Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (19)

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24. Si; X + y + z = O, hallar el valor de:
(x + y - 2 z f f (y + z - + (x + z - 2y)̂
xyz
Resolución:
Sea R el valor pedido:
^ ^ ( x + y - 2 z f + (y + z - 2x) ̂+ ( x + z - 2y)̂ 
xyz
De la condición: x - y + z = 0: se obtiene:
X + y = -z: y + z = - X A X + z = -y 
Reemplazando:
.. (-3z)^ + (-3xl^ + (-3y)^R
xyz
Como: x + y + z = 0 = 
p _ -27(3xyz) _
^ xyz
R =
(27)(3)
-27(x^+y^ + ẑ 
xyz 
= 3xyz
•. R = -81
25. Si se cumple: ^(ab)"''’" ' ' = —
4
calcular el valor de:
A = [(a + b)̂ - (a - b)̂ ] [{â + b') ̂- (a' - b̂ )̂ ]...
,..[(a" + b ") '-(a '’ - b T ]
Resolución:
Aplicando la equivalencia de Legendre en cada uno 
de los factores: A = [4(ab)][4 (a^b )̂] ... [4(a"b")]
Notar que existen n factores:
A = [4 , 4 ...^][(ab)(ab)^... (ab)"*] 
n factores
A = 4"(ab)'*^' " - A = 4"(ab) ̂ = 4"J(ab)"<""'*
Por dato; /(ab)"'"''’ = —
4"
Luego: A 4 "|-^ j A = 1
26. Si: M = N. donde:
M = (y + z - 2x)̂ + (z + x - 2 y f + (x + y - 2z)̂ 
N = (y - z)̂ + (z - x f + ( X - y)̂
hallarelvalorde: R = ^ ^ ^
(x" + z)" + (y' + x )" -(x ^ + y)' 
Resolución:
Reduciendo el segundo miembro de M con el 
auxilio del trinomio al cuadrado se consigue:
M = 6x̂ + 6ŷ + 6z' - 6xy - 6xz - 6yz
Reduciendo el segundo miembro de N con el 
auxilio dei binomio al cuadrado se consigue:
N = 2x'‘ + 2ŷ + 2ẑ - 2xy - 2xz - 2yz
Por condición: M = N; luego reduciendo;
4x ̂+ 4y“̂ + 4ẑ = 4xy i 4xz i 4yz 
O sea: x̂ + ŷ + ẑ = xy + xz + yz 
De acuerdo a propiedad se cumple: 
x = y = z = cte.
Finalmente el valor pedido será:
R ^ (x ̂+ x )^ -(x " + x)^+(x^ + x)^ ^ (x ̂+ x)- 
(x̂ + x>̂ + (x̂ + x f - (x̂ + x f (x̂ + x)‘ 
R = 1
27. Si; a , b, c e E -{0} a a = -b - c ; hallar el valor de:
_ _ (a ̂- ab + b^)(a + b) + ĉ
6abc
Resolución:
a, b, c e E - { 0 } a a + b + c = 0 
=» a’ + b̂ + ĉ = 3abc(propiedad) 
(a ̂- ab + b^)(a + b) + c ̂ _
6abc
Reemplazando: E =
a ̂+ b ̂+ c 
6abc
3abc
6abc
28. Si se cumple que: x + 4y + 9z = O, simplifique:
(x-2y)^ ̂ (2y-3z)^ ̂ (3z-x)^
xy
Resolución:
N = ( ? ^
yz
(2y-3z)‘ (3z - x)‘
N =
xy
x'-4xy+4y^
yz xz
4y^-12yz+9z^
xy
N = - - 4
9z^-6X2+x^
y z xz
X z y X 2
N = x + 9z I 4y + 9z ̂ x + 4y 
y X z
Como: X + 4y + 9z = O
^ N = ^ ^ + í— U ( ^ ^ U 2 2
22
N = -36y ' X ' \ z
29. Si: X + y = /TO; (x - z f + (z + y)̂ = 6, 
hallar el valor de: M = xz + xy - yz - ẑ
Resolución;
M = xz + xy - yz - ẑ
M = x(z + y) - z(y + z) = (x - z)(z + y)
Datos; x + y = -f\0 a (x - z f + [z + y f = 6 
(x - z) + (y + z) = /To, al cuadrado:
(x - z f + (y + z f + 2(x - z)(y + z) = io 
6 + 2M = 10
.-. M = 2
30. Si: â + b' + c' = 2; a' + b' + ĉ = 3, 
calcular: A 2 - ab - be - ca
Resolución;
A ________3 - Sabe________
3(a + b + e)(2 - ab - be - ea)
Datos: â + b̂ + = 2 a = 3
^ ^ ______ â + b̂ + e^- 3abe______
3(a+b+c)(a^ + b' + c^-ab-bc-ca)
Pero, por la identidad de Gauss:
(a + b + c)(a' + b' + c' - ab - be - ca) = - 3abc
.'. A= 1/3
31. Si tres números reales positivos a, b y c cumplen 
que: -^(b + e) + ^(e + a) + ^(a + b) = 6, hallarel
valor de la expresión; M = (a + b + e)
+ b’ + abe
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