Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (34)

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■ ■ ■ O P R O B L E M A S RESUELTOS
Q
Señalar la cantidad total de factores primos de: 
(a + d / - 2(b' + c^)(a + d)' + {b ̂-
Resolución:
(a + d)'' - 2(b^ + c^)(a + d) ̂+
Diferencia de cuadrados
Aplicando aspa simple:
(a + d)“' - 2(b^ + c ')(a + d ) ' + (b + c)^ (b - c ) '
-(a + d) ̂(b + c)
-{a + d)'[(b - c)2 + (b + c)̂ ]
-(a + d)̂ 2(b ̂+ c') ^ -2(b' + ĉ )(a + d̂ ) 
Tomando los factores en forma horizontal:
[(a + d)̂ - (b + c) l̂[(a + d)̂ - (b - c)̂ ]
Aplicando ia diferencia de cuadrados:
(a + d+ b + c)(a + d - b - c)(a + d + b - c)(a + d - 1? + c)
3.“1.' 2.°
Existen 4 factores primos
4,'
2. Factorizar P(x) = {x̂ + x' + x + 1)̂ - x̂ : indicando 
luego la mayor suma de coeficientes de los facto­
res primos encontrados.
Resolución:
Por diferencia de cubos tenemos:
P(x) = [(x^ + x ' + X + 1 ) - x][x^ + x ' + X + 1 ) ' +
{x ^ + + X + 1 ) X + x ' ]
Efectuando operaciones dentro de los corchetes y 
agrupando en la forma indicada:
P(x) = (x^+ x^+ 1)[x®+ 2 x V + X + 1) +
(x̂ + X + 1 )' + / + x(x ̂+ x + 1 ) + x̂ ] 
Agrupando los sumandos subrayados y extrayen­
do el factor común x̂ :
P(x) = (x̂ + x̂ + 1 )[x (̂x‘‘ + x̂ + 1 ) + 2x̂ (x ̂+ x + 1 ) + 
( x '+ x + 1)̂ + x (x '+ x + 1)1 
P(x) = (x^+ x^+ 1 )(xV + X + 1)(x^- x + 1) +
2 x V + X + 1) + (x '+ X + 1)^+x(x'+ X + 1)1 
Extrayendo el factor común: {x ̂+ x + 1)
P(x) = (x^+ x '+ 1)(x^+ x + 1 ) x V - X + 1) + 2x’ +
(x̂ + X + 1) x
Efectuando operaciones:
P(x) = (x ̂+ x̂ + 1 )(x ̂4- x + 1 )(x̂ - x H + 2x ̂4-
+ x + 1 + x )
P ( X ) = ( X ^ + X ^ + 1 ) { X ^ + X 4 - 1 ) ( x ‘ 4 - x U 2 x ^ 4 - 2 x + 1 ) 
L a m a y o r s u m a d e c o e f i c i e n t e s s e r á d e l t e r c e r 
f a c t o r , e s d e c i r : 1 4 - 1 + 2 4 - 2 + 1 = 7
3. Dar la cantidad de factores lineales de:
P(a) = a®x̂ - x̂ + a®x - X
Resolución:
P(a) = a®x̂ - x' + a®x - X
Tomando de 2 en 2 en la forma indicada;
P(a) = a®x{x + 1) - x{x + 1)
Extrayendo el factor común:
P{a) = (X + 1)(a®x - X )
P(a) = {x+1)(x){a® -1)
P{a) = x(x + 1)(a’ + 1){a^- 1)
Aplicando suma y diferencia de cubos:
P(a) = x(x+ 1)(a + 1)(a ̂- a + 1)(a - l)(a^ + a + 1) 
Buscando factores lineales, en función de "a" tene­
mos (a + 1)(a - 1).
Existen 2 factores lineales
4. 7x" - 6x + 1Dar el grado de un factor de: x'* + 6x ̂
Resolución: 
x " + 6x^ + 7x^ - 6 x + 1 
Aplicando aspa doble especial;
x^ + 6x^ + 7x^ - 6 x + 1 Balanceo
x \ - / 3 x \ , » - 1 = - x ^ SDT= 7 x '
3xf
{-)
- 1 = - x ' ST = -2 x '
-2 x ' Falta: 9x"
5.
6.
