Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (16)

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- - X 3
X '
= 0 ...(P)
Donde: —; —; — son las raices de P(—ì
X, X, X, \ x l
De (a) y (p): se concluye que tas raíces de P(x) son
/'1diferentes a las de PI (F)
Todo polinomio compiejo siempre tiene raíces 
complejas y sus respectivas conjugadas.
Sea el polinomio complejo: p(x) = (x - i)(x + 1)
• Donde: x, = i; X2 = -1 son las raíces de p(x)
• Observamos que sus raices no son conju­
gadas (F)
Si la suma de las raíces de un polinomio es ra­
cional, entonces cada una de ellas también es 
racional.
•Analizando: Sea el polinomio; p(x) = 9x' + 6x - 1
Donde: X, =
son las raíces de p(x)
^ X .
X + ^3 ^ 3
Observamos que la suma de las raíces es racional 
pero sus raices son irracionales (F)
FFF
Clave: A
PROBLEMA 2 (UNI 2 0 0 9 - II)
Sea P(x) = x̂ - 3ax̂ - â x + 3â , donde a > O y 
Q(x) = -P (x - a). Diga cuál de las siguientes afirma­
ciones es correcta:
Q(x) > P(x), V X < O 
Q(x) > P(x), V X e (0; a) 
P(x)> Q(x), v x e (a; 2a) 
Q(x)>P(x), vxe (2 a ; 3a) 
P(x) > Q(x), V X > 3a
A)
B)
C)
D)
E)
Resolución:
P(x) = x̂ - 3ax' - a'x + 3a^ a > O 
yQ(x) = -P(x - a)
Factorizando P(x):
P(x) = x'(x - 3a) - a'(x - 3a)
P(x) = (x - 3a) (x' - a')
=» P(x) = ( X - a) ( X + a) ( X - 3a), a > O 
Calculo de Q(x): Q(x) = -P(x - a)
= -(x - 2a)(x)(x - 4a) 
Graficando las funciones, tenemos;
Se observa del gráfico:
Q(x) > P(x), V X G (2a; 3a)
Clave; D
PROBLEMA 3 (UNI 2011 - II)
Sea P(x) un polinomio con coeficientes reales cuya grá­
fica se muestra a continuación.
Indique la sucesión correcta después de verificar la ve­
racidad o falsedad de ias siguientes proposiciones:
I. P(x) tiene grado 3
II. P(x) tiene solo 2 raíces complejas
III. Existe c e IR tai que P(x + c) no tiene raíces com­
plejas.
B)WF OVFF
E) FFF
A) VW 
D) FFV
Resolución:
Tenemos:
Del gráfico:
Si: X e < -5o; a> u (b; +=c) => P(x) es creciente 
Si: X e <a; b) => P(x) es decreciente 
Entonces:
\ /
±-----4 - ^ : ------ L------±------crece a decrece b crece
I 1
multiplicidad multiplicidad 
impar impar
De donde P'(x) = K(x - a)'" ’ ’ {x - b)'' ̂ n, m e 
Con lo cual se deduce que el grado de P(x) es cualquier 
número impar.
I. No necesariamente P(x) tiene grado 3 (F)
II. No necesariamente serán 2 raíces complejas, ya que 
del gráfico P(x) tiene una raíz real y por ser de grado 
impar las demás raices serán complejas (F)
III. El desplazamiento horizontal no altera la cantidad
de raices de P(x) (F)
Clave; E
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PROBLEMA 4 (UNI 20 1 2 - 1)
Si X , = 2 y X 2 = -1 son raices de: 
x'' - ax̂ + b O, halle: a - b
A) -1
D) 2
B)0
E)3
C)1
Resolución:
Como: Xj = -1 es raíz de la ecuación. 
