Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (33)

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a = X'
7x" + lO x - 1 + — + ^ + 4
'x>+ 1 ) + 7(x‘ + ^ ) + 1 0 ( x + i ) - 1
Haciendo:
X + 1 = a: x' + 4 = a' - 2; x' + 4r = a' - 3a
X x ^ x ^
a = x V - 3a + 7(â - 2) + 10a - 1]
a = x V + 7a' + 7a - 15)
Por Ruffini:
7 7 -15
1 8 15
8 15 0
a = x^(a - 1)(a^ + 8 a + 15) 
a = x^(a - 1)(a + 3 ) ( a + 5)
Reponiendo x:
a = x’ (x + l - l ) ( x + l + 3)(x + I + 5)
„3/ x ̂- X + 1 \/ x ̂+ 3x + 1 \/ x" + 5x + 1 '
En (I):
F(x) = (X + 1)(x" - x + 1)(x̂ + 3x + 1)(x^+ 5x+ 1)
« MÉTODO DE LOS ARTIFICIOS 
Cambio de variable
Mediante transformaciones u operaciones adecuadas 
se pueden lograr expresiones iguales para luego proce­
der a un cambio de variable o factorizar la expresión por 
los métodos ya estudiados.
Ejemplos:
1. Factorizar: F(x) = (x - 2)(x + 3)(x + 2){x - 1) + 3 
Resolución;
Agrupando y efectuando en la forma indicada:
F{x) = (x̂ + X - 6)(x" + X - 2) + 3
Haciendo: x̂ + x = a
F(a) = {a - 6)(a - 2) + 3
F(a) = (a" - 8a + 15) = (a - 3)(a - 5)
Reponiendo x: F(x) = (x̂ + x - 3)(x ̂+ x - 5)
2, Factorizar: M(x) = 1 + x(x -t- 1)(x + 2){x + 3) 
Resolución:
La expresión puede escribirse como.
M(x) = 1 + (x + 0)(x + 1)(x + 2)(x + 3)
M{x) = 1 + (x̂ + 3x)(x" + 3x + 2)
Haciendo: x̂ + 3x = m
M(m) = 1 + m{m + 2) = m̂ + 2m + 1 = (m + 1 )̂ 
Reponiendo x: M (x) = (x̂ + 3x + 1)̂
Factorizar:
F(x) = (x̂ + x)(x^ + 5x + 6) + (x̂ + 3x + 1)̂ + 1 
Resolución:
Expresando en su forma de factores al primer su­
mando:
F(x) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + (x̂ + 3x + i ; ' 1
Agrupando y efectuando en la forma indicada:
F(x) = (x̂ + 3x)(x' + 3x + 2) + (x' + 3x + 1 )̂ + 1
Haciendo; x̂ + 3x = t
F(t) = t(t + 2) + (t + 1 )̂ + 1 = 2t̂ + 4t + 2
F(t) = t{t + 2) + (t + 1)̂ + 1 = 2{t ̂+ 2t + 1)
F(t) = t(t + 2) + (t + 1)" + 1 = 2(t +
Reponiendo x: F(x) = 2(x" + 3x + 1)̂
4. Factorizar;
F(m; n) = {m + n + 1)“* - 5(m + n)̂ - 10(m + n) -1
Resolución:
Haciendo: m + n + 1 = p 
F {p )-p “ - 5 ( p - 1 ) ^ - 1 0 { p - 1 ) - 1 
F{p) = p“ - 5p ̂+10p - 5 - lOp + 10 - 1 
F(p) = p“ - 5p' + 4 - (p' - 1 )(p' - 4)
F(p) = t p + 1 ) ( p - 1 ) ( p + 2 ) ( p - 2 )
Reponiendo las variables m y n;
F(m; n) = (m + n + 1 + 1)(m + n -i- 1 - 1)
(m + n + 1 + 2){m + n + 1 - 2) 
F(m; n) = (m n + 2)(m + n)(m -h n + 3)(m -h n -1 )
Quita y pon o reducción a d ife rencia de cua­
drados
Consiste en sumar y restar una misma expresión en 
forma conveniente de modo tal que al hacer agrupa­
ciones, el objetivo, sea llegar a una diferencia de cua­
drados.
