Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (30)

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En (I): 3(x^)x + (x )̂ + mx - 2 = 3x + n + mx - 2 
3(x^)x + (x )̂ + mx - 2 = (m + 3)x + (n - 2)
f^(x) = 5x - 4
Identificando con el dato: m = 2 a n = 2 /. m" = 1/4
Clave: D
PROBLEMA 5 (UNI 2 0 1 3 • I)
Halle el cociente al dividir
P(x) = Sx" + x ̂+ + X - 2 entre (x + 1)(x - 2/3)
A ) 2 ( x ' - 1 ) B)3(x^ + 2x) C)4(x' + 4)
D)3(x^ + 1) E ) 3 ( x ' - 2 )
Resotución:
Factorizamos: P(x) = (x + 1)(x - 2/3)(3x^ + 3)
Nos piden el cociente de dividir:
( x + D Í x - | ) ( 3 x ' + 3 )
( x + 1 ) / x -
= 3(x^+1)
Clave; D
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□
P R O B L E M A S PROPUESTOS n
A l e f e c t u a r l a d i v i s i ó n :
X® + 5x“ - 5x^ + (9m + 1)x^ + n
e l r e s i d u o e s R ( x ) = 8 . C a l c u l a r ( m + n ) ^
A ) 4 B ) 1 6 0 ) 3 6
D ) 6 4
B ) 1 6
E ) 1 0 0
2 . C a l c u l a r e l r e s t o d e d i v i d i r : 
8 x ^ + 4 x ^ - 6 a x 1 5
2 x - 1
s i l a s u m a d e c o e f i c i e n t e s d e l c o c i e n t e e s 3 7 ,
0 ) 4 4A ) 4 6 B ) 4 5
3.
D) 43 E)42
E n e i e s q u e m a d e l a d i v i s i ó n p o r R u f f i n i ;
4 - 3 a - b l e
* * * * i *
* 1 b * ! 3
c a l c u l a r ; a c - b e .
A)1 B ) -1 0 3
D) -3 E)4
S e d e f i n e e l p o l i n o m i o m ó n i c o ;
P{x) = ( a - 3)x^ - 5x' + 2x - a
c a l c u l a r e l r e s t o d e l a d i v i s i ó n :
X - ó
A) 38 B) 40 O 36
D)42 E ) 34
C a l c u l a r t a s u m a d e c o e f i c i e n t e s d e l c o c i e n t e a l
y 9 9 _1_ Y 1
e f e c t u a r l a d i v i s i ó n ; - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -X - 1
A) 50 B)99 0 100
D)70 E)1
6 . C a l c u l a r m + n + p , s i a l d i v i d i r :
2 x ^ + m x ^ + n x ^ + p x + q 
x " - X + 1
s e o b t i e n e u n c o c i e n t e c u y o s c o e f i c i e n t e s e s t á n e n 
P A y d e j a d e r e s t o i g u a l a : 3 x + q
A ) 2 B ) 3 0 4
D ) 5 E)6
7. A i d i v i d i r ; x ' - 1 0 x » - 2 1 x + 9 0
X - b
el coGficient© del término cuadrático del cociente 
es -1 , Calcular b.
A ) - 4
D ) - 3
B ) 3
E ) B V D
8 . A l e f e c t u a r l a s i g u i e n t e d i v i s i ó n :
x " ^ ^ - ( n - 2 ) x + 2 n - 3 
( x - 1 ) ^
s e o b t i e n e u n c o c i e n t e c u y a s u m a d e c o e f i c i e n t e s 
e s 1 9 0 , H a l l a r e l r e s t o d e l a d i v i s i ó n ,
O x - 1 6A ) x + 1 6
D ) 3 x + 1 6
B ) 3 x - 1 6 
E ) 4
9. S i s e d i v i d e :
Q ( x ) = ( a + b ) x ^ + ( b - c ) x ^ + ( b + c ) x + a - b
b'e n t r e x + n ^ e l r e s i d u o e s c e r o . C a l c u l a r :
a‘ + c ‘
A ) 3 
D ) 1
B ) 1 / 2 
E ) 3 / 2
C ) 1 / 4
10. E l e s q u e m a r e p r e s e n t a l a d i v i s i ó n p o r e l m é t o d o d e 
H o r n e r :
c
c c ^
I n d i c a r e l r e s t o ,
A ) x + 2 
D ) 4 x + 7
B ) 3 x + 2 
E ) 7 x + 1 1
C ) 2 x + 1
1 1 . E f e c t u a r l a d i v i s i ó n :
6 x ® - x ' ‘ + 4 x ^ - 5 x ^ - x - 1 5
I n d i c a r e l r e s t o ,
A ) 2 x + 1 
D ) 0
2 x " - x + 3
B ) 4 x - 1 
E ) 1
C ) x + 2
12. Dividir; 2 x ' - 8 x + x “ + 1 2 - 7 x ^
( x - 2 ) ( x - 1 ) 
I n d i c a r e l v a l o r d e v e r d a d :
I - S c o e f i c i e n t e s ( q ) = 1 2 ,
I I . E l r e s t o e s x + 1 .
