Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (26)

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Resolución:
Sabemos que:
(x" + / -f + mix“ + y" + z‘ ) = (x + y + z)q(x; y; z) 
Por el teorema del resto: x + y + z = O 
En consecuencia pueden darse valores adecuados 
a (x; y: z) de modo tal que su suma dé cero:
Asi, para x = 0;y = 1 a z = -1 ; se tiene;
(O + 1 + + m(0 + 1 + 1) = (O + 1 - 1)q
=> 4 + 2m = O m = -2
4. Hallar el resto al efectuar:
( x - m x + 2 ) : ( x - 1 ) ( x - 2 )
Resolución;
Sabemos que:
(x - 1 }'°(x + 2) = (x - 1 )(x - 2)q(x) + R(x) 
Dividiendo por ( x - 1 ) ;
( x - 1 ) V + 2 ) - ( x - 2 ) q ( x ) + ^
(x-1)^(x + 2 ) - ( x - 2 ) q ( x ) + R'
Parax = 2; (1)®(4) = R' R '= 4 
R(x)Pero; R’ = R(x)= R'(x - 1)x - 1
R(x) =4(x - 1) = 4x - 4
5. Hallar el resto ai efectuar:
(X + - 4(x + 2 f + 5(x + 2f^ + 3(x + 2 f - 7 +
x' + 4x + 5
Resoiución;
Como: d(x) = x̂ + 4x + 4 + 1 = (x + 2)* + 1 
Haciendo: (x + 2)' = y
Luego; D(y) = y"' - 4y ’̂(x + 2) + 5y’ ̂+ 3y(x + 2) - 7 
d(y) = y + 1
R(x) = D(-1) = (-1)"’ - 4 ( - 1 f (X + 2) +
5(-1)’ ̂+ 3(-1)(x + 2 ) - 7 
R(x)= - 1 + 4 x + 8 + 5 - 3 x - 6 - 7 
R(x) = X - 1
<<l RESIDUOS ESPECIALES
Son residuos que requieren de ciertas transformacio­
nes y o adecuaciones de modo tal que se pueda em­
plear el teorema del resto en forma coherente.
Sea; D(x) = d{x)q(x) + r(x) y M(x) ^ O 
1, D(x)M(x) = [d(x)M(x)]q(x) + r(x)M(x)
r(x)<
(X)
M ( x )
2. < > ^ q ( x ) + - í ^M(x) M (x)^' M(x)
,(x)
r(x) < r„ 
Ejemplo:
o(x)M(x)
Hallar el residuo en; 
Resolución;
, + 4x - 1
x ^ - x + 1
Multiplicando y dividiendo convenientemente por ¡x -i-1 ):
(2x^’ - 5x’ ̂+ 4x - 11 ) (X + 1 ) (2x^' - 5x’ ̂+ 4x - 1 ) (x + 1 ) 
( x + 1 ) ( x ^ - x + l ) ~ x ’ + l
Transformando el dividendo:
[2(x")’° x - 5 ( x y x + 4 x - l](x+ 1) 
x^+ 1
Por el teorema del resto: x ^ + 1 = 0 = x ^ = - 1 
Luego se tendrá;
r„„,(x) - (2x + 5x + 4x - 1)(x + 1)
_ (1 1 x -1 )(x+ 1 )
(x + 1)
= 11X - 1
^ COCIENTES NOTABLES
Son casos especiales de división exacta entre divisores 
binómicos de la forma:
Donde:
x; a : bases a n e IN
Estudio del caso; - — — x - a
Cálculo dei resto
Por el teorema del resto: x - a = 0 => x = a
R = a" - a" = O Es un cociente notable (CN).
Cálculo del cociente
Por Ruffini:
x - a = 0 1 0 0 - 0 0 -a "
X = a 
a a . . a" a"~' a"
Ix " ’ ax"-" a V -^ . . a"-'x a "-’ 0
Luego:
Ejemp
x - a ' = x"’ ’ + x"'"a + x"’ V +... + x'a"’ " + a""'
X + xa + x‘a + xa
Cálculo del término general
Del cociente encontrado se observa:
t, = x^'^a"
= x" â 
tj = x ^ 'V
t.. = x " - V
t, = f ò r m u la d e l t é r m in o g e n e r a l
Ejemplos:
1. Hallar el desarrollo en cada uno de los casos: 
= x® + x®a + x“a ̂+ X V ... xa® + a'x - a
32x^-a^ {2 x f -a ^
2 x - a 2 x - a
= (2x)" + (2x)"a... + â
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x ' - a^
= No es cociente notable
x^-a^
x~̂ - a~
X - a 
1 1
X ~ Q = No es cociente notable 
X - a
x®-1 x^-1-
x - 1 x - 1
x '^-1 (x^ f-1 ^
x ' - l x " -1
(x-i-af-a^ (x + a f-a
= x“ + x̂ + x̂ + x + 1 
= (x̂ )̂ + (x^)' + (y^f + (x̂ ) + 1 
= (x+a)' + (x + afa + ...+ â
X (x+a)-a
(x + a f - ( x - a f _ (x + a / - ( x - a f _
2a (x + a ) - ( x - a )
(x + a f + (x + a f{x - a) + ...+(x - a f
2. Dados los desarrollos, hallar el cociente al que per­
tenece;
X - a
X - a
3 , ̂ . ( x ^ r - ( i r x-^~i
X + X + X
x® + x"a" + x‘ a' + a” = x ° -a °
x’° + x®a" + x®a' + x V + x V + a'" =
Estudio de los cuatro casos
Caso Condición
(r-0 )
Cociente (n términos) 
Término general
 ̂ x "-a "
X — a es un CN + + -t-... +
o x" + a" 
X - a no es un CN
^ x" + a" 
x + a
es un CN 
(n es impar) + - + -... +
x " - a " 
X + a
es un CN 
(n par) + - +
(-(•) lugar impar 
(—) lugar par
Leyes de un cociente notable
1. El número de términos del desarrollo de un cocien­
te estará expresado por el exponente común de las 
bases en el numerador
2. El polinomio desarrollado se caracteriza por ser 
completo y ordenado respecto a sus bases (en for­
ma descendente respecto a la 1.®) y ascendente 
respecto a la 2.® además de ser homogéneo.
