írancia. 1811 - Francia. 1832
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<4 DEFINICIÓN
Son aquellos polinomios que poseen características 
particulares que los diferencian de otros. Estos son;
<4 POUNOMIO HOMOGÉNEO
Es aquel polinomio cuyos términos tienen el mismo gra­
do absoluto. A este grado común se le denomina Grado 
de homogeneidad.
Ejemplo:
P(x; y) = - 7x"y^z" +
14 14 14
es homogéneo. Grado de homogeneidad = 14
<4 POUNOMIO ORDENADO
Con respecto a una variable un polinomio está ordena­
do si los exponentes de esta variable lo están, (ya sea 
en forma ascendente o descendente).
Ejemplo:
F(x, y) = 3x"y^ - x*y" + 6x'y®
Con respecto a x: 7; 5; 2 ordenado en forma descen­
dente. Con respecto a y: 2; 5; 6 ordenado ascendente.
<4 POUNOMIO COMPLETO
Con respecto a una variable un polinomio es completo, 
si dicha variable presenta todos los exponentes natura­
les desde cero hasta el grado del polinomio.
Efl Ufl polifionírio de una sota variable. Si es completo 
el número de términos es igual at grado de dicho poli- 
! nomio más uno.
Por^wi|:rfo: Q(x) = 2x - Sx̂ - 3x? + x® - 3 
Es <>3m(^to con respecto a x.
■ Nún^ro de términos: GA(P) +1 = :4 + 1= 5
<4 POUNOMIO COMPLETO Y ORDENADO
Con respecto a una variable, es aquel que presenta las 
dos características anteriores.
■ a H iH B Ü ii— i
En un p^inomio com̂ rieto y ordenado de una sota 
v^aUe la dfferencla de exponentes en dos términos 
conseojtivos siempre es igual a la unidad.
Por ̂ «nplo: P(x) = 4x® - x* + x® + 4x̂ - /2x + 3
Es completo y ordenado con respecto a x en forma de-
<4 POUNOMIOS IDÉNTICOS
Dos polinomios reducidos con las mismas variables y 
los mismos grados son idénticos, si sus términos seme­
jantes poseen los mismos coeficientes.
Dos polinomios son idénticos si y solo si para los 
mismos valores de las variables, los valores numéricos 
de dichos polinomios son iguales.
Por ejemplo:
Sean: P(x) = 4x̂ - 2bx + 5
Q(x) = ax̂ + 6x + (c - 2)
Si: P(x) = Q(x) ^ a = 4; b = -3; c = 7 
Además: aeffi: P(a)=Q(a)
<4 POLINOMIOS IDÉNTICAMENTE NULOS
Un polinomio reducido se dice que es idénticamente 
nuio si los coeficientes de todos sus términos son igua­
les a cero.
Ejemplo:
Ax"“ + Bx + C = O 
Entonces: A = B = C = O
Si un polinomio es idénticamente nulo para cualquier 
valor de sus variables su valor numérico es igual a 
cero.
Por ejemplo;
Sea: P(x) = (a - 3)x' + (b + 1)x' + (c + 4)x + d 
Si:P(x) = 0 =» a = 3; b = -1; c = - 4 ; d = 0
Ejemplos
1. Calcuiar ab en el siguiente polinomio homogéneo; 
P(x: y; z) -
Resolución:
Si es homogéneo se cumple que:
(a + b)"-' = (a - b)""" - (a + b)'"
(l) (II) (Mi)
De (l) y (lll): a - b = 2b = a = 3b
De (II) y (NI); (2b)"'’ = (4b)̂ "
Ordenando en forma adecuada;
[(2b)']"'’ = (4b)'" => (2b)' = 4b =» 4b' = 4b 
b = 1 => a = 3 .-. ab = 3
2. Sabiendo que P(x) = ax̂ + b y además 
P[P(x)] = 8x“ + 24x' + c.