I I I . L a d i v i s i ó n e s e x a c t a .
A ) V W 
D ) V F V
B ) V F F 
E ) F W
C ) F F V
13. C a l c u l a r e l v a l o r d e m \ s í l a d i v i s i ó n :
x'“ + 4- mx^ - 6x 4- 8
x" + 2x + 8
A ) 3 8 ) 7
D ) 1 / 4 E ) 1 / 7
es exacta.
14. A l d i v i d i r ; 2x - X 4- 4x + 7x + m
X - X + n 
e l r e s t o e s 3 x + 4 , c a l c u l a r m " ' ’ .
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A) 3 
D) 1
B)4
E)5
C) 1/3
15. S* el resto de la división;
8x^ + 4x^ + mx^ + nx + p 
2x^ + x ̂- 3 
es R(x) = 5x ̂ - 3x + 7, calcular; m + n + p
A) 10 B)n 0 - 1 0
D ) - n E)0
16. Sí la división de;
P(x) = x' - x" - (a + 3)x ̂+ (b + 3)x ̂+ (c - 2)x - 2 
entre x" - 8x + 2 es exacta, calcular:
A) 16 
D) 19
/P(a) + P(b)P(c)
B)17 0 1 8
E)20
17. El polinomio; P(x) = mx** + nx" - 9x ̂+ 4x + 10 
es divisible por Q(x) = x̂ - 3x + 5. Calcular m - n
A) 4 B) - 6 0 6
D) 5 E) -2
18. En la división: ^ ~ ~ ^ , señalar la sumax - 2
de coeficientes del cociente.
A)8 
D) 11
B) 10 
E) 12
0 9
.tn Ai j - .!• Sx“ + (n + 1)x^ + nx - 5 19. Al dividir; ^ ------------ el resto es 1,x + 3
calcular: ‘’/n + 1
A)1 B)2 0 3 D)4 E)5
20. Calcular el resto de dividir;
x ̂+ 9x + 18
A) O
0341X + 2046 
E)273x + 2036
B)25x + 203 
D )-36x + 20 461
21. Al dividir P{x) entre x̂ - x̂ - 2x + 2, se obtuvo de 
resto x + 2. Hallar el resto de dividir P (̂x) entre 
x " - 2 .
A)x - 3 
O 14x + 20 
E) 2 x - 16
B) 2x + 8 
D )8x + 18
22. Dado el polinomio P(x) mónico de grado n, que 
cumple: P(1) = 1: P(2) = 2; P(3) = 3;... ; P(n) = n.
P(x)Determinar el resto de dividir:
A) O 
D)U1-1
B) 2[n_
E )(-1 ) '\r i
O n +1
23. Al dividir P(x) entre (x̂ + x +1 ) se obtuvo por residuo 
(x + 1) y al dividir P(x) entre (x^-x+1) el resto es 
{ x-1) . Calcular el resto de dividir P{x) + (x* + x̂ + 1)
A) x"
D) x" + X
B)x 
E)x + 1
C)x^
24. En la división siguiente:
2x^ + 3x" + bx ̂+ 6bx^+x + a 
x ̂- x + b
se sabe que el resto es 2x + 3, además, ia suma 
de coeficientes del cociente es mayor que 15. Cal­
cular ab.
