Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (32)

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Factorizar; R(x; y) = (a ̂- a)x ̂- (3a - 5)xy - 1 0 / 
Resolución:
Como la expresión tiene la fomia general: 
a(a - 1)x ̂- (3a - 5)xy - iOy^
t _ _K„ -5 {a -1 )x y
2axy
 (3a - 5}xy
Luego: R(x; y) = (ax - 5y)[(a - 1)x + 2yl 
Factorizar; P(x) = x® - 3x^ - x̂ + 1
Resolución:
Ordenando el px)i¡nomio: 
x' - (2x^ + x )̂ - (x ̂- 1 )
- ( x ' + X + 1)
( x - 1 )
- X * - X"
-{2x^ + x )̂
Luego; P(x) = (x ̂- x̂ - x -1)(x^ + x - 1)
Aspa doble: se utiliza para factorizar polinomios que 
adoptan la siguiente forma;
Ax^" + bx''y'' + cy^" + dx" + ey" + f
El método consiste en descomponer todos los términos 
que produzcan aspa de tal manera que la suma de la 
multiplicación en aspa nos compruebe cada uno de los 
términos del polinomio. Si faltará algún ténnino se le 
completará con ceros, los factores se toman iiorizon- 
talmente.
Ejemplos:
1. Factorizar: E(x; y) = 3x ̂+ 4xy + ŷ + 4x + 2y + 1 
Resolución:
E(x; y) = 3x ̂+ 4xy + / + 4x + 2y + 1
Comprobaciones:
I. (3x)y + x(y) = 4xy
II. y(1) + y(1) = 2y
III. (3x)(1) + (x )(1 )-4x
E(x; y) = (3x + y + l)(x + y + 1)
Factorizar; S(x; y) = 9x ̂+ 11xy + 2ŷ + 26x + 5y - 3 
Resolución:
S(x; y) = 9x^ + 11xy + 2y^ + 26x + 5y - 3
Comprobaciones;
I. (9x)y + 2y(x) =11xy
II. (2y)3 + y(-1) = 5y
III. (9x)3 + (-1)(x) = 26x
S(x; y) = (9x + 2y - 1)(x + y + 3)
3. Factorizar: A(x; y) = 2x̂ + 7xy - 1 5 / - 6x + 22y - 8 
Resolución:
A(x; y) = 2x ̂+ 7xy - 1 5 / - 6x + 22y - 8
A(x; y) = (2x - 3y + 2)(x + 5y - 4)
4. Factorizar;
B(x; y) = 30x^ + 2xy - 4 / + 47x - 12y + 7
Resolución:
B(x; y) = 30x ̂+ 2xy - 4 / + 47x - 12y + 7
B(x; y) = (6x - 2y + 1)(5x + 2y + 7)
5. Factorizar: C(x; y) = lOx^ - 17xy + 3 / + 5x - y 
Resolución;
C(x; y) = lOx^ - 17xy + 3 / + 5x - y + O
2x ̂ " ' A ^ 3 y - 
C(x; y ) - ( 5 x - y ) ( 2 x - 3 y + 1)
6. Factorizar: E(x; y) = 21xy - 39y ̂+ 56x - 92y + 32 
Resolución:
Completando el polinomio;
E(x; y) = Ox̂ + 21xy - 3 9 / + 56x - 92y + 32
••• E(x;y) = (7 x -1 3 y + 4)(3y + 8)
7. Factorizar;
R(x; y) = 12x' + 10xy - 1 2 / + 11x + 36y - 15 
Resolución:
R(x; y) = 12x" + lOxy - 12y ̂+ 11x + 36y - 15 
4x<-------- 6 y ^ ^—♦ - 3
3x -2y~
R(x; y) = (4x + 6y - 3)(3x - 2y + 5)
Método del aspa doble especial: se utiliza para factori­
zar polinomios que adopten la siguiente forma;
P(x; y) = ax*"’ -i- bx*'^ +cx^"'/" + dx̂ y®" + ey*'’
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El método consiste en descomponer los términos ex­
tremos de tal manera que la suma, de la multiplicación 
en aspa nos de un valor igual o aproximado al término 
central, la cantidad fáltente se agregará descompuesta 
de tal manera que se compruebe cada uno de los tér­
minos del polinomio.
