Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (27)

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Resoiución:
Dividimos por Homer (completar el dividendo);
1 0 1 a 0 b
-1 ' 1 -c -1
-c
-1
1 c
c - 2
1
(c' - 2c) c - 2
- 1 (2 - c) 0 0 0
División exacta
• a - 2 c - 3 - 0 ...(!)
• c' ' 2c - 1 = O - (c - 1 )̂ = O ^ c = 1 
En (I). a - f 2 - 3 = 0 - a = 1
• b-^ c -2 = 0 = b = 1
T = (1)(1)(1) = 1
10. Calcular el residuo de: ( X ■ 5 ) ’ = + ( X - 6 ) " + 6
(x -5 )(x -6 ) 
Resoiución:
Sea R(x) = ax + b el residuo (de 1 grado, pues el 
divisor es de 2.' grado). Por el algoritmo de la divi­
sión:
( X - 5)’- -(• ( X - 6)"+ 6 = ( X - 5)(x - 6)q(x) + ax + b 
Si x - 5 : - 1 + 6 = 0-t-5a + b=»5a-^b = 5 
Six = 6: l +6 = 0 + 6a -rb - :> 6a + b = 7 
Resolviendo: a = 2 a b = - 5 R (x)=2x-5
11. Si "n" es un número naturai impar y múltiplo tíe 3, 
determinar el resto en la siguiente división:
(x'" x" + 2) + (x' - X + 1)
Resoiución:
Multiplicando por (x-t-1) al dividendo y al divisor 
(tenga en cuenta que el resto también queda multi­
plicado por x +1 ). se tiene
(x^Vx^ ^2 ) ( x - 1) x^"' ’ + x"'~'rx'^~’ + x̂ + 2x + 2
( X ^ - X + 1){x + 1) X ^ - r 1
Por el teorema del resto: x̂ + 1 = O = x̂ = -1 
Acomodando el dividendo (n = 3):
2n 2 £
P(x)= (X')^x + (xV + (xVx + (x )̂ ̂ + 2x + 2 
Reemplazando: (— es par a impar)
2r ^ n n
Rp(x) = ( - 1)^x + ( - 1 )^+(- 1) ̂x + ( - 1)’ + 2x + 2 
^ Rp(x) = x + 1 - x - 1 + 2 x + 2 
R,(x) - 2(x + 1)
Luego: R , ( x ) = ^ =2
12. Hallar el resto de la siguiente división:
(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x 4 )(x -5 )(x -6 )
x" - 7x + 11
Resolución:
Ordenamos el dividendo:
1)
(x - 1)(x - 6)(x - 3)(x - 4)(x - 5)(x - 2) 
x " - 7x (11 
(x"-7x + 6)(x -- 7x+ 10)(x"-7x+ 12) 
x^-7x+11
Por el teorema del resto: 
x" - 7x+ 11 = O = - 7x = -11
^ R(x) = ( -11 + 6)(-11 + 10)(-11 + 12)
R (x)-(-5 )(-1 )(1 )-5
13. Determinar ei residuo de dividir:
(x̂ ^̂ í 4- x̂ - 2) entre (x“ - x" + 1)
Resoiución:
(x -̂° + x^ -2) ( x^^ 1) ^ (x̂ °̂ + x^-2)(x^
( x " - x '+ 1)(x "+ í) ^ x®+1
Por el teorema del resto:
X® ̂ 1 = O ^ X« = -1 
. P{x) = [(xY V + x ' - 2Kx"+ 1)
. Rp(x) = [ { - 1) V t x' -- 21(x" + 1)
=> Rp(x) = (x̂ - x‘ - 2)(x" + 1)
^ R(X) = = x' - x' - 2
x ̂+ 1
Como este no tiene grado menor que el divisor, en­
tonces: x" - x̂ + 1 = O =• x'* = x" - 1 
R(x) = (x")x - x" - 2 = (x' - 1)x - x̂ - 2
R(x)= x̂ - x̂ - X - 2
14. Un polinomio P(x) de sexto grado al ser dividido 
por (x + 1)̂ , arroja un cociente entero g(x) y un 
residuo: 3x + 2. Si g(x) tiene como coeficiente 
principal al número 7, y ta suma de los coeficientes 
de P(x) es 325. Determinar el término independien­
te de g(x).
