Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (31)

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Factorízacíón
Jean-Robert Argand nació el í8 
de julio de 1768 y m urió el 13 de 
agosto de 1822. Fue un contable 
y un talentoso m atem ático au to ­
didacta francés, nacido en Suiza, 
que describió en 1806. mientras 
atendía una tienda de libros en 
París, la representación geom é­
trica de los núm eros complejos, 
publicando la idea de lo que se 
conoce com o plano de Argand.
Su formación y la educación que 
recibió son -e n su m ayoría- des­
conocidas.
Argand se trasladó a París en 
1 8 0 6 junto con su familia y, 
mientras trabajaba en una libre­
ría. publicó a sus expensas su 
Essai sur une manière de repré­
senter ¡es quantités imaginaires 
dans ¡es constructions géométri­
ques (Ensayo sobre una forma de 
representar las cantidades imaginarias m ediante construcciones geométricas). El ensayo dis­
cute un m étodo de representación gráfica de los números complejos a través de la geometría 
analítica. Propone la interpretación del -calor «i» como una rotación de 90 grados en el plano 
coordenado. llamado para este fin plano de Argand. En este ensayo también se propone por 
vez primera la idea de módulo para indicar la magnitud de los vectores y los números com ple­
jos, así com o la típica notación para los vectores con una flecha horizontal sobre las letras que 
señalan sus extremos. También es reconocido por ofrecer una prueba del teorema fundamental 
del álgebra.
Fuente: Wífeipedia
Francia, (822
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^ DEFINICIÓN
Es la transformación de un polinomio en la multiplica­
ción indicada de dos o más polinomios primos dentro 
de cierto campo de números.
M(x)N(x) = P(x) 
M(x)N(x)
Multiplicación 
Multiplicación indicada
^ POUNOMIO PRIMO
Es aquel polinomio de grado mayor que cero que no ad­
mite ser transformado en multiplicación indicada. Tam­
bién se dice de aquel polinomio que es divisible entre 
si mismo y cualquier constante de un cierto campo de 
números.
Ejemplos:
2x + 3 Es primo en E, C.
• - 5 Es primo en ©.
No es primo en IR.
x̂ - X + 1 Es primo en ®, IR.
No es primo en C.
Generalmente se ha de trabajar en los racionales, Pero 
debe tenerse en cuenta lo siguiente;
P(x) = (x̂ + 1)(x' - 3)(x + 4)(x -2), está factorizado 
en (G.
P(x) = (x' + 1)(x -i- /3)(x - /3)(x + 4)(x - 2), está 
factorizado en E.
P(x) = (x i)(x - i)(x -H /3 )(x - /3 ){x 4- 4)(x - 2), está 
factorizado en <E.
MÉTODOS DE FACTORIZACIÓN 
Método del factor común por agrupación
Consiste en agrupar los términos de un polinomio de 
dos en dos o tres en tres, de tal manera que se obtenga 
un mismo factor
Ejemplos:
1. Factorizar:
P{a; b) = b(â -i- a -i- 1) -f a(b ̂-h b + 1) a' + 
Resolución:
Efectuando las operaciones indicadas:
P(a; b) = ba ̂+ ab b ab' + ab + a -f â -(- b̂ 
P(a; b) = a ' -I- 2ab + b̂ + ba' -i- ab ̂+ a + b 
Agrupando de la manera indicada se tendrá:
P(a; b) = (a -H b)̂ + (a -t- b) + ab(a + b)
Extrayendo factor común (a + b):