A) 4
D)2
B)9
E)8
C)7
25. ¿Qué relación debe guardar los coeficientes del 
polinomio (ax'* + bx" + cx + d) para que sea divisi­
ble entre (x ̂- 2x + 1 )?
A) d = 2a + b B) d = 2a + 3b
O d = 3a + 2b D) d = a + 2b
E) d = a + b
26. Determinar A y B / P(x) = Ax“ + Bx ̂+ 1, Verificar; 
P(x) - R(x) = (x - 1 )^q(x), si R(k) = O, V k e E.
A) 3; 4 B ) 3 ; - 4 O 2 ; - 4
D ) - 2 ; 4 E ) - 2 ; - 4
27. Sabiendo que P(x) = 4x* - Bx“* + 3x ̂+ x̂ - x - 1, 
se puede expresar según potencias de ( x - 1 ) , es 
decir, P(x) se puede expresar así:
a(x - 1)* + b(x - 1)̂ + c(x - 1) + d(x - 1)" + dx - 1) + f
Indicar el valor numérico de: E = ^ ^a + c + e
A) - 1
D)1
B) - 5 
E)5
O -1 0
28. Calcular el valor de "m" en la siguiente división indica­
da (2X - 1)"
(x + 2) (x-3)
A) 2 B)4
D)1 E)3
si el cociente admite como TI = 4. 
C)6
29. S iF (^) es el resto de dividir F(x) entre (x +2a), donde 
F(x) = 2x"+a(a + 4)x̂ + (1 + â + â )x + 2(a" - a“ + 1)
calcular F|.^ 
A) B ) g
e f
C )U
30. Et cociente y resto de ta siguiente división:
S ^ + ( l ] x ^ ^ + 2 x - 2
3X-1
es (CqX®“ + CiX*® + CjX*® + ... + C50); -5 , respectiva­
mente, donde:
Co + Ci + Cj + ... + C50 = ~ + .^ /a , b em .
a b/
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Calcular a+b.
D) - 4
B ) f
E)5
C ) |
31. Si P(x) es divisible por ( x^+x+1) , donde 
P(x) = x^A(x^) + B(x^), calcular la suma de los res­
tos de dividir A(x) y 8(x) entre (x - 1), respectiva­
mente.
A)1
D) -1
B)2
E) -2
OO
32. Luego de efectuar la división: 
x^' + x‘ + 1
x«_x®° + x“ - . . . + 1 
hallar el resto.
A)1 B)2 C) X* + 1
D) x" - 1 E) 2x ̂+ 1
33. Cuál será el residuo de la división: 
[(1 + x + x ̂+ x^)^-x^f
A) - X
OO 
E) 1 - X
1 + X + x + X + x“
B)x
D) 1 + X + x ^ + x^
34. Calcular el resto de dividir:
( x - 1)̂ ® + (2x)’V x ^-1
3x® - 15x" + 30x^ - 30x^ + 21x - 3 
C)x^A) O B) -1
D ) x ^ - 1 E) 3 x ^ - 3
35. Determinar ei valor del parámetro K, para que la 
siguiente división sea exacta.
x̂ + + Kxyz(x^ + ŷ + ẑ )
x + y + z
A )-5/2 B)5/6 0)5/2
D)5 E)15
36. Determinar el resto de la división:
(x" + x“ + x̂ + 3)(x"-x^+ 1) + x(x*+ 1) + x^x+ 1) 
x̂ - x + 1
A) 1 - x B)2x-1 0 3 - 2 x
D)4x- 3 E)x^ + x -1
37. Indicar el valor de “a" y "b”, para que (x® + ax'* + b) 
sea divisible por (x̂ + x + 1 ).
A)1;2 B)2;1 O 3; 2
D )-1 ,1 E)1; 1
38. Al efectuar la división:
3ax“ - 4dx ̂- 2cx ̂+ 2x + 2 
3x ̂+ 2x - a
se obtiene un cociente cuya suma de coeficientes 
es igual a 30 y un resto idéntico a 5ax + a + 2, a / 0.