Reemplazamos: (-1)'* - a(-1)' + b = O 
= 1 - a + b = 0 a - b = 1
Clave: C
PROBLEMA 5 (UNI 20 1 2 - II)
El gráfico del polinomio P(x) = x'* + ax̂ + bx̂ 4 cx + d 
es tangente en (1 ; 1 ) a la recta y = 1. Además la recta
y = 1 interseca al gráfico cuando x = 2, x = 4, siendo
P(2) = P(4) + O, siendo P(2) = P(4) = 0. Calcule el po­
linomio P(x) - 1
A) x'(x - 2)(x - 4)
B) (X - I f ( x -3 ) { x -5 )
C) (x + 1 ) '(x -1 ) (x -3 )
D) ( x - 1 ) '( x - 2 ) ( x -4 )
E) ( x ^ 1 ) '( x - 2 ) ( x - 4 )
Resolución;
Definimos el polinomio:
H(x) = P(x) - 1 = x" + ax̂ + bx' + cx + d - 1
H(1) = 0: H(2) = 0; H(4) = O 
X = 1 raíz de multiplicidad 2
H(x) = P(x) - 1 = ( X - 1)' ( X - 2) ( X - 4)
Clave; D
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n P R O B L E M A S PROPUESTOS n
1. Se tienen los polinomios
P(x;y)-x"'*’ y
P(x; y) = ^ Si el po­
linomio P es de grado 10 respecto a x, además en 
el polinomio Q el grado de x es igual que y aumen­
tado en 4; calcular el grado de P.
A) 13 B)7 0 1 4
D)10 E)12
2. Hallar la suma de coeficientes del siguiente 
polinomio en variables x, y, z:
P(x; y; z) = m V ’ y - ' ’-
A) 76 
D) 67
B) 64 
E)77
p V - y - 'z ^ - ’ . 
O 57
3. ¿Cuántos términos posee el polinomio homogéneo. 
P(x; y) = x"’ + x"’ ’ V + x'^’ V + Si el grado re­
lativo a y es 40?
a) 19 b)21 c)23
d )25 e )7
4. Encontrar la suma de coeficientes del siguiente po­
linomio completo y ordenado.
P(x) = a, x"'®’ + 32 x"*®̂ +... +3 ;̂ siendo:
^ _ (n+ 1)n. a . ^ •; n e W.
A ) ^ ( n - I )
0 §{n + 1)(n + 2) b
B) |(n + 1)
D) n " - 1
E) n -h 3
5. Si el polinomio es completo y ordenado.
,.2 a - b t c , , , a - 3 l ) - 2 c , , , a - r 4 b + 8c , , , 2 a - b - 4 cP(x) = x ̂+ X " “ + X“ 
encontrar su número de términos.
a) 24 
d)28
b)26
e)29
c) 27
6. Si el polinomio ordenado decrecientemente y 
completo.
P(x) = x^"" + 2x'“ - 3x™' ̂+ ... posee 2m térmi­
nos. Hallara.
A) 3 
D)9
B)5 
E) 11
0 7
7. Siendo:
P(x; y) = 2(mnx + y)x - (n + 9)x̂ + (5m - 4n)xy. 
un polinomio idénticamente nulo, calcular el pro­
ducto de los valores naturales de m y n.
A )4 B) 6
D)10 E)2
0 8
8. Si: P(x) = 3x" es una constante monómica.
¿Qué valor asume: a"?
A) 1/2 B)4
D) 1/4 E)FD
0 2
9. Si ios términos: ^^2x/y a "'JSyTx son semejan­
tes. ¿Cuál es su suma?
A )85xy B)15xy' C) 85x/
D) 15xy E) 75xy
10. Si la expresión: M(x: y) = a V + dx̂ ’̂ V ' " + 
bcx^y^ Puede reducirse a monomio, encontrar su 
coeficiente.
A) -3/2 
D) -2
B) -1/2 
E) -2/3
C )-1
11. Si la expresión: nx" ’ŷ " es: EARE clasifique al 
equivalente de la expresión: '¿ ^n ” ''x'’ ’ ‘'y^"
A) EAI B) EARE C) EARF
D) EAR E) Expresión trascendente (ET)
12. Hallar a, si el equivalente de:
M(x) = /3x®V21x‘‘ Vx® V2x es un monomio de gra- 
do: 8.
A) 10 B)11 0 1 2 D)13 E)14
13. Dado P(x; y) = x "-y -* + /3 - 3 x " - ' Y '
Calcular su minimo grado absoluto.
