Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (15)

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GR,(F)-GR,(F) = 2 
m + 10~14 = 2 => m = 6 
Así: F(x; y) = 8 x Y " ~
El grado absoluto es 26.
8. Si el polinomio P(x) es completo y ordenado ascen­
dentemente, calcular el vaior de (2m - 3n + 4p):
P(x) = - 4 x " - ' " " ^ + Tx"*®
Resolución:
Como es completo y ordenado ascendentemente: 
p - n + 5 = 0 l p = + 1
n - m + 3 = 1 - => n = +6
m - 6 = 2 m = 8
(2m - 3n + 4p) = 2(8) - 3(6) + 4(1) = 2
9. Si el polinomio P(x; z) es completo, homogéneo y 
ordenado en forma decreciente respecto a x y en 
forma creciente respecto a z. Calcular (a + b).
-1_b + 2 , ^.a,t> + 3 c w a - i , b + <+ x-z“P(x; z) = x * " ' r 
Resolución:
Decreciente respecto a x:
- 5x® - 7x“
b + 2 = O 
8 - 1 = 1
b = - 2
a = 2 a + b = 0
10. El polinomio F(x) toma un valor constante k para 
todo X , y conociendo que:
F(x) = (ax + 2)(bx - 1 ) - x^ a > O 
Calcular: E = b®''
Resolución;
-2 - 2 = k
F(1) = ( a - ^ 2 ) ( b - 1 ) - 1 = - / l
2 b ^ - 2 - 1 = - ( ¿
2b' + J - = 2(1)^ + - U
b ' (1)'
b ' = 1 = ^ b = l A a = 2 E = (1)' = 1
11. Calcular el término independiente del siguiente 
polinomio racional;
P(x) = x"-' + 2 / ' + 3x"-' +... + (n - 2)x̂ + (n - 1)x + n 
Si al evaluarlo en P(2) resulta 1013.
Resolución:
P(2) = 2"- ’ + 2(2"-') + 3(2"-') + ... + (n - 2)(2=) + 
(n - 1)2 + n = 1013 
2P(2) = 2" + 2(2"-') + 3(2"-') + ... + (n - 2)(2") + 
(n - 1)(2') + 2n = 2026 
P(2) = 2" + 2'” ’ + 2"‘ ' + 2 " - \ . . + 2' + 2 - n = 1013
P(2)=-^^— r - ( n + 1) = 1013
2"^’ - (n 4- 2) = 1013 = 2®"’ - (9 + 2) 
n = 9 .-.1 = 9
12. Calcular: z =
Si el polinomio:
P(x) = (ab - be - m')x‘‘ -i- (be - ca - 4mn)x' +
(ca - ab - 4n^)
es idénticamente nulo.
Resolución:
Como el polinomio es idénticamente nulo, 
ab - be - m' = 0 
be - ea - 4mn = O 
ca - ab - 4n' = O
(+)
m' + 4mn + 4n' = O
(m + 2n)' = O => m = -2n 
ab - be - m' = O 
ca - ab - m '= O
_ (a-hb)c 
2
(I)
2ab = c(a + b)
- H
c
ab
2 a b
e(a + b) 
ab
2ab _ 2 
ab
13. Se tienen dos polinomios completos y ordenados 
P(x) y Q(x), si se verifica que la suma de grados 
relativos de ios términos de P(x) exceden en 24 
a la suma de grados relativos de los términos de 
Q(x) y que el grado del producto de multiplicar 
ambos es 15; hallar el grado absoluto de la suma 
de ellos.
Resolución:
Sea; P(x) = a -h bx + cx' + ... + zx" 
la suma de grados relativos a x:
Sgrados = 1 + 2 + ... + n ^ ^
Sea: Q(x) = t -i- fx + kx' + ... + ux"’ 
la suma de grados relativos a x;
„ . , . m(m -I-1)Sgrados = 1 + 2 + ... + m = — — -
Asi- + 1) ^ 24
=» (n - m)(n -t- m + 1) = 48 ... (I)
El grado del producto es; m + n = 15 
n - m = 3 = > m = 6=í .- . n = 9 
El grado de la suma de ellos es 9.
14. Encontrar el valor de N siendo P(x; y) = 4x®’^^y'^’ ®
Un polinomio homogéneo, además:
N*' = a V + 2ab"’ 4- 29.
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Resolución:
Efectuando la multiplicación indicada en el polino­
mio P{x; y) se consigue:
P(x; y) = 4(5 ') _|_4Sj(.^2b+3y«,-2
Grado de cada término; 2a + 6b -h 1; a + 11b + 1. 