3- Si el divisor es el binomio diferencia, los términos 
del cociente serán todos positivos, pero si es el bi-
nomio suma, los términos de cociente serán alter­
nados (positivos los de lugar impar y negativos de 
lugar par).
4. Solo si el número de términos es par. existirá un 
único término central cuyos exponentes de sus ba­
ses serán respectivamente iguales.
5. Para calcular un término contado a partir del extre­
mo final (o del lado derecho), basta con intercam­
biar simultáneamente las bases y aplicar la formula 
conocida del término general.
Ejemplo:
Si: es un cociente notable.
x*- -̂ a"
Demostrar que:
— = - = constante = número de términos 
P q
O«n^ostrac(ór\'.
(vP)"̂ - ía°)^Dándole la forma adecuada: -i—'■----- ——
x''^- a"
Para que sea CN necesariamente los exponentes de las 
bases deben ser iguales, luego:
— = - = constante = número de términos 
P q
Ejemplos:
1. Calcular “m” para que la expresión; _ % .3 m - 5
A y
genere un cociente notable entero.
Resolución;
Por propiedad:
2m + 3 3m - 3
2m + 1 3m - 5 
=> 2m = 12 => m = 6
6m^ - m -1 5 = 6m ̂- 3m - 3
Reemplazando:
x ' " - y ' x '" -y '
Obsérvese que 15/13 no es entero.
Nunca genera un cociente notable exacto.
2. Indicar el equivalente de: a®-b® , a® + b+a - b ' a -I- b 
Resolución;
Efectuando la primera y segunda división:
a'' + â b + â b̂ + ab̂ + b'* + a" - a^b + â b̂ - ab̂ + b̂ 
2(a‘’ + â b̂ + b“) -= 2(â + ab + b̂ )(â - ab + b̂ )
Hallar el coeficiente de en el cociente de:
(x“® - 243) : (x ̂ - 5/3 )
Resolución:
Dándole una forma adecuada tenemos;
(x')’ ' - (^/3 '^)^{x^-'/3)
Luego, por la fórmula del término general se tiene;
t, = ( x T ' W ’ ' ...(I)
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Si el exponente de x es 24: 3{15 - k) = 24
^ 1 5 - k = 8 ^ k = 7
En (1) el coeficiente será: (V3f ̂= 9
4. Determinar (m + n), si el t,, del cociente notable:
X® -
Resoluciórt:
Dándole una forma adecuada:
x=- y '
Por propiedad: = 7
D / •(I)
- = ( y y ^ x - V '
Por dato: x'"-"®y"'- x” 'y '"
= » m - 8 5 = 1 1 5 => m = 200
En (I): n - 280 => m + n = 200 + 280 = 480
5. Si en el cociente-notable: x^"’ ̂- y^"’ ^
210,,IS. calcular E ,el segundo término es x̂ y 
Resolución:
Transformando el cociente se tendrá:
3” - 3 3*^-3
? -1 -5 0
.2f> 1\2"
4p n
(x̂ ’ - ( y
Por fórmula:
Por dato: - x"’V ^
Dedonde: 2 " ' - 1 = 15 ^ p = 2
También: 3" - 2® - 1 = 210 == 3" = 243 =* n = 5
6. Qué lugar ocupa en el desarrollo del cociente 
notable: —— el término que tiene grado ab-x“° -y " ° 
x ̂- y
soluto 34,
Resolución:
Cualquier término estará expresado por:
t , - ( x T ^ 'y ' " ' - x ^ ‘’- V
Por dato: 4 0 - 2 k + k - 1 = 3 4 ^ k = 5
2a - a'Calcular el t „ en el cociente notable: ,____
1 - 2° / ? ^
Resolución:
Dándole la forma adecuada;
1_1 + 2a - a ^ 1- ( 1- 2a + â ) l - ( a - l ) ^
1 - ( a -1 ) ’ ''°
= ̂ l U - t , = ( i r " ’ [ ( a - i r T1 — (a — 1) 
t „ = a - 1
■ ■
Q P R O B L E M A S RESUELTOS
B " " '
1. Si al dividir un polinomio P(x) entre (x̂ + 1 ). el resto 
resultante es (x" + x - 1). Hallar el resto de dividir 
P(x) entre (x̂ - x + 1).