Ejemplos:
1. Factorizar: E(x) = x" + 5x ̂+ 9x ̂+ 11x + 6 
Resolución:
E(x) = / + 5x ̂+ 9x ̂-I- 11x + 6
X
Se tiene:
Se debe tener:
5x^
9x^ í(-
Se necesita: 4x"
Los factores serán:
E(x) = (x ̂+ 4x + 3)(x ̂+ X + 2) 
x - v ^ ^ 3 
x ^ ^ ^ 1
E(x) = ( X + 3)(x -I- 1)(x ̂+ X + 2)
2- Factorizar: F(x) = x‘ + 7x^ + 19x ̂+ 36x + 18 
Resolución:
F(x) = x" 7x ̂+ 19x ̂+ 36x + 18
Se tiene:
Se debe tener:
9x"
19x^ ! ( - )
Se necesita: lOx^
F(x) = (x ̂+ 5x + 3)(x^ + 2x + 6)
3. Factorizar B(x) = x“ - x̂ - x̂ + 4x - 2 
Resolución:
B(x) = x‘ - x̂ - x̂ + 4x - 2
> r : ( l l i ) í ( i i )
Se tiene:
Se debe tener:
x̂
- x ' t ( - )
Se necesita: 2x^
B (x) = {x^ - 2x + 2){x^ + X - 1)
4. Factorizar: C (x) = x* + 2x^ + x^ + 4x + 4 
Resolución:
C (x) = x ' -H 2x^ + x^ + 4 x + 4
, ( iC d i 'O i i ) .
x V ^ ' ^ - x - ^
í ( - )
Se tiene: 4x
Se debe tener:_______^
Se necesita: -3x^
Luego: C(x) = (x̂ + 3x + 2)(x ̂- x + 2)
C(x) = (X + 1)(x + 2)(x ̂- x + 2)
5, Factorizar: D(x) = x" - 2x ̂- lOx^ + 5x + 12 
Resolución:
D(x) = x" - 2x ̂- lOx^ + 5x + 12 
x ^ ^ ' ^ - 3 x / ' ' ^ - 4
Se tiene: -7x^
Se debe tener; -lOx^ I H
Se necesita: -3x"
Luego; D(x) = (x̂ + x - 3)(x^ - 3x - 4) 
D(x) = (x ̂+ X - 3){x - 4)(x + 1)
6, Factorizar; H{x) = x" + 2x^ - 4x^ + 8x - 32 
Resolución:
H(x) = x" + 2x ̂- 4x" + 8x - 32
( i n ( i i i ) : j n (
x ^ > ^ '% . 0 x / ^ '^ 4
Se tiene:
Se debe tener;
-4 x '
-4x^ t( -
Se necesita; Ox
Luego: H(x) = (x ̂+ 2x - 8)(x^ + 4)
H(x) = (X + 4)(x - 2) (x ̂+ 4)
Factorizar;
P{x; y) = ex" - xV - 13xV + 5xy ̂+ 3y* 
Resolución:
P(x; y) = 6x* - x^y - 13xV + 5 x / + 3y"
-2xy 
xy
Se tiene: -llx^y^ ♦
Se debe tener; -13x^y^ ^
Se necesita: -2 x V
Luego: P{x; y) = (3x ̂- 2xy - y"){2x^ + xy - 3 /)
Factorizando cada paréntesis por aspa simple:
A P(x; y) = (3x + y)(x -yf (2x + 3y)
Factorizar; Q(x) = x® + 5x® - Sx“* + 5 x ^ -6
Resolución:
Q(x) = X® + 5x® - 5x“ + 5 x ^ -6 
/ - 6
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Se tiene: -5x"
t ( - )Se debe tener: -5 x 
Se necesita: Ox'*
Luego: Q(x) = (x ̂+ 5x^ - 6)(x“ + 1)
=^Q(x) = (x' + 6)(x^ - 1)(x^ + 1)
Q(x) = (x' + 6)(x + 1)(x - IXx-* + 1)
9. Factorizar:
R(x) = a(a - 1 )x" + {2â - a + 1 )x ̂+ (3â - 2) x' + 
(2â + a + 1)x + a(a + 1)
Resolución:
R(x) = a(a - 1 )x" + (2a' - a + 1 )x’ + (3a' - 2)x ̂+ 
(2a ̂+ a + 1)x + a(a + 1)
(a - 1 )x 
(a + 1)x
(a + i:
Se tiene: â x̂ + (â - l)x ' = (2â - 1)x'
Se debe tener: (3â - 2)x'
Se necesita: (â - 1)x
Luego.
