Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (28)

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• Hallemos el resto de P{x) + (x̂ + 1) 
PorTRix^ + 1 = 0 ^ = -1
P(x) = a(x )̂ ̂ + b{x^)x + c
=5- R,(x) = a(-1)^+ b { - l)x + c 
R,(x) = -b x + (a + c)
• Hallemos el resto de P(x) (x ̂+ 1) 
PorTR; x̂ + 1 = O =. x̂ = -1 
P(x) = a(x^)x + b(x^) + c
« Rj(x) = a(-1)x + b(-1) + c 
Rz(x) = + (c - b)
Por dato: R,(x) - R2(x) = 2{x + 2)
=» ( -b + a)x + (a + b) = 2x + 4 
Observamos que: a - b = 2A a + b = 4 
=» a = 3; b = 1 
T -{3 )(1 ) = 3
29. Dada ta siguiente división:
3 + (x - 3 f 
hallar el resto.
' + x̂ - 26 + 27x - 9x^ n c Z‘
Resolución:
D(x) = 3 + ( X - 3)'"*^ 
d(x) = x̂ - 9x̂ + 27x - 26 
Por TR: x" - 9x̂ + 27x - 26 = O 
x̂ - 9x' + 27x - 27 + 1 = O 
= (x - 3 f + 1= O =» (X - 3)' = -1 
Del dividendo: D = 3 + [(x-3)^}^"" ̂
=» R = 3 + impar
R = 3 + (-1) = 2
30. Sea P(x) un polinomio que cumple:
P(x) - P(x - 1) = 2x(2x - 1), hallar la diferen­
cia de los residuos que se obtienen al dividir
P(x) entre (x - 1 ) y {x + 1 ), respectivamente.
Resolución;
P(x) - P(x - 1) = 2x(2x - 1) ...{i)
El resto de dividir P(x) <x - 1) es; R = P(1)
El resto de dividir P(x) + (x + 1 ) es; R = P ( - 1 )
Lo que nos piden es: P(1) - P{-1)
En (I):
X = 1 = P(1) - P(0) = 2 
X = O = P{0) - P{-1) = O 
••• P (1 )-P (-1 ) = 2
©
31. Calcular e! residuo de la división siguiente;
( x - 1 ) ^ - ( x - 2 ) ^ - 1 
x ̂- 3x + 2
Resolución;
d(x) = x ' - 3x + 2 = (x - 2)(x - 1)
El divisor es de segundo grado, luego el máximo 
grado del resto es 1, implica que el resto tomaria 
la forma: R(x) = ax + b 
Sabemos que; D(x) = d(x)q(x) + R(x)
^ (X - I f - (X - 2)' - 1 = (x - 2)(x - 1)q(x) +
(ax + b)
Por ser identidad, damos valores; 
x = 2 => 0 = 0 + 2a + b => 2a + b = 0 ...(I)
x = 1 =»0 = 0 + a + b = 5 a + b = 0 ,..(il)
Resolviendo (l) y (ll) se obtiene: a = O a b = O
.-. R(x) = Ox + O = O
32. Hallar el resto en: X + x'"" + 1 
x " - 1 
x - 1
Resolución:
Multipliquemos dividendo y divisor por (x - i;
x + x'^^+ 1/ x - 1' 
x " - 1 l x - 1 ,
x - 1
x = - 1
2̂00 _ 1̂99 ^
x ' - 1
Por el teorema del resto: d = x * - 1 = 0 = > x ® = 1 
Del dividendo: D = (x̂ )'“’ - (x^)^V + x̂ - 1 
Luego: R’ = (1)^“ - {1 ) 'V + x' - 1 
R' = 1 - x̂ + x̂ - 1 =, R' = - x (̂x̂ - 1 )
^ R’ = -x '(x + 1)(x - 1)
Para hallar el resto (R) debemos dividir — — ;
X — 1
R'R =
x - 1
= - x ‘̂ (x + i;
33. Si al dividir P(x) / ax'' + bx ̂ + cx ̂ + 3x + 1 entre 
x̂ - x + 1 se obtiene un cociente cuya suma de 
coeficientes es 22 y un resto R(x) = 10x - 1, hallar 
a + c
Resolución:
• 1 - b - c = - 1 ^ b + c = 2 ...(II)
Restando (ll) menos (I): a + b = - 5 
Por dato; q(1 ) = a + (a + b) + (b + c) = 22
a - 3 = 22=»a = 2 5 A C = 32 
a + c = 5 7
34. Al dividir F(x) entre (4x‘ - 9)(x + 3) se obtuvo como 
residuo 2(x - 3)̂ . Hallar el residuo de dividir F(x) 
entre (2x ̂+ 9x + 9).