Resoiución;
P{x)=(x+1)^g(x) 3x
= P(x) = (x+1 f { a x + b) + 3x + 2
Coeficiente principal de g(x)= 7 =. a = 7
P(1) = 325=(2)V+b) + 5 ^ b = 3 Tl(g)=b=3
15. Si P es un polinomio definido por:
P(x) = ax* + bx̂ + cx - 8, tal que el residuo de divi­
dir P(x) entre (x + 3) es 6, Hallar el residuo de dividir 
P(x) entre (x-3),
Resoiución;
P(x) = ax^+bx^+cx - 8 ...(I)
P(x) - (x + 3) R = P(-3) = 6
En (I): R = P(-3) = -243a - 27b - 3c - 8 = 6
^ 243a + 27b ^ 3c = -1 4 ...(II)
Nos piden: R = P(3)
En (l): R = P(3) = 243a + 27b + 3c - 8 
Con (II): R = -14 - 8^ -22
16. Si al dividir P(x) por x“-1 dacomorestoR(x)=2x" - 1, 
hallar el resto de dividir [P(x)] ̂por x̂ - 1.
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Resolución:
P(x)^ (x̂ - 1) ^ R(x) = 2x^-1 
^ P(x) = (x‘ -1)q{x) + (2x^-1) 
Elevando al cuadrado;
[P(x)] ̂= [(x^-1 )q (x)+ (2x^-1
Nos piden ei resto de [P(x)] ̂ (x̂ - 1 )
Por el teorema del resto;
x" - 1 = O == x" = 1
En(l): R = [{1)'-1]q(x) + [2 (1 )-1 f .• R = 1
17- Después de efectuar la siguiente división;
(ex“ - 4x ̂+ x̂ + lOx - 2) -i- (3x + 1 ), indicar cual 
de los siguientes enunciados son correctos;
I. El polinomio cociente es 6x̂ + 3x + 9.
II. El resto es-5-
II!. El término independiente del cociente es 3. 
Resolución;
Por el método de Ruffini:
3x + 1 = 0 6 -4 1 10 -2
- 4 1 -2 2 -1 -3
+ 3 6 -6 3 9 - 5
2 -2 1 3
I. Elpolinomiococientees;q(x)=2x^-2x^+x+3 (F)
II. El resto es; R(x) = -5 (V)
III. El término independiente del cociente es q(0) = 3 (V) 
Son correctos; II y III
18. El siguiente esquema representa una división por 
el método de Ruffini.
h i j k F 20
a 12 N L e -28
b e 2 P d g
Determinar el valor: ab + j + N + ad - g 
Resolución:
Del esquema;
ab = 12, j + N = 2; ad = -28 a g = -8
ab + j + N + ad - g = 12 + 2 - 28 - ( - 8) = -6
19. Sea Q(x) el cociente de efectuar la división;
(x" + nx"’ ' - n - 1) ^ (x -1), calcular Q(1).
Resolución:
Por Ruffini:
n coeficientes
x-1 =0 n 0 0 0 . . 0 0 -n -1
x = 1 n+1 n+1 n+1 , . n+1 n+1 n+1
n+1 n+1 n+1 n+1 . . n+1 n+1 0
(n -1) coeficientes 
Q(1 ) es la suma de coeficientes del cociente Q(x);
(n - 1) coeficientes 
.-. Q(1) = 1 + {n - 1){n + 1) = n"
20. Si R(x) = Bx̂ + Cx es el resto de la división
— ■ + Bx + 2 (determinar el valor de:
3x^ - X + 1
T = A - 3B + C
Resolución:
Reconstruyendo la división por el método de Homer:
3 A 3 0 0 B 2
0 0 6 -6
3 0 1 -1
-1 6
■M
0 2 -2
6 1 2 B C 0
De donde: ■3- = 6 A= 18
B = -5 A (B + 1 = C ^ C = -4 )
Luego: T = A - 3 B + C =18 - 3 (-5 ) - 4 
T = 29
21. Si el residuo de dividir: (ax^ + ax ̂- 4x + 2a) entre 
(x̂ - bx + 2) es 2x. Determinar la suma de coefi­
ciente del cociente.
Resolución;
Usando el algoritmo de la división: 
ax ̂+ ax ̂ - 4x -f- 2a = (x" - bx + 2)q{x) + 2x 
Donde q(x) es de primer grado, 
ax ̂+ ax ̂- 4x + 2a = (x̂ - bx -h 2)(mx + n) + 2x 
Notar que; m = a a n = a 
ax ̂+ ax" - 4x+ 2a = (x̂ - bx + 2)(ax + a) + 2x 
= ax^ + (a - ab)x" + (2a - ab -1- 2)x + 2a 
=» a = a - ab A 2a - ab + 2 = -4 
=»ab = OA 2 a = - 6 = » b = 0 A a = - 3 
q(1) = 2a = -6
22. Sea el polinomio definido por: P(x)= x̂ - ax" + bx + c, 
tal que P(x) es divisible separadamente entre 
(x - a). ( X - b)y (x -c ), hallar el valor de T = a + b + c, 
con b # 0.
Resolución:
P(x) = - ax" + bx + c
Si P(x) es divisible separadamente entre (x - a), 
(x - b) y (x - c), entonces lo será por su producto. 