R(x) = [ax̂ + (a - 1)x + (a + 1)][(a - 1)x̂ + (a + 1)x + a]
Método de los divisores binómicos: se utiliza para 
factorizar polinomios que aceptan como factores a bi­
nomios de la forma ax + b, basándose en el siguiente 
principio de la división algebraica.
Si el polinomio se anula para x = a, entonces un factor 
será (x - a).
I. Cero de un polinomio: es el valor o conjunto de 
valores que tienen la propiedad de anular (valor 
numérico cero) a un polinomio dado.
Por ejemplo: para P(x) = x̂ - 7x + 6
• Si: X - 1: P(x) = 1 - 7 + 6 = O
x = 1 es un cero de P(x)
• Si: X = 2: P(2) = 2̂ - 14 + 6 = O
X = 2 es un cero de P(x)
II. Forma de calcular los posibles ceros de un po­
linomio: se divide cada uno de >os divisores del 
término independiente entre los divisores del pri­
mer coeficiente (con su doble signo).
PC = Divisores del tennirxj independiente 
Divisores del coeficiente principal 
E je m p lo s :
1. Factorizar: E(x) = x̂ - 11x + 31x - 21 
Resolución:
PC = ± 1; i 3; “ 7 : = 21
a
1 0 - 1 6
2 i 2 4 6
: 1 2 3 0
E(X) - (X - 2 ) ( x ' + 2 x + 3)
Parax = 1: E(1) = 1' - 11(1) + 31(1) - 21 =0, se 
anula, luego tendrá un factor (x-1) , determinando 
el otro factor por Ruffini:
1 -11 31 -21
1 1 - 1 0 21
1 -10 21 O
Luego: E(x) = (x - 1)(x̂ - lOx + 21)
E ( x ) - ( x - 1 ) ( x - 7 ) ( x - 3 )
Factorizar: E(x) = x̂ - x - 6 
Resolución:
PC = ±1; ±2; ±3; - 6
Para x = 2: E(2) = (2)̂ - 2 - 6 = O, se anula, en­
tonces tendrá un factor (x - 2). luego por Ruffini:
Factorizar: B(x) = x + 5x“ -h 7x̂ 
Resolución:
PC = ±1; ±2; ±4
Para x = 1 = 8(1) = O 
X = -2 =* B(-2) = O 
X = -1 = B ('1 ) = O
Aplicando Ruffini 3 veces:
' 1 5 7 - 1 - 8
i 1 6 13 12
X - 8x - 4
- 2
- 1
-4
4
6 13
- 2 - 8
12 4
-10 -4
4
- 1
5
- 3
2
- 2
O
Luego B(x) = (x - 1)(x + 2)(x + 1)(x̂ + 3x + 2)
B(x) = (x - 1)(x +2)^(x + 1)"
Factorizar: E(x) = 2x^ + 3x ̂+ 3x + 1 
Resolución:
PC 1
- Í U 2 Í - 1
= + 1; » 1/2
se anula, entonces tendrá un factor (2x + 1),
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1 8 4 ■ C o l e c c ió n U n ic ie n c ia S a p ie n s 
Aplicando Ruffini:
2 3 3 1
-1 -1 -1
+2 2 +2 2 0
1 1
E(x) = (2x + 1)(x' + x + 1)
5. Factorizar: E(x) = 12x ̂+ 8x ̂- 3x - 2 
Resolución:
1,2PC = =
Para x =
1;2;3;4;6;12 
1 .