Tomando los factores en forma horizontal:
(x '+ 3x - 1){x"+ 3x - 1)
Señalar un factor primo luego de factorizar:
P(x) = x̂ + x® + X® + x“ + x̂ + x̂ + X + 1
Resolución:
Agrupando de la siguiente manera:
P(x) = x’ + X® + x H x'* 4 X̂ + x' + X + 1
P(x) = x®(x + 1) + x‘ (x + 1) + x^(x + 1) + (x + 1)
Extrayendo factor común:
P(x) = (X + 1)(x®+ x"+ x^+ 1)
P(x) = (X + 1)[x"(x' + 1) + (x' +1)1
P(x) = (X + 1)(x^+ 1)(xV 1)
Un factor primo es: x̂ + 1
Si P es un polinomio factorizable definido por: 
P(x) = x̂ + (b + c +2d)x + + (b + c)d + be
hallar un factor primo.
Resolución:
P{x) = x' + (b + c + 2d)x + d' + (b + c)d + be 
Factoricemos los términos (aspa simple): 
d̂ + (b + c)d + be = (d + b)(d + c)
d c
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Luego:
P(x) = + (b + c + 2d)x + (d + b)(d + c)
X ------------1 d + b
X ---------- Q
P{x) = (x + d + b)(x + d + c)
Un factor primo es: x + b + d
7. Si P es un polinomio factorizable definido por; 
P{x; y;z) = x̂ + x - / + y - z ^ - z + 2yz 
hallar uno de los factores.
Resolución:
P = x ^ + x - / + y - z ^ - z + 2yz 
P = x̂ + X + y -z - (ŷ + - 2yz)
P = x(x + 1) + {y - z) - (y - z f
X
X +
( y - z )
1 - z)
=» P = (x + y - z){x + 1 - y + z)
Uno de los factores de P es: x - y + z + 1
8. Si H es un polinomio factorizable definido por:
H(x; y; z; w) =
(X + y + z)(x + y + w)(x + z + w)(y + z + w) - xyzw 
hallar un factor primo.
Resolución;
H= (x + y + z){x + y + w)(x + z + w)(y + z + w )-
xyzw
Sea: x + y + z + w = a, entonces:
H = (a - w)(a - z){a - y)(a - x) - xyzw 
H= a" - (x + y + z + w)a^ + (xy + xz + xw
+ yz + yw + zw)a^ + (xyz + xyw + xzw 
+ yzw)a + xyzw - xyzw 
=> H = (xy + xz + xw + yz + yw + zw)a" +
M
(xyz + xyw + xzw + yzw)a 
N
^ H = a[(M)a + (N)]
H = (x + y + z + w)í(M)(x + y + z + w) + (N)]
Un factor primo de H es: x + y + z + w
9. Si E es un polinomio factorizable definido por:
E(x) = X® + 4x^ + 3x' - 2x - 1
hallar la suma de coeficientes de un factor
Resolución:
Apliquemos aspa doble, introduzcamos Ox̂ :
E(x) = X® + 4x* + 3x ̂+ Ox̂ - 2x - 1
^ E(x) = (x '+ 3x + 1)(x’ + X - 1)
S coeficientes de x̂ + 3x + 1 = 5
10. Si P es un polinomio factorizable definido por:
P(x; y) = x’° - y Y + x^y - xy' + x V - y’° hallar 
uno de sus factores primos.
Resolución:
P(x; y) = x’° - y V + x®y - xy® + x V - y’°
P(x; y) = x̂ (x® - y®) + xy(x® - y®) + y"(x® - f )
P(x; y) = (x®-y®)(x'+xy + / )
P(x: y) = (x̂ + y')(x' - y^(x' + xy + / )
P(x; y) = (X* + yO(x" + /)(x" - y')(x^ + xy + y*)
P(x; y) = (x" + y^(x^ + /)(x + y)(x - y)(x" + xy + / ) 
.-. Un factor primo de P es: x* + xy + ŷ
11. Si Q es un polinomio factorizable definido por:
Q(x; y) = 2x" + 1 -(4x^y + 6xV + 4xy ̂+ y'*) 
determinar un factor primo de Q.
Resolución:
Q = 2x̂ + 1 - (4xV + 6xV + 4xy ̂+ y*)
Q = x" + 2x" + 1 - (x" + 4xV + 6xV + 4xy’ + y") 
Q = (x'+ 1)2- (X + y)̂
Q = [x' + 1 + (x + y)'][x' + 1 - (X + y f ]
Q = (2x̂ + 2xy + ŷ + 1 )(-2xy - + 1 )
Un factor primo es: 1 - 2xy - y"
12. SiP(x;y;z) = 5(x' + y"-z')+ 10xy + 2(x + y + z)' +
2(x + y - z f
es un polinomio factorizable, hallar un factor primo. 