P(a; b) = (a -h b)((a -i- 1) -i- b(a + 1)]
Factorizado en el corchete;
P(a: b) = (a + b)(b + 1)(a + 1)
2. F a c t o r i z a r :
A(x; y) = x' -I- x®y -i- xV + xY + x Y + + x f + f
Resolución:
A g r u p a n d o c o n v e n i e n t e m e n t e :
A ( x ; y ) = x ^ + x ® y + x V 4 - / y ^ - i - x Y + - h x y ® + y '
A ( x ; y ) = x ® ( x - t - y ) + x V ( x + y ) + x ^ y “ ( x + y ) + f ( x + y ) 
E x t r a y e n d o f a c t o r c o m ú n ( x - i - y ) :
A { x ; y ) = ( x -H y ) ( x ® + x “ y ^ - h x ' y ' * - i - y ® )
A ( x ; y ) = ( x + y ) [ x ‘ ( x ^ + y ' ) + y ^ ( x ' + / ) ] 
E x t r a y e n d o d e l c o r c h e t e e l f a c t o r : ( x ' - i - f )
L u e g o ; A ( x ; y ) = ( x + y ) ( x ^ + y ' ) ( x “* - i - y ' ’ )
3. Factorizar;
J{x; y; z) = x ^ - xyz' + x'y^ x‘ yz + yz - 
zx 4- XZ
Resolución:
A g r u p a n d o e n f o r m a c o n v e n i e n t e :
J ( x ; y ; z ) - x y ( x ' - z ' ) + y ' ( x ' - z ' ) - y z ( x ' - z ' ) -
x z { x ' - z ' )
E x t r a y e n d o f a c t o r c o m ú n : ( x ^ - z ^ ) ;
J { x ; y ; z ) = ( x ' - z ^ ) ( x y 4 - f - y z - x z )
J ( x : y ; z ) = ( x 4 - z ) ( x - z ) { x ( y - z ) 4 - y ( y - z ) j 
E x t r a y e n d o f a c t o r c o m ú n ( y - z ) :
J ( x : y ; z ) = { x + z ) { x - z ) ( y 4 - x ) ( y - z )
F a c t o r i z a r :
E ( a : b ; c ) = a " ’ b - a ‘* c 4 - a ^ b ^ - a ^ b c - a b c ^ 4 -
ac‘* - b'c^ be"
Resolución:
E x t r a y e n d o l o s f a c t o r e s ; { a “ ) , ( a ^ b ) , ( a c ^ ) y ( b c ^ ) 
E { a ; b ; c ) = a ^ C b - c ) + a ^ b ( b - c ) - a c ^ ( b - c ) -
b c ^ ( b - c )
E x t r a y e n d o f a c t o r c o m ú n { b - c ) :
E ( a ; b ; c ) = ( b - c ) ( a “ 4 - a ^ b - a c ^ - b e ’ )
E { a ; b ; c ) = { b - c ) [ a ’ { a 4 - b ) - c ^ ( a 4 - b ) ]
E ( a ; b ; c ) = ( b - c ) ( a ^ - c ^ ) ( a 4 - b )
D e s a r r o l l a n d o l a d i f e r e n c i a d e c u b o s :
E { a ; b ; c ) = ( b - c ) ( a - c ) ( a ' 4 - a c 4 - c ' ) ( a 4 - b )
5 . F a c t o r i z a r ; S ( a ; b ; x ; y ) = a b ( x 4 - y ) ^ 4 - x y ( a - b ) '
Resolución:
D e s a r r o l l a n d o l o s b i n o m i o s a l c u a d r a d o s e t e n d r á ; 
S ( a : b ; x : y ) = a b ( x ^ j - 2 x y 4 - / ) + x y ( a ^ - 2 a b 4 - b ^ ) 
E f e c t u a n d o :
S ( a ; b ; x ; y ) = a b x ' 4 - 2 a b x y 4 - a b y ' a ' x y -
2 a b x y -I- b ^ x y 
S ( a ; b : x : y ) = a x { b x - h a y ) 4 - b y ( a y 4 - b x ) 
F i n a l m e n t e e x t r a y e n d o f a c t o r c o m ú n ( a y 4 - b x ) : 
S ( a : b : x ; y ) = ( a y 4 - b x ) ( a x + b y )
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6 , F a c t o r i z a r :
Q ( a : b ; c ) = a ^ b ^ c + b c ^ - a b c ^ - a b ^ + b ^ c +
a^bc ̂- ac^ - ab^c
Resolución:
A g r u p a n d o c o m o s e i n d i c a :
Q ( a ; b ; c ) = a ^ b ^ c + b c ^ - a b c ^ - a b ^ + b ^ c +
a^bc ̂- ac ̂- ab^c
S e o b t e n d r á :
Q ( a ; b ; c ) = a b c ( a b - c ) - b c ( a b - c ) -
b ^ { a b - c ) + a c ^ { a b - c ) 
E x t r a y e n d o e l f a c t o r c o m ú n { a b - c )