Resolución:
4x^ - 9 s (2x + 3)(2x - 3)
Por identidad fundamental:
F(x) = (2x + 3)(2x - 3)(x + 3)q(x) + 2(x - 3)'
F(x) = (2x - 3)(2x' + 9x + 9)q(x) + 2x ̂- 12x + 18
descomponemos
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2x" - 12x + 18 = (2x̂ + 9x + 9) + (-21x + 9) 
F(x) = {2x - 3)(2x ̂+ 9x + 9)q(x) + (2x ̂+ 9x + 9) +
( - 2 1 X + 9)
F(x) = (2x ̂4- 9x + 9)[(2x - 3)q(x) + 1] + (-21x + 9)
D(x) d(x) Q(x) R(x)
R(x) es el resto de dividir D(x) entre (2x ̂+ 9x + 9)
R(x) = - 21x + 9
4 2
35. ¿Qué valor toma pq en: ^ + ,9 ̂ l̂e modo que
X + X - t -1
su resto sea idéntico a 3x + 4?
Resolución;
1 1 0 p 0 q
-1 -1 -1
-1 1 1
-P -P
1 -1 p (1-p) (q-p) 
resto
Como; (1 - p)x + (q - p) = 3x + 4 (dato)
1 - p = 3 
q - p = 4
p = -2
q = 2 pq
36. En la división siguiente: 3xV 6bx^+ x + a
x‘̂ -x + b
se sabe que el resto es; 2x + 3; además ta suma 
de coeficientes del cociente es mayor que 15. Cal­
cular ab.
Resolución:
• b" - 5b + 6 - 2
b' - 5b + 4 = O =» (b - 4)(b - 1) = O 
=» b = 4 V b = 1
• a - 5b = 3
Si: b = 4 =. a = 23
Si: b = 1 => a = 8
Observe que cuando b = 1 a a = 8, suma de 
coeficientes del cociente sale mayor que 15 pero 
no cuando b = 4 = > b = l A a = 8 ab = 8
37. Sea P un polinomio de cuarto grado divisible por 
(x" - 1). Si P(x) se divide separadamente entre
(x̂ + 1) y (x" - 2) tos residuos son (2x - 6) y (6 - x)
respectivamente, hallar el término independiente 
de P(x).
Resoiución:
GA(P) = 4 A P(x) divisible: x" - 1 
^ ^ ) = ( x ^ - 1 )q ^
4.' 2.’
P(x) = (x̂ - 1)(ax^ + bx + c)
. P(x)
.(1)
deja resto: R,(x) = 2x - 6
x"+ 1
Por el teorema del resto: x' + 1 = 0=»x" = -1
En (1): R,(x) = (-1 -1 ) ( -a +bx+ c) = 2x - 6
-2bx - 2 ( c - a) = 2x - 6 
= s b = - l A c - a = 3 -••(«)
II. — - deja resto: R2(x) = 6 - x 
x ^ - 2
Por el teorema del resto; x " - 2 = 0=>x^ = 2 
En (1): Rj(x) = (2 - 1)(2a + bx + c) = 6 - x 
= > b = - l A 2 a + c = 6 ,..(|3)
De (a) y (P): a = 1 a c = 4 
^ P(x) = (x' - 1 )(x' - x + 4) T1(P) = P(0) = -4
2x” ̂+ 138. Si la siguiente división;-----^ — es inexacta, ha-
1 + x̂ - x
llar el residuo.