0 31A) 29 
D) 32
14. El grado de 
P(x)Q(x)
B) 30 
E) 33
3/h W P (x)
'i[H(x)f 
A) 1
Q^(x)
es cero. Calcular el grado de:
es 3n. El grado de:
Q(x)
B)2 0 3 D)4 E)5
15. Hallar el grado de homogeneidad del siguiente po­
linomio: P(x; y) = xy''"'"̂ - x ' " ' ' + y*"”
C)7A) 3 
D}9
B) 5 
E)11
16. Hallar el mínimo grado de homogeneidad diferente 
de la unidad para el polinomio:
P(x; y; z) =
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A) 13 
D) 16
Bj 14 
E)17
17. Proporcionar el equivalente de: 
que: P(x) <> Q(x).
C) 15
a - b ' sabiendo
P(x) = m(x + a) + bx + o; Q(x) = ax + mx + n
A) a 
D)a/6
B)a/3
E)1
C)a/2
18. La suma de los polinomios:
P(x) = {a + xXb + cx) + ax + 4; Q(x) = (x + b)(x + 2) + x 
origina un polinomio de grado cero. Calcular: 4cb'.
A) 9 B )-3 0 - 9
D)3 E)6
19. Si: P(x) = Q(x), siendo P(x) = x ̂- 4x";
Q(x) = x""' + (m -2n)x. Calcular: Vn' - m^
A) 9 B)7 0 5
D)3 E)1
20. A un polinomio completo y ordenado de una sola 
variable y de grado 4n se le suprimen todos los tér­
minos de grado impar, el polinomio resultante tiene 
4n - 15 términos. Haliar n.
A) 2 
D)7
8)9
E)8
0 6
21. La suma de tos siguientes polinomios;
P(x) = ax^ + mnpx; Q(x) = (b + c)x ̂- abcx, origina 
un polinomio idénticamente nulo, según esto hallar 
el equivalente de:
a ̂+ b^+ c ̂+ 3mnp
abe
A) 3 
D)6
B)4
E)7
0 5
22. Si; P(x;y)= x* y V S x V “ .
Q(x: y) = x ^ Y - 2x^'*“'y-^‘' 
son dos polinomios homogéneos, deducir un valor
para: E = —
1 ^ 1 
a b
A) 9 
D)1
8)7
E)3
0 5
23. Sabiendo que: P(x) = O, calcular b' - c'.
P(x) = (x̂ - 1 )(x ̂- 4)(x^ - 2) + ax® + bx" 4- cx ̂+ d
A ) -147 
D) 174
8)147 
E) 171
O -174
24. Si; a(x + 5)̂ -b(x - 5)̂ o 3(x + 5)̂ + 4(2a + b)x, 
calcular; a + b
A) 9
D) -3
8) -9 
E)27
0 3
25. Si se cumple: a(ax + y) -b(bx - y) < > 2(6x + y + 4). 
Hallar â + b^
A) 10 B)20 0 30 D)40 E) 50
26. Dados;
P(x) = T(x" + 2)(x" + 3) + A(x" + 4)(x" + 3) +
C(x" + 4)(x‘ + 2) 
Q(x) = 18x® + 7x" + 12. Calcular: 3T + 6A + 4C, a 
partir de: P(x) = Q(x).
A) - 6 8) 9 0 6
D )-9 E)12
27. Si e( polinomto;
P(x) = (a' + 2a ‘’bc - bc)x® + (b' + 4ab'’c - ac )/ + 
/5 (c ' + 6abc” ’ - ab)x + (a + b + c - 7), 
se anula para más de seis valores de x. Calcular:
A) 5 
D)3
B) -3 
E)6
O -5
28. Sabiendo: P(x) = Q(x), calcular a + b - c.
P(x) = a{x - 1)(x + 2) + b(x - 1)(x + 3) +
c(x + 2)(x + 3);
Q(x) = 6x' + 13x - 7
A) 2 B) 6 0 4
D)8 E)16
29. Calcular n, si el grado absoluto de la expresión:
M(x; y; z) =
2 3̂ ,2n + 3
es 6.
A) 2 
D)5
B)3 0 4
E)6
30.Hallar el grado absoluto de:
M(x; y ;z ;w ;...) = 5 x y W ’T®’ 
Considerar 19 letras.