Calcular; a + b + c
Resolución:
Calculamos: P[P(x)]
P[P(x)j = aV + 2a'bx' + ab' + b
Luego: a V + 2a ’ bx^ + ab^ + b = Sx“* + 24x^ + c
Donde; = 8 a = 2 
2a^b - 24 = b - 3 
ab ̂+ b = c= í 0 = 21
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Se pide: a + b + c = 2 + 3 + 21 
a + b + c = 26
3. En la identidad;
ax ̂+ bx ̂+ cx = 1̂ + 2̂ + 3̂ + 4 ̂+ ... +
hallar; a. b, c y dar el valor de: E = a”'’'̂ 
Resolución:
Se sabe:
+ 2 ' + 3̂ + ... n' = ’̂ (n+1)(2n+1)
Para la identidad: 
ax' + bx̂ + cx = x(x+ 1)(2x+ 1)
Efectuando en el segundo miembro;
ax̂ + bx̂ + cx = + ^b
ax' + bx̂ + cx = 4-x̂ + 4-x̂ + -ix 
3 ¿ o
Luego; ^ ~ ^ ¿
Reemplazando en la expresión pedida;
E = a '"^ - ' = a - - = ( 4 r
E = 81
4. Si el polinomio:
P(x) = (4a + 2)x^"- '° + 4ax̂ ̂’ + (4a - 2)x̂ " ’ + .,. 
es completo y ordenado. Calcular a y el grado del 
polinomio P sabiendo que sus coeficientes son po­
sitivos.
Resolución:
Supongamos que el polinomio está completo y 
ordenado en forma creciente;
Luego: 2a - 30 = O => a = 15
Además: P(x) = (4a + 2)x° + 4ax + (4a - 2)x̂ + 
(4a - 4)x ̂-h ... + (4a - 58)x"
De donde el número de términos es;
n.- de términos = último - anterior al primero 
razón
n.° de términos ^ (4a - 58) - (4a + 4) ^
También; n.° de términos = GA(P) + 1 
GA(P) -- 30
5. Si el polinomio:
P(x) = (â + 3ab + b̂ )x̂ + (b̂ + 5bc + ĉ )x̂ +
(ĉ + 7ca + a )̂x + abe - 3 
es idénticamente nulo. Calcular:
L = (a - b)"c ̂+ (b - c)*â + (c - a)‘‘b̂
Resolución'.
Como P(x) = O , se cumple;
• â + 3ab + b̂ = O => â + = -3ab
b̂ + 5bc + = O => b̂ + ĉ = -5bc
• + Tea + = O =» = -7ca
• abe - 3 = 0 = abe = 3
Transformando L se tendrá:
L = (â + b̂ - 2ab)^c ̂-t- (b̂ + ĉ - 2bc)^a ̂-h
(c ̂+ - 2ac)^b^
Reemplazando:
L = (-5ab)^c^ + (-Tbc)^a^ + (-9ca)^b^
L = 25(abc)^ + 49(abc)’ -h 81(abc)^
~
L = 25(3)'+ 49(3)'+81(3)' L=1395
6. Calcular la suma de los coeficientes del siguiente 
polinomio homogéneo:
,,4n, ,3n - 2 _j_ 2nx^^y* ̂* * - mx''"y^" " ’P(x; y) = mnx"" y
Resolución:
Como es homogéneo;
7n + 2 = 2m + 5n + 4 = 3m + 5n + 1
= m = 3 A n = 4
Icoef. = mn + 2n - m
Scoef. = 3(4) + 2(4) - 3 = 17
Si se cumple;
[''•/a"""]x' + ny"x - "Tñx^ - 2xy" = O 
calcular el valor de a.
Resolución:
"Va"" - n " '"" ’ = 0 A n - 2 = 0 = » n = 2
= 2" = *Í2’ a = ‘/2
Si a b y se cumple: 
a^x' + â y® = + b y
calcular: '/ab 
Resolución:
Como son idénticos;
â = b̂ 
a" = b“
b = a' 
b = a"
A b' = 4a' 4a b 2a V b = -2a
Si; b = 2a == a'* = (2a)''* 
a'"=[(2a)Y" = a=4a ' 1 =4a
=> a = 1/4 A b = 1/2
= i
9. Calcular abcd si; P(x) = 2x‘’ " - 3x® * ̂ + x* - 4x“’ ’ ̂ 
es completo y ordenado descendentemente. 