Calcular —77̂ — , donde q(x) es cociente. q(1) - a ’
A) 1 B) 1/4 O) -1
D )-1 /4 E)4
39. El polinomio P{x)dividido separadamente entre 
(x̂ - x + 1) y (x̂ + X + 1) originan residuos - x + 1 
y 3x + 5, respectivamente. Determinar el térmi­
no independiente del residuo de dividir P(x) entre 
x̂ + x̂ + 1.
A) 1 B )3
D)6 E)8
40. Hallar el residuo:
A) 2x - 5 
D)5
0 5
( x - 5) ' ° + ( x - 6 ) ' + 6 
( x - 5 ) ( x - 6 )
B) 2x + 5 O 2x 
E)3x - 5
41. Sabiendo que P(x) es un polinomio y si a # b son 
números reales, tales que P{a) = P(b), hallar el res­
to de la división de P(x) entre x̂ - {a + b)x + ab.
A) [P(a)]' 
D) / P ^
B) 1 
E)0
C) P(a)
42. Si "n" es un número natural impar y múltiplo de 3, 
determinar el resto en la siguiente división:
(x "̂ + x" + 2) + (x̂ - X + 1)
A)1
D)4
B)2
E)5
C)3
43. Si P es un polinomio de tercer grado, tal que al di­
vidir P entre (x ̂- 2x + 2) deja un residuo (3x - 6). 
Al dividir P entre (x ̂ + x) su residuo es (6x + 2). 
Calcular el residuo que se obtiene de dividir P entre 
( x+ 1 ) ( x - 2 ) ,
O 8x + 4A ) - 8x + 4 
D)4x + 8
B)4x - 8 
E) 8x - 4
44. Si los cocientes de dividir P(x) entre (x - 1 ) y (x - 2) 
son, respectivamente. Q(x) y q(x), determinar P{3), 
sabiendo que: P(1) = 3; P(2) = 2; 2Q(3) + q(3) = 5
A) -3 
D)4
B) -5 
E)5
0 )2
45. Al dividir separadamente el polinomio P(x) entre
- (b + 1 )x + b y entre x̂ - (b + 2)x + 2b. se ob­
tiene por restos 7x - 4 y 5x - 8. respectivamente. 
Hallar la suma de coeficiente del resto de dividir 
P(x) entre x̂ - (b + 3)x ̂+ (3b + 2)x-2b.
A ) - 1 B)0 0 1 0 ) 2 E)3
46. Un polinomio P(x) de sexto grado, al ser dividido 
por (x+1)® arroja un cociente entero q(x) y un re-
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siduo 3x+2. Si q(x) tiene como coeficiente prin­
cipal al número 7, y la suma de coeficientes de 
P(x) es 325, determinar el término independiente 
de q(x).
A)1 B)2 0 3
D)4 E)5
47. Determinar el residuo de la división:
x 'V + x + 1) + x'®(x + 1)
O x’®A) -x ' 
D) 2x’ -
B) -2 x ’
E) 3x '̂
48. Hallar el resto de ia división:
( x - 1) ( x + 2)(x + 3) (2x-1) 
x^+ x - 5
A)x + 8 B)2x + 7 0 6x + 10 D
9x + 21 E)9x + 11
49. Hallar el residuo de dividir:
x-’íx +1 r + (2x ̂+ 2x - 1 + (x + 1)' - (x + 2)
entre x̂ + x -1 ,
A)x + 1 
D) -1
B)2
E)0
O I
50. Calcular el resto de dividir:
(x + 1)̂ ̂+ 7(x+ 1)̂ ̂+ 3(x+ 1)^^+ (x+ 1)^+ 3 
x^+2x + 2
A)2x+11 B) 2x-11 0 2X + 7
D)2x+13 E) 2x - 13
51. Hallar el resto de la división: ^
x̂ + x + 1
A) - 4 + x B ) 4 - x 0 2 - x
D)3 E) - 3
52. Determinar el valor de M, si la siguiente división: 
x(y + z) + y(x + z) + z(x + y) + M(x^ + ŷ + ẑ )
es exacta.
A) -3 
D)2
x + y + z
B) -1 
E)3
O í
53. Determinar el resto de dividir:
( x + 2 ) ^ ( x ® + X + 1) por x ^ “ X + 1
Dar como respuesta el coeficiente del término
lineal.