= ± l - l - l .
’ 2’ 3 "
se anula, entonces tendrá un factor (2x - 1). 
Por Ruffini:
12 8 -3 -2
X = 1/2 6 7 2
- 2 12 14 4 0
6 7 2
E(x) = (6x' + 7x + 2)(2x - 1)
2 X '- '" ^ ^ 1
E(x) = {3x + 2)(2x+ 1)(2x - 1)
6. Factorizar: E(x) = 12x ̂- 56x ̂+ 77x - 30 
Resolución:
^ p-,2;3;5;6-, 10;30
1;2;3;4;6;12
Para x = ^ se anula, aplicando Ruffini;
X = 2/3
12 -56
8
77
-32
-30
30
+3 12 -48 45 0
4 -16 15
Luego E(x) = (4x' - 16x + 15)(3x - 2} 
2 x - . , ^ ^ ^ -5 
2 x -'^ ^ * ^ -3
E(x) = (2x - 3}(2x - 5)(3x - 2)
7, Factorizar; P(x) = x̂ - x'* - 5x ̂- x̂ + 4x + 2
Resolución;
Los posibles ceros; PC = {±1; ±2}
Para X = 1: P(1) = f - f - 5 ( l f - f + 4(1) + 2 = 0, 
se anula, entonces tendrá un factor (x - 1).
Aplicando Ruffini:
-1 - 5 -1 4 2
1 l 1 0 - 5 - 6 - 2
0 - 5 - 6 -2 0
Luego P(x) = (x - 1)(x‘‘ + Ox̂ - 5x' - 6x - 2)
( i O ( i i i ) : j i i í
2x
P(x) = ( X - 1 )(x ̂- 2x - 2)(x + 1 f
8. Factorizar: P(x) = x^(3x + 1)̂ - (6x + 1) ̂- 15 
Resolución:
Desarrollando el binomio al cuadrado y dándole 
forma al primero:
P(x) = [x(3x + 1 )f - 36x" - 12x - 1 - 15 
P(x) = [3x' + x f - 12(3x^ + X ) - 16 
Haciendo; 3x" + x = a
P(a) = a' - 12a - 16 = a' + Oa' - 12a - 16 
Para a = -2 :
P(-2) = (-2 )' + (2)^0 - 12(-2) - 16 - O, se anula, 
entonces tendrá un factor (a + 2).
0 -12 -16
-2 -2 4 16
-2 -8 0
P = (a + 2)(a' - 2a - 8) = (a + 2)(a + 2)(a - 4);
Entonces; P = (a + 2 f (a - 4)
Reponiendo x; P(x) = (3x ̂+ x + 2)^(3x ̂+ x - 4)
3x 4
x - ^ ^ - 1
P(x) = (3x ̂+ x + 2) ̂(3x + 4)(x - 1)
< i fa c to ríz a c íó n re c íp ro c a o RECUBREME 
Polinomio recíproco
Es aquel que se caracteriza porque los coeficientes de 
los términos equidistantes de los extremos son iguales 
(en valor absoluto).
Ejemplos:
P(x) = ax* + bx ̂+ cx* + bx + a
(recíproco de primera especie) 
P(x) = ax“ + bx ̂+ cx ̂+ bx - a
(recíproco de segunda especie)
Reglas o pasos a seguir para factorizar este 
tipo de polinomios
Cuando el polinomio es de grado par;
Se extrae la parte literal del término central con su 
respectivo exponente.
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Se busca ta expresión base: x + o x - para
luego proceder a un cambio de variable y a par­
tir de ello deducir las expresiones derivadas tales 
como: x' + 1/x ̂: x̂ + 1/x̂ ; x* + 1/x'*. etc.