A )8000 
D )7539
B )7999 
E )7989
O 7899
31. Si el siguiente polinomio: P(x; y) = (b - c)x° + 
(c - d)x"'" y"*'^ + (b - d)x'’ ‘ "y"“ ' es tiomogéneo. 
Calcular el producto de sus coeficientes.
A) 4 
D)8
8)6 
E) 10
0 2
32. Dado el polinomio; P(x; y) = x® + + x“y ' +
x V + x V + x V liomogéneo. Calcular el valor de: 
E = a + b + c + d + e, sabiendo que la suma de 
todos los exponentes del polinomio es 42.
A) 23 B)25 0 21
D)27 E)29
33. Si:P(x;y) = (Vn + 2 - Vn"+ 1)x" + (Vn + 1 - /nix"’'y + -
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es un polinomio completo y ordenado con respecto 
a sus dos variables. Calcular et vator numérico de: 
n/(n + 2)(m - n ), siendo además ta suma de sus 
coeficientes igual a “n".
A) 2 8)12 C)4 D)8 E) 16
34. Si: F(x + 1) = 4x - 3, hallar; F(x - 2).
A )x -1 5 B )4 x -1 2 C )4 x+ 1 5
D)x E )4 x -1 5
35. Si f(x) = x'(x - 3) + 3(x + 1) - 4, determinar;
E = f(x:
[ f { x - 1 ) f 'V [f (x + 1)1’
A )1
32
B ) |
para: x = 2 x 10̂
C) 4
36. Hallar el grado del producto
p(x) - ((x) )̂''((x )̂^>‘*((x')'‘ )̂ ... n términos
n (n -1 ) (n -2 )
A)
B)
C)
D)
n(n + 1)(n + 2)(n + 3)
(n + 1 ) '(n -2 ) ‘
(2n + 1 )(3n- 1)(n^-2n + 3)
E)(n + 1 ) V - 1 )
37. Sea el potinomio: f(x) = x' + x + 41 y {f(0); f{1 ); f(2); 
f(3): f(39)} son números primos; encuentre a
partir de estos datos otros 40 números enteros que 
at evaluar en f(x) nos reproduzca números primos.
A) {f(-1); f(-2); f(-3); ... ; f(-40)}
B ){-1 ; -2 ; -3 ; -40}
C) {f(40); f(41); f(42); ...;f(79)}
D){1; 2; 3; 40}
E ){-41 ; -42; -43; ...; -80}
38. Sabiendo que: x̂ + ŷ + = (a + b + c)[a' + b' +
c' - (ab + ac + be)] + 3abc; además:
Pfx' V z) = + +
( x - a ) ( y - b ) ( z - c )
Determinar: P(-a; -b ; -c).
A) O B)abc C) 3a 'b 'c '
D )-abe E )a 'b 'c '
39. Dado: f(x) = ( + 3x - i n x - 1
Hallar el valor de f [^ i-
A ) ^
° > - T
0 - 4
40. Si P(x ̂- x') = x’’ + X® + x̂ + x ̂+ 2x' + 2x, hallar 
P(cos’ ji).
0 2A)1
D) -2
B )-1
E)0
41. SI P |^ + 3j = X, determinar: 
P(4) + P(5) + P(7) + P(11) + 
A) 2 B)4
E) oc
C )1
42. Sabiendo que el polinomio:
P(x) = (ab - ac + n')x^ + (be - ab + 6n)x^ +
(ac - be + 9)
es idéntico al polinomio:
F(x) = 3o + a, X + 32 x ̂+ aa x̂ + ,.. + a„x". el cual 
se anula para cualquier valor asignado a x. hallar 
b(a + c)
ac
A) 2
D)4
B )1
^>5
C) 1
43. Sea P un polinomio tal que:
P(xy) = P(x) + P(y) V x; y e IR st además 
P(10) = O, calcular P(7) + P(99) + P(1001).
O 1107A)1
D)0
8)3
E)6
44. Calcular 2- íJ—+ 5 sabiendo que el polinomio es' 3
completo y ordenado:
P(x) = 2x* 
(a®) términos.
A) 2
D)3
+ 4x®"'= + 6x"
B )1
+ ... + n tiene
C)4
45. Si: F (x - 14/x + 44) = x. hallar F(9x - 42/x +44) 
si: /x > 7
A) 9x 
D) -2x
B) 2x
E)N.A.