A) 12 
D) 29
B) 16 
E) 55
O 18
54. Si el polinomio P(x) de tercer grado es divisible por 
X - 2, se anula para x = -1 ; tiene término indepen­
diente -10 y al ser dividido por (x - 3) su resto es 
56. Calcular P(5).
A) 164 B)170 0 1 2 8
D)160 E)156
55. Si el polinomio de tercer grado P(x) se divide sepa­
radamente por (x - 3), {x + 2) y ( X - 1) se obtiene 
el mismo resto -36, además 4 es raíz de P(x). Cal­
cular P(5).
A) 120 B)124 0 1 0 8
D)144 E)24
56. Luego de efectuar 4 x ^ + 10 x " - 2 x ^ + 1 5 x - 2 dé
2x^ + 3x - 1
como respuesta la suma de coeficientes del co­
ciente aumentado en el término independiente del 
residuo.
A) 6 
D) 5
B)9
E)4
O 10
57. Si en la división:
9x‘* + 6ax^ + (a ̂+ 3b)x' + 9a^x - 3ab 
3x ̂+ ax - b
su resto es 6ab + b' 1ab O, calcule: 3 + (-|̂
A) 72 
D) 76
B)84
E)78
58. ¿Cuál es el valor de m + n, si 
es exacta?
A) 5 
D)8
B)6
E)4
0 82
nx^+ 13x^+ 9x + 2 
mx ̂+ 3x + 1
C)7
59. En el esquema de Horner,
B A 3 C D
2 8 12
Y P Q
A m E F
calcule: A + B + C - D - E
A) 6 
D)9
60. En la división
B)37
E) -1
Q + F
O - 7
(n + 2)x + n + 1 
x - 1 , el té rm ino
independiente del cociente es -10. ¿De qué grado 
es su dividendo?
A) 12 
D)9
B)8 
E) 10
O 11
61. En ei esquema de Ruffini:
a b c d
2 i 6 P 40
a 8 20 e
el resto es 2. Calcule : a
A) -15 
D> -28
B) -11 
E) 13
b + c + d + e + p 
O -1 3
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62. Dado el polinomio:
P(x) = X® + 2/2x" + 2/2x^ + 2/2x + 7, halle el 
valor numérico del polinomio cuando x = -ÍS - /2
A) 6 
D) 10
B)8 
E) 13
0 9
63. En la base a la división ¿cuál de
x' + X - (1 + X)
las proposiciones es verdadera?
I. El resto no es 22.
II. IR]:.,, es 6,
III. Su resto es de grado cero,
A) Solo l B)Sololl O Solo lll
D) i y l l E) l l yl l l
64. Halle m + n, sabiendo que la división:
2x^ + mx ̂+ nx^ - 3x + 1 
x ̂+ 3
da un residuo igual a: 3x - 2
A) 5 8 )9 0 10
D)13 E)11
65. Dados los polinomios:
P(x) = 4x* + x̂ - x" + 4x + 3; D{x) = 2x^ - x + 1 
Al dividir P(x) entre D(x), mediante el esquema de 
Horner, un estudiante se olvida de cambiar de sig­
no a los coeficientes del divisor. Indique el polino­
mio que se debe sumar al cociente para que este 
sea el correcto.
A) x̂ - I- 2x ̂ - X + 1 
C)2x' - 2x + 1 
E)2x^ - X + 1
B) x' - X + 1
D) 2x ̂+ X + 1
66. Al dividir un polinomio P(x) entre x - 1 se obtiene 
que el término independiente, del cociente es 21, 
indique el residuo, si P(0) = 7.
A) 28 B)32 C)25
D)21 E)40
67. Determine el valor de b - a - c, si se cumple que:
- 4x'* - 10x ̂+ 27x^ -H ax + b
A) 4 
D) 14
x ^ - 4x^ - 11x + c
8)6
E)13
= q(x) 
0 9
1
x - 5
68. Sea P(x) = {1 - /2)x® + 2x" - 2 /2 x + 10 
q(x) = X * - 9x“ + X + 2
se sabe que Juan gana “b” soles por cada "a" soles 
que invierte, donde; P(1 + /2 ) - b a q(b) = a 
Determine cuánto gana Juan, si Invierte 22 soles 
más.