Ejemplos:
1. Factorizar: F(x) = sex'" + 15x ̂+ 4 
Resolución:
Utilizando el criterio del trinomio cuadrado perfec­
to;
F(x) = 36x" + 15x" + 4
rr
2(6x0
+ 9x'
(X)
(2) = 24x‘‘
Quitando y poniendo 9x̂ :
F(x) = 36x" + 15x ̂+ 4 + 9x̂ - 9x'
F(x) = 36x ̂+ 24x ̂+ 4 - 9x̂
F ( x ) = ( 6 x ^ + 2f - 9 x ^ = ( 6 x ^ + 2f - ( 3 x ) ^
F(x) = (6x̂ + 3x + 2)(6x ̂ - 3x + 2)
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2. Factorizar: F(m; n; p) = + 64p̂
Resolución:
Utilizando el criterio del trinomio cuadrado perfecto 
para detectar la expresión que falta: quitando y po­
niendo ISm^n'p':
F(m; n; p) = m̂ n“* + 64p'’ + 16m^n'p ̂ - 16m^n'p ̂
F(m; n; p) = (m'n^+ 8p̂ )̂ - (4mnp)^
F(m; n; p) = (m̂ n̂ + 4mnp + 8p^)(mV - 4mnp + 8p̂ )
3. Factorizar: P(x: y) = 49x“' + 25y" - 11xV 
Resolución;
Ordenando la expresión:
P(x; y) = 49x* - 11xV + 25y" 
Deduciendo la expresión que falta:
49x" - 11xV + 25y"
r ir
2(7x^) (x) (5 /) = 7 0 x V
Sumando y restando 70x^/
P(x; y) = 49x" - 11x̂ ŷ + 25y“ + 70xV - 70xV^ 
Reduciendo y agrupando en la forma indicada:
P(x: y) = 49x" + 70x̂ ŷ + 25y' - 81 x ' /
TCP
P(x; y) = (7x' + 5 /) ' - (9xy)^
Luego, por diferencia de cuadrados:
P(x: y) = (7x' + 5y" + 9yx)(7x^ + 5y' - 9xy) 
P(x: y) = (7x ̂- 9xy + 5/)(7x" + 9xy + 5 /)
Suma y restas especíales
Consiste en sumar y restar una expresión en forma 
conveniente de modo tal que se obtenga por lo general 
(x̂ + x + 1 ) o (x̂ - X + 1 ), ambos componentes de una 
diferencia o suma de cubos; en otros casos se puede 
buscar otro tipo de expresiones que conduzcan a la fac- 
torización del polinomio.
Ejemplos:
1. Factorizar: F(x) = x* + x + 1 
Resolución;
Sumando y restando x'
F(x) = x̂ + X + 1 + x̂ - x̂
F(x) = x V - 1) + (x̂ + X + 1)
F(x) = x (̂x -1)(x' + X + 1) + (x' + X + 1)
F(x) = (x̂ + X + 1)[x̂ (x - 1) +1]
.-. F(x) = (x' + x + 1)(x' - x '+ 1)
Otra forma: completando el polinomio para ello 
sumamos y restamos x'’ + x̂ + x̂ :
F(x) = x̂ + x'’ + x"' + + x + 1 - x“ - x̂ -
F(x) = x"(x' 4- x + 1) + (x̂ + X + 1) - x'(x' + X + 1) 
F(x) = {x ̂+ X + 1)(x ̂- x ̂+ 1)
2. Factorizar: F(x) = x + x - 1 
Resolución:
Sumando y restando x̂ :
F(x) = x̂ + x - 1 - x ^ + x̂ =
F(x) = x̂ (x̂ + 1 ) - (x̂ - X + 1 )
F(x) = x^(x + 1 )(x ' - X + 1) - (x^ - X + 1)
F(x) = (x ^ - X + 1)[x' (x + 1) - 11 
.-. F(x) =(x^ - x + 1)(x ̂+ x' - 1)
Otra forma: completando el polinomio sumando y 
restando x** + x® + x̂
x̂ + X - 1 + x'' + x̂ + x' - x“ - x̂ - x̂
Ordenando convenientemente y factorizando;
F(x) = X® - x" + x̂ + x"* + x' - x̂ + X - 1 - x̂
F (x ) = x^(x^ - X + 1 ) + x^(x^ - X + 1 ) - (x^ - X + 1 )
F (x ) = ( x ' - X + 1)(x^ + x^ - 1)
3. Factorizar: P(x) = x’“ + x® + 1 
Resolución:
Haciendo; x̂ = y => P(y) = ŷ + y' + 1 
Sumando y restando luego agrupando:
P(y) = / + y V l + / - / - / ( / - 1 ) + ( / + ŷ + 1)
Argand
P(y) - /{y - i)(y" + y + i) + (/ + y + i)(/-y + i)
P(y)-(y^ + y + 1)(y^-y + 1)
Reponiendo x:
P(x) = (x" + x̂ + 1 )(x® - x̂ + 1 )
P(x) = (x" + X + 1)(x" - X + 1)(x® - x ' + 1)
Otra forma: completando con x®, x". x̂
P(X) = x'“ + X® + X® + x" + x" + 1 - x® - x" - x" 
P(X) = x V + x̂ +1) + (x“ + x̂ +1) - x̂ (x“ + x̂ +1) 
P(x) = (X- + x' +1)(x® - x' + 1)
P(x) = (X̂ + X +1)(x^ - X +1)(x® - x̂ +1)
<4 FACTORIZACIÓN SIMÉTRICA Y ALTERNADA 
Polinom io s im étrico
Es aquel que se caracteriza porque ai intercambiar 
cualquier par de variables entre si no cambia de valor. 