Por ser polinomio homogéneo se deberá cumplir lo 
siguiente:
2a + 6b + 1 = a + 11b + 1 => a = 5b ... (1) 
Por dato;
N-= = a'b-' + 2ab-’ +29 ^ N ( | ) ' + 2 (|) +29... (II)
Reemplazando (1) en (H) se consigue:
N-' = (5) ̂+ 2(5) + (29) = 64 
^ = ■¡64 = 8 n = 1/8
15. Hallar el término independiente del polinomio;
P(x) = x ' "- ” + 2x "̂ + 3x'" ' " + 4x'"‘ ""^ + ... + qx^-* 
Si es completo y ordenado en forma decreciente.
Resolución:
Por ser un polinomio completo y ordenado en for­
ma decreciente se cumple:
(3n - m) - (2n) =1 =̂ n - m = 1 ...(I)
(3m + b) - (m + n + b) = 1 =» 2m - n = 1 ...(II)
Sumando (I) y (II); m = 2, luego reemplazando en 
(I); n = 3
a - 5 = 0=»a = 5; ahora el polinomio P(x) será: 
P(x) = x' + 2x® + 3x® + ... + qx° donde q es su 
término independiente.
Notar que en cada término el coeficiente y el expo­
nente suman: 8, en consecuencia: q + O = 8 
q = 8
16. Indicar la suma de los coeficientes del siguiente 
polinomio:
P(x) = n' x'" - " + (n' - 1 )x'" - ' + (n' - 2) x'" - ‘‘ + ... 
si es completo y ordenado.
Resolución:
Observar que los exponentes de las variables en 
cada término van aumentando, en consecuencia se 
puede deducir que P(x) es un polinomio completo 
y ordenado en forma creciente, es decir, su primer 
término deberá ser el término independiente: razón 
por la cual se plantea 2 n - 6 = 0 =» n = 3. Con la 
finalidad de encontrar al último término, analicemos 
al polinomio P(x) = 9x° + 8x + 7x' + 6x ̂+ ... 
Notar que los coeficientes disminuyen de 1 en 1, 
luego el último término a fin que el polinomio sea 
completo deberá ser; 1x®. Finalmente tenemos: 
Icoef. = 9 + 8 + 7 + . . . + 2 + 1 
Scoef. = 45
17. Si los polinomios: P(x; y) = a*x' + cxy + b“®
Q(x; y) = (9 - 2c)xy + a"y ̂+ bV
son idénticos, calcular: -% ab
Resolución:
Por ser polinomios idénticos se cumple:
•a " = b'’ ...(I)
• c = 9 - 2 c ^ c = 3 -..(II)
• b̂ * = a*” ...(lll)
Elevando a ambos miembros de (lll) al exponente b: 
(b“’)*" = a“’̂ ...(IV)
Reemplazando (l) en (IV) conseguimos lo siguiente; 
3 *̂8̂ - =í b̂ - 4â =í b = 2a ...(V)
Reemplazando (V) en (l): a® = (2®)"®’ = (4a')®
Por comparación: a = 4a' =» a = ^ ;
D e ( V ) : b = | 5 ^ = 2 4
18. En cuanto difieren los coeficientes n y k para que 
con cualquier valor de x se verifica que;
27 + 8x = n(x + 4) + k(2x + 3).