Resoiución:
P(x)= (x^+1 )q(x) + x̂ + x - 1
P(x) = {x+1)(x^- X + 1)q{x) + x"+ x -1
Se pide el resto de; —
x ^ - x + 1
Por el teorema del resto: 
x̂ - x + 1 = O =5 x"= X - 1
R(x)= O + ( x - 1) + x - 1 = 2 x - 2
2 . Determinar a + b, si el polinomio:
ax' + bx" - 26x’ + 30x" - 13x + 2 
es divisible por: 2x ̂ - 3x + 1 
Resolución:
Como es divisible, la división es exacta.
Por Horner:
Se habrá dado cuenta que la división se ha efec­
tuado con los polinomios ordenados en forma cre­
ciente. Luego: a = 6 a b = 1 
a + b = 7
3. Determinar el polinomio P(x) de 4.° grado, tal que 
sea divisible entre (3x^ - 2) y que al dividirlo sepa­
radamente entre (x - 1 ) y {x + 3), los restos obteni­
dos sean, respectivamente: -5 y -249
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4.
Resolución:
P{x) de 4.' grado y divisible entre (3x^-2).
^ P(x) = (3x^-2){ax + b)
• P(x) = ( x - l) q , ( x ) -5 ^ P (1 )- -5
• P{x)= ( X + 3)q2(x) - 249 = P{-3) = -249 
P(1) = (1){a + b) = - 5 =»a + b = - 5
P{-3) = (-81 - 2){-3a + b) = -249 => -3a + b = 3 
Resolviendo: a = -2 a b = -3 
=, P(x) = (3x ̂- 2)(-2x - 3)
P(x) - 6x* - 9x̂ + 4x + 6
Si P(x) es un polinomio de quinto grado divisible 
entre (2x'‘ - 3), al dividir P(x) separadamente entre 
(x + 1 ) y (x - 2), los restos obtenidos son, respecti­
vamente, 7 y 232. Determinar la suma de los coefi­
cientes del polinomio P(x).
Resolución:
P(x) es de 5.° grado y divisible entre (2x̂ - 3).
^ P(x) = (2x"-3)(ax + b)
• P(x) = (x + 1)q,(x) + 7 =* P(-1) = 7
. P(x) = ( X - 2)qz(x) + 232 = P(2)= 232
P(-1)= (2 - 3)(-a + b) = 7 = a - b = 7 
P(2) == (32 - 3)(2a + b) = 232 =» 2a + b = 8 
Resolviendo: a = 5 a b= -2 
= P(x)= (2x" - 3)(5x - 2)
Icoef(P)=P(1) = (-1)(3)= -3
5. Determinar el conjunto:
n e lN / - y es un cociente notable
- y
Resolución.-
^ n - 2 _ y n - í
=» 2(n - 3) = n - 1 a
2 n - 4 _ n - 1 
n - 2 n - 3 = p, p e M
n?^2;3 =» n = 5 
R = {5}
6.
Reemplazando: p = 2 e IN
Si la siguiente división:
(3mx^ + 3nx‘*+ (5m ̂+ 3p)x^ + 9mnx^ + mnpx+n^)
(mx^-(-nx+p)
es exacta, hallar el valor de: T = — (m - 16)m '
Resolución:
Dividimos por Horner:
m 3m 3n (5m^-i-3p) 9mn mnp n̂
-n -3n -3p
-P VJ 0 0
■VI -5mn -5mp
-4n^ -4pn
3 0 5m 4n 0 0
Observamos que:
. = 4np = 0 => n" = 4np
mnp - 5mp - 4n ̂= O
n = 4p
Reemplazamos 'n" por 4p: 
m(4p)p - 5mp - 4(16p^) = O 
4mp - 64p = 5m 
= 4p(m - 16) = 5m
De aqui:
7. Si la siguiente división: 3x®+ mx^ + nx^ - x + 2
x" + 3
da como residuo 5 x -1 0 , hallar el valor de:
T= m + n
Resolución:
3x^ + mx^ -(- nx" - X + 2 .
x^+3 
Dividimos por Homer:
: R(x) = 5x - 10
R(x) = (26 - 3m)x + (2 - 3n) = 5x - 10 
Observamos que:
♦ 2 6 - 3 m = 5 =»m = 7
• 2 - 3n = -10 ^ n = 4 
T= m + n = 11
8. Si la división: ^ + Dx + Cx + D exacta, hallar 
Dx'+E
una relación entre los coeficientes de la división. 
Resolución:
Por Horner (completar el dividendo)
Observamos que: 
♦ D - E = 0 ^ D = E 
• C - f = 0
AD = EC
T e } ®A = C
9. Si la siguiente división:
(x* + x’ + ax^+b) -í- (x^+x^+cx+1) es exacta, hallar el 
valor de: T= abe
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