Resolución
P = 5(x̂ + / - ẑ ) + 1 Cbcy + 2(x + y + z)" + 2(x + y - z f 
P = 5(x" + y' + 2xy - ẑ ) + 2(x + y + z)2 + 2(x + y - z)2 
P = 5((x + y)' - ^ ] + 2(x + y + z f + 2{x + y - z f 
= 2(x + y + z f + 5(x + y + zXx + y - z) + 2(x + y - z f
2(x + y + z) ---- \ (x + y - z)
(x + y + z) —----- — ♦ 2(x + y - z)
P = (2x + 2y + 2z + x + y-zXx + y + z + 2x + 2y-2z) 
P = (3x + 3y + z)(3x + 3y - z)
Un factor primo es: 3x + 3y - z
13. Determinar el término independiente de uno de los 
factores primos del polinomio P si:
P(x) = (X + 1)(x - 3)(x + 4)(x - 6) + 38 
Resolución:
P(x) = (X* - 2x - 3)(x ̂- 2x - 24) + 38 
Haciendo: x" - 2x - 3 = a 
« P(a) = a(a - 21) + 38 = â - 21a + 38
a • " - ^ - * - 2
^ P(a) = (a - 19)(a - 2)
P(x) = (x̂ - 2x - 3 - 19)(x" - 2x - 3 - 2)
P(x) = (x̂ - 2x - 22)(x* - 2x - 5)
.'. El TI en un factor primo es -5.
14. Si P es un polinomio factorizable definido por;
P(x; y) = 4(x" + y - 1)̂ - (x* - 1)(2x ̂+ 3y - 2 f 
Señalar un factor primo.
Resolución:
P(x; y) = 4(x’ + y - 1)̂ - (x̂ - 1)(2x̂ + 3y - 2 f
P(x; y) = 4(x' - 1 + y)' - (x' - 1) [2(x' - 1) + 3y]'
Sea x̂ - 1 = a, reemplazando
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P = 4(a + y)̂ - a(2a + 3y)'
P = 4a’ 4- l2aV + 12a/ + 4 / - 4â - 12a^ - 9a / 
P = 3 a / + 4y ̂= y (̂3a + 4y)
Reponiendo "a"'
P{x: y) = /(3x^ - 3 + 4y)
Un factor primo de P es: 3x̂ - 3 + 4y
15. Dar el número de factores primos de la siguiente 
expresión:
P(x) = (X - a)̂ {b - c)̂ + (x - b) {̂c - a)̂ +
(X - c ) " ( a - b ) '
Resolución:
Realizando el siguiente cambio de variable; 
m = (x - aXb - c); n = (x - b)(c - a); p = (x - c)(a - b) 
m = bx - cx - ab + ac; n = cx - ax - be + ab 
p = ax - bx - ac + be 
Sumando:
m + n p = bx - cx - ab + ac + cx - ax - be + 
ab + ax - bx - ac + be 
m + n + p = 0; por identidad se cumple:
+ n̂ p'’ = 3mnp 
P(x) = 3(x - a)(b - c)(x - b)(c - a)(x - c)(a - b)
1.° 2 ° 3.“
Deben estar en función “x"
El N.° de factores primos es 3.
16. Factoriza e indicar un factor,
M(x; y: z) = x \ z - / ) + / ( x - z') + z (̂y - x") +
xyz(xyz - 1)
Resolución;
Efectuando operaciones con los últimos suman­
dos:
M(x; y; z) = x (̂z - ŷ ) + ŷ {x - ẑ ) + z {̂y - x') +
xyz(xyz - 1)
M(x; y; z) = x (̂z - y') + ŷ (x- z') -t-
z y - z x -I- X y z - xyz
Agrupando en la forma indicada:
M(x; y; z) = x (̂z - f ) + ŷ {x - z') - yz(x - z') -
xV(z - / )
M(x; y; z) - x'(z - /)(x - z') - y(x - z')(z - / ) 
Extrayendo factor común:
M(x; y; z) = (z - /)(x - ẑ )(x̂ - y)
Un factor será; x - ẑ .