Escrita la expresión en función del cambio de va­
riable, esta se factorízará por los criterios antes 
estudiados. Es necesario tener en cuenta las si­
guientes relaciones:
Si: X + -í- = m
X
X + -¡r = m - 3m 
x̂
x'* + -^ = m‘ - 4m' + 2
X
Si; X !- = mx
x' + _L = m' + 2 
x
x + -V = m + 3m 
x̂
X* + _L = m‘ - 4m' + 2
x
Cuando el polinomio es de grado impar:
Tiene la propiedad de anularse para x = 1 o x = -1 
implica entonces que aceptaran como uno de sus 
factores a (x - 1 ) o {x + 1 ),
Por Ruffini se deduce el otro factor que también 
será recíproco y de grado par, que se factorízará 
utilizando los pasos del caso A.
Ejemplos:
1. Factorizar: M(x) = 8x“ - 2x^ + 13x ̂ - 2x + 8 
Resolución:
Extrayendo x':
2M{x) = x‘ 
M(x) = x‘
8x - 2x + 13 - - +-!%
X x*’
- 2 ( x + 1 ) + 8(x ̂+ A ) + i 3
Haciendo: x + — =m ; x ^ + - ~ = m ^ - 2 
X x̂
M(x) = x^[-2m + 8(m^ - 2} + 13] 
M(x) = x"[8m" - 2m - 3] 
4 m ^ ^ - 3 
2 m ^ - ^ ^ + 1 
M(x) = x^(4m - 3)(2m + 1) 
Reponiendo x:
M(x) = x=
M(x) = X
M(x) = (4x' - 3x + 4)(2x^ + x +2)
x' 4(x + - ) - 3 2(x + l W 1
\ x l l XI
x̂ / 4x^ - 3x + 4 l 2x ̂+ x + 2\
l x \ x /
3(x + ^ ) ~ 4Íx' + + x̂ + ■
2, Factorizar:
R(x) = X® - 4x" + 3x" - 8x ̂+ 3x' - 4x + 1
Resolución:
Factorizando x̂ :
R(x) = x' x ' - 4x' + 3x - 8 + - - 4 + 4
R(x) = X- 
Haciendo:
X + 1 = t; - 2: x" + 4 = t' - 3t
X x ' x^
R = x^[3t - 4(t ̂ - 2) + t̂ - 3t - 8)] = x (̂t ̂ - 4t )̂
R = x¥(t - 4)
Reponiendo x:
R(x) = x=(x + I f ( x + l - 4 )
(x^+ 1)̂ (x ̂- 4x + 1)
x̂ X
R(x)= X -
R(x) = (x ̂+ 1)2 (x' - 4 x + 1)
3. Factorizar: P(x) = 3x® + 5x'' + 3x ̂+ 3x ̂+ 5x + 3 
Resolución:
Para x = - 1 , se anula, entonces tendrá un factor
(x+ 1 ).
Luego por Ruffini:
- 1
5 3 3 5 3
-3 -2 -1 -2 -3
~ 2 i 2 3 I O
P (x) = (X + 1)(3x" + 2 x ' + x^ + 2x + 3)
+5x
-X [ > ^ 1
Se tiene:
Se debe tener:
6x'
Se necesita: -5 x '
,-, P(x) = ( X + 1)(3x' + 5x + 3)(x ̂- x + 1 )
4, Factorizar:
F(x) = x’’ + 8x® + 17x‘ + 9x'’ + 9x ̂+ 17x ̂+ 8x + 1
Resolución:
Para x = -1 , se anula, entonces tendrá un factor 
(x+ 1 ).
1 8 17 9 9 17 8 1
-1 -1 -7 -10 1 -1 0 -7 -1
1 7 10 -1 10 7 1 0
F(x)- (x+1)(x® + 7x®+10x'--x^ + 10x̂ + 7x+ 1)
(a )
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