Resolución:
De acuerdo al enunciado la relación mostrada 
corresponde a un par de polinomios idénticos:
27 + 8x = n(x + 4) + k(2x + 3), reacomodando la 
identidad: 8x + 27 = (n + 2k)x + (4n + 3k), luego 
se cumple: 
n + 2k = 8
. Resolviendo se obtiene; n = 6 A k = 1.4n + 3k = 27J
n - k = 5
19. Dado el siguiente polinomio idénticamente nulo: 
P(x) = b(x' + x) - 2ax' - 3cx + c - a + 1 
Calcular el valor de: ac - b
Resoiución:
Reacomodando el polinomio conseguimos:
P(x) = (b - 2a)x' + (b - 3c)x + (c - a + 1), como: 
P(x) = 0. Se debe cumplir lo siguiente:
b - 2a = 0^ 3 = 1 ...(1)
b - 3 c = 0 ^ c = | ...(II)
c - a + 1 = o ...(lll)
Reemplazando (I) a (II) en 
b _ b 
3 2
.'. ac - b = O
+ 1 = O =» b = 6; de (l) A (II): a = 3 a c = 2
20. Proporcionar el valor; n + t + a, si se cumple; 
50x ̂+ 5x' - 8x + 1 = n(ax + 1 )"(tx - n)®
Resolución:
De la identidad: n + a = 3 
Haciendo x = O tenemos: 1 = n(-n)®
Como a;ne l N=»a = 2 A n = 1 
Por coeficiente principal:
50 = n(a)"(f) 50 = (2)1̂ =» t = 5
n + t + a = 8
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21. Calcular la suma de coeficientes del siguiente poli­
nomio completo:
P(x) = c(x^ + + a(x^ + X') + b(x^ + x“) + abe
Resolución:
Escribiendo así al polinomio:
P(x) = (b + c)x'’ + (a + clx"" + (a + b)x' + abe 
Se pide: Scoef. P(x) = P(1 ) = 2(a + b + c) + abe
{a; b; c} = {1 ; 2; 3} pues P(x), es un polinomio com­
pleto de 4 términos, por lo tanto, es de 3.° grado. :
Notar que:
a + b + c = 6 = 1 + 2 + 3A abc = 6 = (1)(2)(3) 
P(1) = 18
22. En el polinomio:
P(x + 1) = (2x + 1)" + (x + 2)" - 128(2x + 3), 
donde n es impar, la suma de coeficientes y el tér­
mino independíente suman 1, hallar el valor de n.
Resolución:
Recordar que para un polinomio se cumple:
P(1) = S de coeficientes; P(0) = TI 
Dato: P(1) + P(0) = 1 ... (I)
Como; P(x + 1) = (2x + 1)" + ( X + 2)" - 128(2x + 3). 
Hagamos x = -1 => P(0) = -128 
Haciendo x = O tenemos: P(1) = 2" - 383. Reem­
plazando en (I) tenemos lo siguiente:
2" - 383 - 128 = 1 
n = 9
23. Si P es un polinomio completo y ordenado:
P(x) = x̂ " " + 2x" 
Hallar P(x)
m
3x^ + ... + X + 1
Si: P(x) es un polinomio completo y ordenado, 
entonces, la diferencia de grados relativos de dos 
términos consecutivos vale 1.
En nuestro caso, P(x) está ordenado descendente­
mente.
{3a - b) -2a = 1 = a - b = 1 ...(a)
2a - (3b - c) = 1 =* 2a - 3b + c = 1 ...(|3)
(3b - c) - (a + b - c) = 1 2b - a = 1 ...(0)
(</) + (0). b - 2; en (a): a = 3, en (P):
6 - 6 + c =1 =>0=1
P(x) = + 2x® + 3x® + x"’ + ... + X + 1
24. Si P̂ ; P,; P¿; ... P„ son polinomios definidos por: 
Po(x) = x̂ + 213x" - 67x - 2000 
P„(x) = P,, ,{x - n), para n = 1; 2; 3; ...
Hallar el valordet coeficiente de x en el polinomio
P«(x).
Resolución:
Po(x) = x' + 213x' - 67x - 2000 
P̂ (x) = P„_.{x - n)
• P ,(x )-P ,(x -1 )
= (X - 1)̂ + 213(x - 1)' - 67(x - 1) - 2000
• P,(x) = P,(x - 2)
= (x - 3)̂ + 213(x - 3)̂ - 67(x - 3) - 2000
• P,(x) - P,(x - 3)
= (x - 6)̂ + 213(x - 6)̂ - 67(x - 6) - 2000
• P.{x) = P3(x - 4)
= (X - 10)̂ + 213(x - 10)' - 67(x - 10) - 2000
• P,(x) - P,(x - 5)
= ( X - 15)' + 213(x - 15)' - 67(x - 15) - 2000
• P,{x) - P,(x - 6)
= ( X - 21)̂ + 213(x - 21)' - 67(x - 21) - 2000 
De aquí:
Término en x: 3(x)(21)' + 213[-2(x)(21)] - 67(x) 
Coef. dex = 3(21)' - 213(42) - 67 = -7690
25. Sí P es un polinomio homogéneo definido por:
P(x; y) = 2-’(a + b)x"'"" + 3''(a - b)x‘’' * y +
12y'’'^ ’=
Hallar e) producto de sus coeficientes.
Resolución:
Si P es polinomio homogéneo, el grado en cada 
uno de sus términos es el mismo.