Resolución:
Como es completo y ordenado:
b - 1 = O 
a + c = 1 
a + b = 2 
d + c = 3 
abcd = O
b = 1 
c - O 
a = 1 
d = 3
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10. Siendo el polinomio:
Q(x; y) =
homogéneo. Calcular: a + b + c 
donde: [a; b: c] e 1C 
Resolución:
2a + 62 = (be)" ■" + 6 = â + a + 2
^ 3̂ + 3 + 2 — 2d + 62 ^ 3 “ 3 — 60
a(a ̂ - 1 ) = 4(4^ - 1 ) => a = 4 
(bcf ’ " + 6 = 4^+ 4 + 2 
(be)” -" = ( 4 x 1 ) * - '
=»b = 4 A c = 1
a + b + c = 4 + 4 + 1 = 9
B P R O B L E M A S RESUELTOS B » "
1. Si: P (x ;y ;z )=2(xy) * *V + 9x"‘’ ‘ ^ - 5 ( x z ^ ) y - ' 
es homogéneo, calcular: % +
Resoiución;
P(x; y; z) = 2x“ ‘ Y ' V + 9x“ " ' - 5x" z V - ’
2a + b + 4 = ab + 3 = b + 8 =» a = 2 a b = 5
"/b + a ̂ - - 3
2. Si los polinomios siguientes poseen el mismo valor 
numérico para todo x.
P(x) = (a + b + c)x^ + (a ̂+ b̂ + c )̂x + abe 
S(x) = nx' + n^x + 2n^
Hallar: K = (a + b - c)(a + c - b)(b + c - a) en 
función de n.
Resolución:
Como poseen el mismo valor numérico para x en­
tonces los polinomios son idénticos:
a +b + c = n; + c' = n' a abe = 2n^
K = (n - 2c) (n - 2b) (n -2a)
K = n̂ - 2n' (a + b + c) + 4n(ab + ac + be) -
Sabe ...(i)
como: a + b + e = n
+ b̂ + ĉ + 2(ab + be + ac) = n̂ 
n'
ab + be + ac = 0; en (I):
K = n̂ - 2n'{n) + 4n(0) - 8(2n')
K = -17n^
3. Calcular el valor de mnp, siendo: P(x) o Q(x) 
donde:
P(x) = m(x ̂+ 1) + n(x - 2)(x' - 1) +
p ( x - 2 ) ( x ' - x + 1)
Q(x) = 3(x^ - 2x^ + 5x - 4)
Resolución:
P(x) = mx ̂+ m + nx ̂- nx - 2nx^ + 2n + px ̂-
3px ̂+ 3xp - 2p
P(x) = (m + n + p)x ̂+ (-2n - 3p)x ̂+ (3p - n)x +
2n + m - 2p
Q(x) = 3x ̂- ex' + 15x - 12
6 .
7.
m + n + p = 3 
-2n - 3p = -6 
3p - n = 15 
2n + m - 2p = -12
mnp = -24
m = 2 
p = 4 
n = -3
4. El polinomio dado es homogéneo; 
P(x; y) = ax"*^ - a b x " - y " ^ + 2by^' 
hallar la suma de sus coeficientes.
Resolución:
Como es homogéneo; 
a + 3 = a + b + 1 = b + 8 ® 
La icoef. = a - ab + 2b
= 7 - 14 + 4 = -3
b = 2; a = 7
Determinar: (a + b + c) sabiendo que el polinomio 
P(x) es idénticamente nulo.
P(x) = 3x ̂+ ax - 5 + bx' - 11x + c
Resolución:
P(x) = (3 + b)x' + (a - 11)x + c - 5 = O
3 + b = 0 =>b = -3
a - 1 1 = 0 ^ a = 11
c - 5 = 0 =>c = 5 a + b + c = 13
Calcular la suma de coeficientes del siguiente poli­
nomio homogéneo.
P(x: y: z) = a^x*'’ - b'y^* + abz*'"'
Resolución:
a'> = b" = a*-'^ =» a‘’ = a* ‘’ ^ a '“ = a* « a = 2b 
a ̂= b" ^ (2b)'̂ = b"=
2“b'’ = b' 2°= b“ b = 2 A a = 4
Zcoef. = a - b' + ab = 4* - 2 ' + 8 = 68
Hallar el grado de homogeneidad deí polinomio. 
F(x; y) = 8 x '" "Y - 5 x '" " y " ' ’
Si se sabe que el grado respecto a x es menor en 
dos unidades que el grado respecto a y.
Resolución:
Como es homogéneo: 
m + 2n = m + n + 1 0 = » n =10 
GR,(F) = m + n = m + 10 
GR^(F) = n + 4 = 14
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