Q ( a ; b ; c ) = ( a b ~ c ) [ a b c - b e - + a c ^ ]
F a c t o r i z a n d o e n e l c o r c h e t e :
Q ( a ; b : e ) = { a b - c ) [ b { a c - b ) + c ( a e - b ) ]
Q ( a ; b ; e ) = ( a b - e ) ( a e - b ) ( b + c )
7 . F a c t o r i z a r :
R ( x ; y ; z ) = x y z + ( x y z ) ’ ^ + ( x y z ) ® ( x ^ + y ^ + z ' ) +
( x V ) + y V + z V
Resolución:
T r a n s f o r m a n d o i a e x p r e s i ó n s e t e n d r á :
R(x; y; z) = xyz + x ’^ y ' + x ’Vz® + x®y’ ẑ® +
x Y z ’ 3 x ' y ' + y V + z V
L u e g o d e a g r u p a r d e i a m a n e r a i n d i c a d a :
R ( x ; y ; z ) = x y ( z + x V ) + x V z ' ^ ( z + x V ) +
z ® x ^ ( z + x ^ y ^ ) + y ’ z ® ( z + x ® y ® ) 
E x t r a y e n d o e l f a c t o r c o m ú n ( z + x V ) :
R ( x ; y ; z ) = (2 + x V ) ( x y + x V z ’ ^ + x V + y V ) 
R(x; y ; z ) = ( z + x V ) [ x { y + x V ) + y V ( y + x V ) J 
R { x ; y ; z ) = ( z + x V ) ( y + x V ) ( x + y ® z ® ) ]
Método de las identidades
P a r a e s t e c a s o s e u t i l i z a r á l o s p r o d u c t o s n o t a b i e s e n f o r ­
m a i n v e r s a ; e n t r e l a s m á s i m p o r t a n t e s y a c o n o c e m o s :
( g 2 n _ ^
( a ' " + b ' " ) = ( a " + b ' ’ ) ( a ^ ' ' - a " b " + b ^ " )
( a ^ " - b ' " ) = ( a " - b ' ’ ) ( a ^ ' ’ + a ' ' b " + b ^ " )
( a ^ " ± 2 a " b " + b ^ " ) = ( a " ± b " ) ^
Ejemplos:
1 . F a c t o r i z a r :
D ( a ; b ; c ; d ) = b ^ + c ^ - a ^ - d ^ + 2 a d + 2 b c 
Resolución:
A g r u p a n d o e n l a f o r m a i n d i c a d a :
D ( a ; b ; c ; d ) = ( b^ + c ^ + 2 b c ) - { a ^ - h d ^ - 2 a d )
L u e g o s e t e n d r á :
D ( a ; b ; c ; d ) = ( b + e ) ^ ~ ( a ~ d f
P o r d i f e r e n c i a d e c u a d r a d o s :
D ( a ; b ; c ; d ) = ( b + c + a - d ) ( b + c - a + d )
2 - F a c t o r i z a r :
A ( a ; b ) = a ^ + a * + a ^ b - b ^ - a b ^ - b ^
Resolución;
Extrayendo factor común (â ) de los 3 primeros y 
(-b^) de los úitimos.
A(a; b) = a (̂a -k 1 + b) - b̂ (b + a -h 1)
A(a; b) = (a + b + 1)(â - b̂ )
A(a; b) = (a + b + 1)(a + b)(a - b)
3. Factorizar:
N = X® - x" + 2x̂ - 1
Resolución:
Agrupando ios tres últimos términos;
N = X® - (x" - 2x̂ + 1)
N - x® - (x ̂- - (x̂ )̂ - (x" - l f
Desarroilando ia diferencia de cuadrados:
N = (x̂ + x̂ - 1)(x̂ -x ^ + 1)
4. Factorizar:
A(a: b; e) = (â + b̂ + ab) ̂- â b̂ - a V - b̂ ê
Resolución:
Agrupando los dos primeros sumandos y de los úl­
timos extrayendo factor común (-c^):
A{a; b; c) = (â + b̂ + ab + ab){â + b̂ + ab - ab) ~
c"(a ̂+ b̂ )
Simplificando:
A(a; b; c) = (â + b̂ )(â -h b̂ + 2ab) - ĉ {a* + b̂ )
( ¡ T b i ^
A(a; b; c) = (â + b̂ )((a + b)̂ - ĉ ]
A(a; b; e) = (â + b )̂(a + b + e)(a + b - c)
5. Factorizar:
M(x) = x= - x‘ - 2x' + 2x̂ + X - 1 
Resolución;
Agrupando en ia forma indicada:
M(x) = x \x - 1) - 2x {̂x - 1) + (x - 1)
Extrayendo factor común (x - 1):
M(x) = (X - 1)(x" - 2x' + 1)
M(x) - (X - 1){x^ - 1)^ = (x - 1)[(x + 1)(x - )̂f
Finalmente: M(x) = (x - 1)^(x + 1)̂
6. Factorizar: F(a; x) = ax(ax - 2) - (x̂ - 1) + a(2x - a) 
Resolución:
Efectuando el primer y último sumando:
F(a; x) = a V - 2ax - (x̂ - 1) + 2ax - â 