O -9x
46. Sea ei polinomio f(x) definido por:
xf(x + 1) - f(x') = 3x - 1, determinar el valor de: 
f(1) + f(2) + f(3)
A) 15 
D)23
B)7
E)0
0 5
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47. Sea P(x) = 2x + 1. Además: 
P(P( ... (P(x))...)) = â
9 paréntesis
calcular: ab“*.
A) 32 
D)256
B) 64 
E )1024
b"x - 1
C) 128
48. ¿Cuántos términos faltan en este polinomio:
R(x) = (1 + X + x̂ + x’ + ... + x"){x""'’ + x") para 
ser completo, sabiendo que en este otro polinomio 
P(x - 2) = n^{3x - 8)' + (x - 2)[(x - 2)'" ’ + 12] 
la suma de coeficientes excede en la unidad a su 
término independiente?
A) 2 B)3 0 4
D)5 E)6
49. Calcular el coeficiente del equivalente de la expre­
sión:
M{x) = 4096)
"■^2x+'V2x-'V2x-"^
Si se reduce a un monomio de grado 72.
A) 8 B) 4 C) 32
D)1024 E)16
50. Sabiendo que se verifica la siguiente identidad: 
x ' - 4x^ + 2x" - 3x + 2 = a(x - l f + b(x - 1)" + 
c(x - 1)̂ + d(x - l f + e(x - 1) -h f,
calcular el valor deM = a + c + e
f
A) -1 B) 1
E ) - I
0 2
51. Sabiendo que: x®̂ ’ x” ̂ ' x“̂ ’ ; a, b, c son los
términos 1.°, 7.°, 13.°, y último respectivamente de 
un polinomio P(x) completo y ordenado, calcular:
1 . 2 V{a + b + c)' ^b - c
A) 1/2 
D)6
B)2 
E) 1/6
a - c /
C) 1/4
52. Si; f(x + 2) = x + f(x) + f(x + 1): f(y) = 2f(y - 1¡ 
hallar f(-3 ) + f(4)
A) O B )-1 O í
D)2 E)3
53. Si: f(x) = e’ + n' y f{3) = 1; 
calcular: 3i f(1)
A) 1/en 
D) (ere)’
f(4 )- f(7 )
B) en 
E) -2
C) -e7t
54. Si el polinomio de variable x:
P(x) = (ab - be - m^)x'' + (be - ac - 2mn)x^ + 
(ac - ab - n )̂ se anuía para más de 4 valores; 
asegún ello calcular: ^
A)1 
D) 1/2
e\a - c 
B) -1 
E)2
C) -1/2
55. Dados: P(ax + b) = a - bx
Q(a + bx) = b - ax; obtener: P[Q(a)]
A) 1 B )-1 O a
D) -a £) ab
56. Déla identidad: a(x + 1)̂ + b(x - 1 f = 9x̂ + 10x + c. 
calcular: abe.
A) 42 
D) 224
57. Si P x+1
X - 1 
A) 1
D )1995
B) 126 
E)36
999 _ 2 -̂9
B )-1 
E )1997
O 48
1997, calcular: P(3) 
O 1986
58. Si los polinomios:
P(x; y; z) = (a - b)^x"' + (b - c )V + (c ~ A f z’’ 
Q(x; y; z) = abx" ̂+ 3bcy" + Sacz'’
_ a - b b - c a - cson idénticos, evaluar: M =
A) 8 
D) 14
B) 11 
E) 15
c a 
O 13
1. E 9. A 17. C i 25. B 33. C j 41. B 49. E 57. E
2. E 10. A 18. C 1 26. C 34. C 1 42. A 50. É 58; E
3. B 11. B 19. D i 27. C 35. A i 43. D 51. A
4. C 12. C 20. E i 28. C 36. B i 44. D 52. C
5. A 13. C 21. D 1 29. B 37. B : 45. A 53. A
6. B 14. A 22. D i 30. B 38. C ! 46. A 54. 0
7. B 15. D 23. A i 31. C 39. D i 47. C 55. C
8. 0 16. D 24. A ; 32. C 40. B ! 48. B 56. B
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