Resoiución:
De; 2x"''+ 1 ...(I)
X ^ - X + 1
Recuerde que si; D(x) = d(x)q(x) + R(x)
= D(x)M(x) = Ld(x) X M(x))]q(x) + R(x)M(x)
Esto es, si at dividendo y divisor se les multiplica 
por M(x) (M(x) ^ 0), entonces el resto también que­
dará multiplicado por M(x).
(2x’’̂ + 1)(x+ 1)Por (x + 
2x’“
1): (x^
2ĵ119
• x+1) (x
x + 1
1)
...(II)
x^+ 1
Por el teorema del resto en (11): 
x H 1 = O => x ^ = - 1 
P ( x ) - 2 ( x ^ ) * ° + 2 ( x ^)^®x ̂ + x + 1 
R f ( x ) = 2 ( - 1 ) “° + 2 ( - 1 ) ' V + x - 
=» R p ( x ) = - 2 x " + X + 3 = ( - 2 x + 3 ) ( x + 1 ) 
Luego, el resto de (I) será:
( - 2 x + 3)(x + 1)
1
r (x) = 5 eM _ _
' ' X+1
R(x) = -2 x + 3
X + 1
39. Si P es un polinomio de cuarto grado, cuyo coefi­
ciente principal es 6, tiene como término indepen­
diente -4 ; es divisible separadamente por (x + 1 ) y 
( X + 2) y al dividirlo entre (x - 2) el residuo es 240, 
hallar la suma de coeficientes de polinomio P.
Resolución:
GA(P) = 4; CP(P) = 6; TI(P) = -4 
P(x) es divisible entre (x + 1) y (x + 2)
^ ^ ) = (x+ 1)(x+2)q^)
4.* 2.“
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=> P(x) = (X + 1 )(x + 2)(ax^ + bx + c) 
CP{P) = 8 = 6; TI(P) = 2c = -4 = c = -2 
=» P(x) = {X + 1)(x + 2)(6x' + bx - 2)
P(x)Además; deja resto; R = 240x - 2
^ P(2) = R = 240 =. {3)(4)(24 + 2b - 2) = 240 
^ b = -1
=> P(x) = (x + 1 )(x + 2)(6x^ - X - 2)
P(1) = (2)(3)(3)=18
40. Si P es un polinomio, ta! que a! dividir P(x) entre 
(X® + X + 1) se obtiene como residuo {-x^ + 1). 
hallar el residuo que se obtiene al dividir P(x) entre 
{x' + X + 1)
Resolución:
P(x) = (x® + X + 1)q(x) + (-x^ + 1)
P(x) = (x̂ + X + 1 )(x ̂- x̂ + 1 )q(x) + (-x^ + 1 ) 
P(x)Para calcular el resto de
x + x + 1
, apliquemos el
teorema del resto; x̂ + x + 1 = O => -x^ = x + 1 
=> R(x) = O X q(x) + (x + 1 + 1)
.. R(x) = X + 2
41. Si un término del cociente notable que resulta de
dividir; . ^ ̂
Resolución:
Se tiene: x ^ - y "
es x’^ Hallar el valor de m + n.