Reduciendo términos semejantes y agrupando: 
F(a; X) = â {x̂ - 1) - (x̂ - 1) = (x̂ - 1 )(â - 1) 
Desarrollando la diferencia de cuadrados:
F(a; X) = (x + 1)(x - 1)(a + 1)(a - 1)
7. Factorizar:
P(a; b; c) = (a“ + â b̂ + b*)̂ - a^b' - b-e“ - c“a‘
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Resolución:
Transformando la expresión;
P(a; b; c) = (a“ + + b“}̂ - (a^b^ - c‘ (a ̂+ b‘ )
Diferencia de cuadrados 
P(a; b; c) = (a“ + 2a^b ̂+ b“)(a* + b“) - c^ía“ + b*) 
Extrayendo e! factor común (a“ + b“);
P(a; b; c) = (a‘ + b*)[(a ̂+ b^)^- (ĉ )̂ ]
P(a; b; c) = (a“ + b̂ Kâ + b̂ + ĉ )(â + b̂ - ĉ )
8. Factorizar;
Q(x; y; z) = x(xy + - x̂ ) + y(xy + - / )
Resolución:
Efectuando se tendrá;
Q(x; y: z) = x^y + xẑ - x̂ + x / + yẑ - ŷ
Luego agrupar;
Q{x; y; z) = xy(x + y) + (x + y) - (x + yKx̂ - xy + / ) 
Q(x; y: 2 ) = ( X + y)(xy + z ^ - x̂ + xy - / )
Q(x; y: z) = ( X + y)[z ̂- (x ̂- 2xy + / ) ] 
Q (x ;y ;z)-(x + y )[z ^ -(x -y )^ ]
Q(x; y; z) = (x + y)(z + x - y)(z - x + y)
9. Factorizar:
R(a; b; c) = (a + b)(b + c)(c + a) + â + b̂ + ĉ - 2abc
Resolución:
De la identidad:
(a + b)(b + c)(c + a) = (a + b + c)(ab + be + ca) - abe 
En la expresión:
R(a; b; c) = (a + b + c)(ab + be + ca) - abe + â +
b̂ + ĉ - 2abc
R(a; b; c) = (a + b + e)(ab + be + ca) + â + b̂ +
ĉ - 3abc
Haciendo uso de la identidad;
â + b̂ + ĉ - Sabe = (a + b + c)(a^ + b̂ + ĉ -
ab - ac - be) 
R(a; b; c) = (a + b + c)(ab + be + ca) +
(a + b + c)(a ̂+ b̂ + ĉ - ab - ac - be) 
Simplificando se tendrá;
R(a; b; c) = (a + b + e)(â + b̂ + ĉ )
10. Factorizar; S(x) = x® + 2x̂ + x - 1 
Resolución:
Transformando ta expresión dada:
S(x) = X® + x̂ + x̂ - 1 + X
Desarrollando la diferencia de cubos:
S(X) = x(x" + X ̂ + 1) + {X - 1)(x' + X + 1)
S(x) = x(x ̂+ X + 1)(x ̂- X + 1) + (x - 1)(x ̂+ x + 1)
Extrayendo el factor común (x̂ + x - 1);
S ( x ) = ( x ^ + X + 1 ) [ x ^ - x ^ + X + X - 1 )
S(x) = (x̂ + X + 1)(x̂ - x̂ + 2x - 1)
Método de las aspas
Método del aspa simple: se utiliza para factorizar tri­
nomios de la forma general;
P(x; y) = ax "̂’ + b x V + c /"
Ouando: m = 1 a n = 1; P(x; y) = ax ̂+ bxy + cy 
SI: m = 1 A n = O =» P(x; y) = ax ̂+ bx + c
El método consiste en descomponer los términos ex­
tremos, de tal manera que al sumar los productos en 
aspa nos reproduzca el término central. Los factores se 
escribirán horizontalmente.
Ejemplos:
1. Factorizar: F(x) = 8x ̂- 22x + 15 
Resolución:
F(x) = 8x ̂ - 22x+ 15
4x -5
L_ ------ 22x
2x
-lOx
1 2 i
.. F(x) = (4x - 5)(2x - 3)
2. Factorizar: F(x) = 7x ̂+ 29x - 36 
Resolución:
_ 7x̂ + 29x - 36
7x
X
36 36x
-1 -7x
29x
F(x) = (7x + 36)(x- 1)
3. Factorizar; F(x) = abx^ + (a ̂+ b^)x + ab 
Resolución:
F(x) = abx^ + (a ̂+ b )̂x + ab
b̂ x
â x
(a ̂+ b )̂x
F(x) = (ax + b)(bx + a)
4. Factorizar; P(x; y) = 8x® + 215xV - 27y® 
Resolución:
8x® + 215xV - 27y'
í -y
+27y' +216xV
■ 215xV
Luego; P(x; y) = (8x ̂- y^)(x" + 27y^) 
Desarrollando la suma y diferencia de cubos;
P(x; y) =(2x - y)(4x̂ + 2xy + ŷ )(x + 3y)(x̂ - 3xy + 9ŷ )
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