Por ejemplo:
x̂ + ŷ + ẑ - 8xyz
Si: x - y X y
ŷ + x̂ + ẑ - 8yxz 
+ y3 + _ 8xyz
Polinom io alternado
Es aquel que se caracteriza porque al Intercambiar 
cualquier par de sus variables entre sí solo se altera 
su signo.
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Por ejemplo:
a'(b - c ) + b (̂c - a) + c (̂a - b)
Si: a = b
b (̂a - c) + a^(c - b) + c^{b - a) 
-b*(c - a) - (b - c) - c"(a - b) 
-{b^ (a - c) + a"{b - c) + c*(a - b)} 
El polinomio es alternado.
1. La suma, el producá y el <x)dente de dos 0)ípfe- 
siones simétricas cualesquiera debe ser eim^rica.
2. El producto de un polirKjmto simétrico «>n un pdi- 
nomlo alternado da otro {x)linomio alternado.
3. Si ur> pofinomio simétrico 8© anula para ur» de 
sus varíabies, también se artulará iQdas las 
demás variables.
4. Si un polirKwnio simétric» se mu\a p ^ una yaria- 
t^e igual a otra o su negativo entonces ^ arHjIa
todas las combinadones entre ettas.
Si el polinomio simétrico tiene 3 varíabies y se 
anuia para x = z. entonas un del poHrK^lo 
será (x - z) y los (^ros serán s^ún se indica en ̂ 
gráfico siguiente:
l
(z - y )
5. Las propiedades de tos potincrniios siméM«» son 
válidos también p ^ los pollrtomíos aMemados.
Pasos a seguir
1. Se d ^ c e » el rrarmomio es simétrico o ^ i
Se busca factores mcwipmios tiro ien íto cualqyteí 
variable igual a cera­
se iHiScan b s fa<^ores bir^omios^ haciendo im a . 
dable igual a otra o a su negativo.
Se t^ c e la e q u iv a le r la del pcMinomto y s s 
tos fMincipios de las identidades.
Ejemplos:
1. Factorizar: E(a; b; c) = (a - b) ̂+ (b - c f + (o - a f 
Resolución:
Si se intercambian “a" con “b" en el polinomio:
E'(a; b; c) = (b - a f + (a - c f + (c - b f = -E 
El polinomio solo cambia de signo, por lo tanto, es 
alternado.
Buscando monomios para ello hacemos: a = O 
-b^ + (b - c f + 0̂ ? O
Para buscar factores binómioos hacemos: a = b 
Luego:
(a - a f + (a - c f + (o - a f =» (a - c f - (a - c f = O 
Lo que implica que (a - b)es un factor del polinomio. 
Los otros serán: (b - c). (c - a)
(a - b)̂ + (b - c f + (c - a f s k(a - b)(b - c)(c - a) 
Para a = 1 A b = 2 A c = 3 tenemos:
-1 - 1 + 8 = k(-1){-1)(2) -> k = 3 
.-. E{a: b; c) = 3(a - b)(b - c)(c -a )
2. Factorizar:
M(a; b; o) = (ab + be + ac)^- a^b ̂- a V - b̂ ĉ 
Resolución:
Haciendo: ab = x; be = y; ac = z 
Reemplazando en la expresión:
M = (X + y + z) ̂- x ̂- -z^
Intercambiando x con z:
M = (z + y + x f - z ̂-y^ - x̂
El polinomio no se altera, entonces será simétrico.
Hacemos:
X = O =5 M = (y + z) ̂- ŷ - ẑ ^ O 
Hacemos:
X = - y ^ M = ( - y + y + z f + - ŷ - = O
Un factor será: (x + y)
V Los otros serán: (y + z), (z + x)
(X + y + z) ̂- y^ - x̂ - ẑ s R(x + y )(y + z) (z + x)
Para: x = 1 A y = 1 a z = 0 , tendremos:
8 - 1 - 1 = R(2)(1)(1) ^ R = 3 
Luego: M = 3{x + y )(y + z)(z + x)
Reemplazando: M = 3(ab + be)(be + ac)(ac + ab) 
I\/1 = 3abc(a + c) (b + a)(c + b)
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