= a' + n = + 2n = b' + 12
(I) (II) (lll)
• (II) = (lll): n = 6
• (I) = (lll): a '+ 6 = b '+ 12 = a '- b '= 6
Nos piden: ^ --------
. Produotode , 1 ,^ ^ 1 >,3 _
coeficientes ¿ ' 3 /
= 2(a' - b') = 2(6) = 12
26. Si P es un polinomio completo y ordenado en forma 
descendente definido por:
P(x) = qx' + + 'VSn + Sx^'""'’- '" +
(m + 2)x'*"-=
tal que la suma de sus coeficientes es m + n + p, 
hallar el valor de .
Resolución:
Por ser completo y ordenado en forma descenden­
te vemos que:
• 2 m -6 = 2 =^m = 4
5m + n -1 9 = 1 =» n = 0
p + n - 3 = 0 => p = 3
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Además: Scoef. = q + 3 + 2 + 3 
Por dato: q + 8 = m + n-^p 
7
q - -1 3/q - -1
27. Si: P(x; y) es un polinomio homogéneo definido por: 
P(x;y) = (a + 'y"’ ’ ’ + (a' + 1)x‘= '-V
Hallar el número de términos que le faltan para ser 
completo.
Resolución:
Por ser homogéneo, entonces:
GA(término 1) = GA{término 2) 
a' + 2a - 2 = + a + 2
De aqui: a = 4 ^ P{x; y) = 5xV= + 17x'V 
Luego, el polinomio P será homogéneo y completo 
respecto a x e y, de GA = 22, cuando sea de la 
forma:
+ 17x'VP(x; y) = Ax'" + Bx^'y 
4 términos
+ Ex'"y' + ... + 5x"y'^ + My'
10 términos 7 términos
n.° de términos faltantes: 21
28. Si: P y Q son dos polinomios definidos por:
P(x; y; z) - (X - y + z)̂ - (z - y - x)̂
Q(x; y: z) = (x + y - z f - (y - x - zf
Hallar: P(x: y; z) + Q(x; y; z)
Resolución:
Como: (k)"' = (-k)^''; 2n es par.
Aplicando en P y Q (en los segundos paréntesis): 
P(x; y; z) = ( X - y + z)'’ - ( X + y - zf
Q(x: y; z) = ( X + y - z)“* - ( X - y + zf
Sumando: P(x; y, z) + Q(x; y; z) = O
{ + )
29. Si: P(x; y) es un polinomio completo y ordenado en 
forma creciente con respecto a cualquiera de las 
variables, tal que la suma de los grados del primer 
y último término de P es 100, hallar el grado del 
término 21, del polinomio.
Resolución:
De acuerdo a lo planteado, suponemos al polino­
mio P(x: y), así:
P(x; y) = A + Bxy + cxV + DxV + ... + MxV 
De aqui:
• GA(t,) = 2(0) = O
• GA(t,)-2(1) = 2
. GA(t3) = 2(2) = 4
• GA(t,) = 2(3) = 6
GA(t2,) = 2(20) = 40
30. Si P y Q son dos polinomios definidos por:
P(x) = ax' + px - r
Q(x) = bx' - qx - t
Tal que: R(x) = 2P(x) + 3Q(x)
S(x) = 3P(x) - 2Q(x)
R y S son polinomios equivalentes, hallar el valor
de: M = a - b P + q ^ r - t
a + b p - q r + 1
Resolución:
P(x) = ax' + px - r 
Q(x) = bx' - qx - t
Por dato: 2P(x) + 3Q(x) 3P(x) - 2Q(x)
o también: 5Q(x) <> P(x)
Reemplazando: 5bx' - 5qx - 5t o ax' + px ~ r 
De aquí: 5b = a; -5q = p; 5t = r
E n lo p e d id o :M = | | + 5 | a + |
.■ .M = 3 ( | ) = 2
PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 (UNI 2 0 0 5 - II)
Indique la verdad o falsedad de ios siguientes enun­
ciados:
I. Sea P(x) = ax̂ + bx' + cx -t- d, a O, d O 
Si P tiene tres raíces reales, entonces 
P(1/x) tendrá las mismas raices.
II. Todo polinomio complejo siempre tiene raices 
complejas y sus respectivas conjugadas.
III. Si la suma de las raíces de un polinomio es ra­
cional, entonces cada una de ellas también es
racional.
A) FFF B) FW
E)VW
C) VFV
D)WF
Resolución:
De los enunciados:
I, Sea: P(x) = ax ̂+ bx' + cx + d; a 5̂ 0. d O
Si P(x) tiene tres raíces reales, entonces P(1/x) 
tendrá las mismas raices.
Analizando: P(x) = ax̂ + bx' + cx + d 
^ a (x - x ,) (x - X2 ) (x - X3 ) = O ,..(«>
Donde: x,; X2; X3 son las raíces de P(x)
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