1
y 3 . . m - 3 „ m + 2Ay y x - y ’
Dándole la forma; 1 (x^)^-(y^) 5
y - 3 x ' - y '
m + nSe cumple que; y =
» 5m = 3m + 3n =9 2m = 3n 2m
Sabemos que un término cualquiera del desarrollo 
estará expresado por;
1 / „ 3 \ T - l > / , . 5 s k - 1 ____
= X
-3yk
Por dato, uno de sus términos es x'^ en conse­
cuencia;
De donde;
• m - 3k = 12 ^ m = 3k + 12 ...{II)
• 5 k - m - 2 = 0 = 5 k - 3 k - 1 2 - 2 = 0=>k = 7 
Reemplazando el valor de k = 7 en (II);
m = 3{7) + 12 =» m = 33
•í\
n = 22E n ,,):„ = Í M
m + n = 33 + 22 = 55
42. Si el término “k" contado a partir del extremo final
del desarrollo del cociente notable: tiene
X - y
grado absoluto 40. Calcular el grado absoluto del 
t . , 2. contado a partir del primero.
Resolución:
El término “k” contado a partir del final es el mismo 
término que se obtiene invirtiendo el desarrollo del 
cociente notable, lo cual se logra, cambiando de 
signos, así:
y30 -^75
y^-x= (y^)-(x^)
Cálculo del término k: (invertido el orden)
Dato; (GAtJ = 40 = 30 - 2k + 5k - 5 
^ 3k= 15 ^ k = 5
=í Nos piden calcular e l^^ 2 =■ t, {sin invertir)
5
GA(t7) = 40 + 12 = 52
abx® + b^x* + bcx^ - abx + acx^ + ĉ43. Si al dividir:
ax + bx + c
se obtiene por resto: acx, calcular: 
Resolución:
Por el método de Horner;
. b(a + c)
De donde: R(x) = (-ab - bc)x = acx (dato) 
=» - ab - be - ac => ab + be = -ac 
• *̂ (3 + c) _ ^
ac
44. Calcular “n” sí el residuo de la división:
(x + 3)"(x + I)'* + nx(x - 1)(x + 5) + 1 
(x + 2)^ 
es: 2(1 - 18x); n es par 
Resolución:
Por el teorema del resto: 
d = x̂ + 4x + 4 = O => x̂ + 4x = -4 
Del dividendo:
D = [{X + 3){x + 1)1" + nx{x - 1){x + 5) + 1
D = (x" + 4x + 3)" + nx{x̂ + 4x - 5) + 1
Luego: R = { -4 + 3)" + nx(-4 - 5) + 1 
Como "n” es par, entonces:
R = 1 - 9nx + 1 = -9nx + 2 
Por dato: -9nx + 2 = -38x + 2 
=9 —9n = —36 = n = 4
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45. Hallar el resto en la división:
Resolución:
Se tiene que:
D(x) = + Ox̂ + Ox + O
d(x) = x" + 3x + 2 
Por el método clásico:
(x+1)(x + 2)
x̂ + Ox̂ + Ox + O 
-x^ - 3x" - 2x 
- 3x ̂- 2x + O 
3x" + 9x + 6
x - 3
7x + 6 = resto
46. En la siguiente división:
3x "̂ - 5x^° + 3x^ + 3x' - 5x - 5 
ax" - b
determinar el valor entero y positivo de “a” y “b", 
para que dicha división sea exacta, siendo: a < 4
Resolución:
Por el teorema del resto: 
d(x) = ax" - b = O =» x" = b/a 
Del dividendo, dando forma:
D = 3 (x 'f - 5(x")"+ 3(x")x + 3(x") - 5x - 5
Para que sea la división exacta: R(x) = O
3 ( - ) - 5 X + 3 ( b f _ 5 ( b f + 3 ( b ) - 5 Ì\a l \a l \ a l [a l = 0
De aquí: 3 ( | | - 5 - O ^ 3b = 5a 
Como "a" y "b" eZ* : a = 3A b = 5
47. Si se sabe que la división de:
F(x) = ax" + {3a - b)x""’ + (5a - 3b)x"”" +
(7a - 5b)x'’-^+ ... 
de (n + 1) témiinos, entre ax - b, da como residuo 
11a; (a b). Hallar el valor de “n’’.
Resolución:
Efectuamos la división por Ruffini. para esto ana­
licemos tos coeficientes del dividendo, nótese que 
posee (n + 1) términos.