- P(x) = ( X - a)(x - b)(x - c)Q(x)
Luego, efectuando:
x̂ - ax" -I- bx + c = x̂ - (a + b + c)x ̂+
(ab + be + ac)x - abe
Identificando coeficientes;
• - a = - a - b - i - c =»b- i -e = 0 ...(a)
• b = ab 4- be + ac
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b = a(b + c) + bc =>b = bc=»c=1 
'~ 0 ~ '
En (a); b= -1 
• c - -abc =» ab = -1 => a ( - 1) = -1 =» a = 1 
a + b + c = 1
23. Sea P un polinomio (definido en x), tal que P(x) 
es divisible separadamente por (x" + x - 6 ) y 
(x̂ + X - 2). Hallar e! resto que se obtiene de dividir 
P(x)+(x" + 2x-3)(x" - 4)
Resolución;
P(x) es divisible por (x" + x - 6)
P(x) es divisible por (x" + x - 2)
=> P(x) es divisible por el producto de:
(x̂ + X - 6)(x^ + x - 2)
Observamos que; (x̂ + x - 6) (x̂ + x - 2)
j ( X _ 2 X 2
= (x + 3 ) ( x - 2 ) ( x - 1 ) ( x + 2)
= (x̂ + 2x - 3)(x"- 4)
Como P(x) es divisible por el producto de;
(x ̂+ 2x - 3)(x" - 4).
El residuo de dicha división es 0.
24. Si el desarrollo del siguiente cociente notable;
^ tiene un término de la forma
X
a(x ̂ - 1 f , hallar el valor de: T = a + b 
Resolución;
Escribamos en la forma de cociente notable;
(x + 1) '̂ + ( x - 1 ) ’ = 2
= 2
(x + 1)’ ' + ( x - 1 ) ’
2x
( x+1) ’ ' + ( x - 1 ) '
( X + 1 ) + ( X - 1 )
Ahora, supongamos que el término de ia forma 
a(x" - I f ocupa lugar k.
t, = 2 [ ( - i r ’ (x+ 1)"-^(x - 1)^-'] = a(x" - D" 
Obsérvese que se debe cumplir:
1 1 - k = k - 1 = k = 6
Reemplazando tenemos: -2(x" - 1)* = a(x" - 1)“ 
Comparando: a = -2 a b = 5 T = 3
25. Si un polinomio P(x) de cuarto grado, cuyo coeficien­
te del término de mayor grado es 3, es divisible por 
(x ̂- 9) y por (x -1 ). Si al dividir P(x) entre (x - 2) se 
obtiene como residuo -50, hallar el residuo que se 
obtiene de la división de P(x) entre (x -i-1 ).
Resoiución:
Datos:
P(x) es de 4.° grado, donde el coeficiente principal 
vale 3.
P(x) es divisible por (x" - 9)
P(x) es divisible por (x - 1 )
P(x) + (X - 2) ^ R = P(2) = -50
P (x)- (X + 1) ^ R= P(-1) = ?
=» P(x) será divisible por el producto de (x" - 9)(x - 1).
- ,P (xU (x '-9 )íx -1 )Q(x)
4,°G 3.°G 1.°G
De aquí; Q(x) = ax + b 
Donde, además; a = 3 
P(x) = (x" - 9)(x - 1)(3x + b)
• P(2) = (-5)(1)(6 + b) = -50=> b = 4 
P(x) = (x̂ - 9)(x - 1)(3x + 4)
. P (- i) = (-8)(-2)(1)
R = p ( _ 1 )= 1 6
26. Hallar el número de términos del cociente notable:
Resolución: 
De
^ i 7 , 5 _ y 8 r s
X " - y
N.° de términos del CN =_ 17,5 _ 8,75 _
1/2 1/4 = 35
27. El esquema siguiente muestra la división de dos 
polinomios según la regla del Horner.
-2b
bd
d
3d
bf
; b = a -I- e
cf
d f e c 
Hallar el valor de; T = a' + b' + c' + d" + e" -h f"
Resolución;
a e -2b d c
b bd 3d
c bf cf
d f e c
^ = d a
de = 3d 
-2 b + bd
Dato: b = a + 6 
Del esquema:
e = ad ...(I)
=» c = 3 
3 - f ...(II)
• 4d + bf = e ...(III)
• e + cf = e =>f = 0
En (II): -2b + bd = O =» bd = 2b = d = 2 
En (III): 4d = e = e = 8 
En (I): 8 = a(2) ^ a = 4 
En el dato: b = 12
T = 16 + 144 + 9 + 4 + 64 + O = 237
28. Si P es un polinomio definido por P(x) = ax" + bx ̂+ c, 
tal que si la diferencia de los restos de dividir, res­
pectivamente, entre: x" -t- 1 a + 1 es 2(x + 2), 
Hallar el valor de: T = ab
Resolución;
Dato; P(x) = ax" + bx ̂+ c
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