A) 14
D)39
8)27
E)41
0 32
69. Ai dividir P(x) se obtiene un cociente que es
2x" + X - 1
igual al divisor y un residuo R(x), tal que R(0) = 0.
Halle P(1), si R(1) = 3
A) 7 B) 5 0 4
D)6 E)9
70. Al dividir P(x) = x " '" ' + 3x"'’ " + 3x"'‘ ® + ... + 3x + 6 
entre D(x) = x - 2; se obtiene que la suma de 
coeficientes del cociente es 109; halle n̂ - R.
{R: residuo de la división).
A ) -12 B)36 0 1 5
D) - 20 E) -19
71. Si en la división ( x - a ) ( x - b ) 
He el máximo valor de a + b.
A) O 
D )2006
B)2
E)4
72. Dada la división:
^ 1 2 n ^ 2 x ’ ^n. +
el residuo es 1, ha-
0 3
+ nx’^+ 1
(x®+ 1)(x'+ 1)
Si el residuo es 56, halle ei valor de “n”.
A) 10 B)15 0 11
D)9 E)8
I Ow I o
73. SI el cociente de la división ^ 7 £ ©s divisor
x^ + x + 3
de q(x) = x̂ - 2x* + 5x + b, calcule el valor de b.
A) -2 B) - 4 O -7
D)9 E)11
74. Si P(x) es un polinomio mónico cúbico y es divisible 
por x̂ - 5x + 6, además al dividir P(x) con x̂ - x - 2 
se obtiene como residuo 8x - 16, ¿Cuál es el resto 
de dividir P(x) con x̂ - 2x + 3?
A ) 3 x - 2 B ) 2 x - 3 C ) x - 1
D )-2x + 6 E)6
75. Determinar el residuo de dividir:
P(x) = X® + 3x ̂+ 5x -H1 entre el cociente de x - 1 
X - 1
A) 2x + 1 
D) 2 + 3x
B)x - 2 
E ) 2 x - 1
O x - 3
76. Un polinomio mónico de tercer grado es divisible 
por {x + 2) y por (x - 1 ), además al ser dividido por 
(x + 4) resultó como resto 10. Calcule el resto de 
dividir dicho polinomio entre (x+1) .
A ) - 8 8 ) - 3 O O
D)3 E)6
77. De un polinomio mónico de séptimo grado P(x) se 
conoce que 3 de sus raices que son 2; -1 y -3 ;
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además es divisible por (x ̂+ 1) y (x - 4). Determi­
ne el residuo de dividir P(x) entre x, si la suma de 
coeficientes de P(x) es 96.
A) 4 B)8 C)24
0)48 E)60
78. Si el polinomio: P(x) = x̂ + ax
es divisible por (x ̂- x); halle el valor de
C) -5
5x“̂ - bx + o 
a - b
A) -1 
D) -6
B) ~3 
E) -7
2c + 1
■7ÍX ei -V j -j- x^®+(x^-x)^^+5x^-hx^-H2x 79. El residuo de dividir:------- '----------
X - x + 1
tiene la forma ax + bx -h c, halle:, a + b - 1
A) -1 
D) 3
8)2
E) - 5
c
C) -1/4
80. Dado P(x) = x ̂+ bx ̂+ mx + 6, s¡ P(x) es divisible 
por (X + 1 ) y (X + 2), halle:
A) -2 
D) -1
5 
8)4
E) 1/5
C) -3/5
1, D 11. D 21. C 31. C 41. C 51. C 61 .B 71. 8 i
2. C 12. D 22. E 32. A 42. B 52. C 62. B ?2. A i
3. D 13. E 23. D 33. C 43. C 53 E 63. g 73.B :
4. D 14. D 24. E 34. D 44. E 54. B 64. A 74; g I
5. D 15. C 25. C 36. A 45. E 55. <? 65. C 75. E í
6. C 16. E 26. B 36. A 46. C 56. A m .A 76. A i
7. e ,17. B 27. D 37. E 47. A 57. B 67 . A 77. C ;
8. D 18. D 28. A 38. E 48. D 58. 0 68. B 78. D J
9. B 19. B 29. C 39. A 49. B 59. B 69. A 79. C 1
10. E 20. C 30. C 40. A 60. A 60. B ?0. E s a o i
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