1 coef. = a
2.“ coef. = (3a - b) = (2 x 1 + 1)8 - (2 x 1 - 1)b
3.®' coef. = (5a - 3b) = (2 X 2 + 1)a - (2 X 2 - 1)b
4.“ coef. = (7a - 5b) = (2 X 3 + 1)8 - (2 X 3 - 1)b
(n + 1)." coef. = = (2n +1)a - (2n - 1)b
a
a (3a - b) (5a - 3b) 
I b 3b
(2n + 1)a - (2n - 1)b 
(2n - 1)b
3a
(2n -H 1)a = 11a
5a.,,(2n-1)a (2n+1)a
resto
n = 5
48. Al efectuar la división: (x"+ 1) ̂+ ( x - 1) ̂+ 3x 
X ^ - x" + X - 1
Se obtuvo un resto R(x), hallar el valor de:. R ( -1 )
R(1)
Resolución:
Se tiene que:
d(x) = x̂ - x" + X - 1 = x (̂x - 1) + (X - 1)
• Factorizando (x - 1): d(x) = (x - 1)(x ̂+ 1) 
Luego; d(x) es de tercer grado, entonces el 
máximo grado de R(x) es 2; es decir;
R(x) = ax" + bx + c
Sabemos que; D(x) = d(x)q(x) -t- R(x), entonces 
(x̂ + 1)® + (x - 1 )̂ -t- 3x =
(x - 1)(x" + 1)q(x) + (ax" -i- bx + c) ...(I)
• Por ser identidad, damos valores;
x = 1 => 35 = a- i ' b + c ...(II)
También se puede escribir en (I) así:
(x" + 1)' + (x" - 3x' + 3x - 1) + 3x =
(x - 1)(x" + 1)q(x) + (ax"+ bx + c) 
x̂ = -1 =» - X + 3 + 3x - 1 + 3x = -a + bx + c 
=> 5x + 2 = bx + (c - a)
De aquí: b = 5 A c - a = 2 1 0 = 1 6
Pero b = 5 en (II): a-i -c = 3 0 j a = 14
^ R(x) = 14x' 5x + 16 
R(-1) 1 4 ^ 5 + 1 6 5
R(1) 14 + 5 + 16 7
49. Si el resto de dividir:
P(x) = (2x^ + 6x + 9)"® - 3(x" + 3x + l<)” + 5 
por d(x) = x" + 3x + 4 es 3, hallar la suma de los 
valores de k.
Resolución;
Por el algoritmo de la división;
P(x) = d(x)q(x) + R(x)
Donde q(x); cociente de la división, R(x) = 3 
(2x" + 6x + - 3(x" + 3x + k)"* + 5 =
(x ̂+ 3x + 4)q(x) + 3 
[2(x" + 3x) + 9]"' - 3{(x^+ 3x) + k]"‘ + 5 =
[(x" + 3x) + 4]q(x) + 3 
Para anular q(x) =» x' + 3x + 4 = O =» x" + 3x = -4 
Reemplazando;
[2(-4) + 9]*' - 3(-4 + k)" + 5 = ( -4 + 4)q(x) + 3 
1“® - 3 (-4 + k)'** + 5 = 0 + 3=»3 = 3(-4 + k)”
=» 1 = ( -4 + k)"" =. 1 = ( -4 + k)
=»-4 + k = 1 v - 4 + k = - 1 = » k = 5 v k = 3 
.-. k = {3; 5} =» Ek = 3 + 5 = 8
50. Si el resto de dividir P(x) entre (x - 2) es el mismo 
que el dividir P(x) entre (x -1 ) e igual a 8, ¿Cuál es 
el resto de dividir P(x) entre (x - 1)(x -2)7
Resolución:
Por teoría:
Si: P(x)+ (X - 2) =» R = 8 
P ( x ) ^ ( x - 1) ^ R = 8 
Entonces al dividir: P(x) (x - 2)(x - 1)
El resto también será igual a 8.
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