17. Factorizar; M(x; y) = x® + 3y' - 4x’y + 2x̂ - 4y+1 e 
indicar un factor:
Resolución:
Ordenando el polinomio para aplicar un aspa doble: 
M(x; y) X® - 4x^ Sy'̂ + 2x" - 4y + 1
 "I
y —— —
M(x; y) = (x̂ - 3y + 1)(x̂ - y + 1)
Un factor es; (x̂ - 3y + 1 )
18. Indicar uno de los factores primos de la siguiente 
expresión:
H(x) = 13(x + l f {x - 1) - 4x" - (x - lf(x+1) -i- 4 
Resolución:
Agrupando en la forma indicada:
H (x ) = 13 {x 4- 1)^(x - 1) - (x - 1)’ ( x + 1) + 4
H (x ) = 1 3 (x + l f ( x - 1) - (X - 1 ) ' - 4 (x^ - 1) 
H (x ) = 1 3 ( x + 1 ) ’ (x - 1 ) - ( x - l f ( x - H ) - 4 (x->-1)(x - 1 )
Extrayendo el factor común (x -í- 1)(x - 1);
H(x) = (X + l)(x - 1)[13(x -!- 1)' - (X - 1)̂ - 4]
Reduciendo dentro del corchete:
H(x) = {X + 1)(x - 1)4(3x' + 7x + 2)
H(x) = 4(x + 1){x - 1)(3x + 1)(x + 2)
19. Indicar el número de factores primos en:
P(a; b; e) = (a + b)’’ + ĉ (a b)*“ - c‘‘{a + b)̂ - ĉ
Resolución:
Agrupando en la forma indicada:
P(a; b; c) = (a + b)̂ + c’{a + b)'* - c‘'(a -i- b)̂ - e' 
P(a; b; c) = (a + b)'’((a + b̂ + ĉ ] - c"[(a + b)̂ + ĉ ] 
Extrayendo el factor común:
P(a; b; c) = [(a + b)̂ + c ]̂[(a + b)" - c“]. 
Desarrollando:
P(a; b; c) = {a + b + c)(â + b' + ĉ -(- 2ab - ac -be) 
(â -(- b' + c' + 2ab)(a + b + c)(a + b - c) 
P(a; b; c) = {a + b + c)̂ (a + b - c)(â + + ĉ -i- 2ab)
1. 2.
(a' + b̂ c' -H 2ab - ac - be)
Número de factores primos; 4
20. Determinar el número de factores primos para eí 
polinomio P.
P(x)= X* + x̂ - x̂ + X +2 
Resolución:
+ X 1 = X^ -H X + 1 -H x̂ - x'
P{x) = x V - 1) + (x ' + X + 1) + (x" - x ' + 1) 
P(x) = x '(x - 1)(X^ + X +1)-(-(x ' + X-H l) + (x^ - x ' + 1 ) 
P(x) = (X^ + X + 1){x’ - x^ -f- 1 )+ (x^ - x" + 1 )
^ P (x) = (x^ - x ' + 1)(x^ + X + 2)
P tiene 2 factores primos.
21. Si P es un polinomio factorizable definido por:
P(x; y; z; w) = 2{x -f- y)̂ + {x 4- y)(z 4- w) + z(v/ - z). 
hallar un factor primo,
Resolución:
P = 2(x 4- y)̂ + (z 4- w/){x 4- y) 4- z(w - z)
2 (x t y) — __ w - z
(X + y)
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2{x + y)z + (x -t- y){w - z) = (z + w)(x + y)
=> P(x: y; z; w) = (2x + 2y + w - z){x + y + z)
Un factor primo es: x + y + z
22. ¿Cuántos factores primos lineales tiene el polino­
mio P, si: P(x) = (X + 2)'* + (x + 5)̂ - 6(x + 2) - 8
Resolución;
P(x) = (X + 2)' + (x + 5)2 - 6(x + 2) - 8
Haciendo: x + 2 = a
P(a) = a" + (a + 3)" - 6a - 8
P(a) = a“* + â + 1 = (a ̂+ a + 1)(a" - a + 1)
= P(x) = [(X + 2)2 + X + 2 + 1][{x + 2 f - (X + 2)+1] 
P(x) = (x2 + 5x + 7){x2 + 3x + 3)
P no tiene factores primos lineales,
23. Hallar ia suma de los factores primos del polinomio: 
P(x) = (2x2 _ 24(2x - 1)(x - 1)x
Resolución:
P(x) = (2x2 - 9x + 1)" + 24(2x - 1)(x - 1)x 
P(x) = (2x' - 9x + 1)2 + 24(2x2 - 3x + 1)x 
P(x) = (2x2 _ 3x + 1 _ 0̂ )2 + 4(2x̂ - 3x + 1)(6x) 
Como: (a - b) ̂+ 4ab = (a + b)"
« P(x) = (2x2 _
P(x) = (2x2 + ^ ^2x + 1)2(x + 1)̂
Factores primos: 2x + 1 a x +1
La suma de factores primos es: 3x + 2
24. Obtener la suma de los factores primos del polino­
mio P, definido por: P(x) = x2(a2 + b^x) + ab(x® + 1)
Resolución:
P(x) = x2(a2 + p2x) + ab(x® + 1)
P(x) = a2x2 + b̂ x̂ + abx ̂+ ab 
P(x) = bx'(ax2 + b) + a(ax2 + b)
P(x) = (ax2 + b)(bx^ + a)
Suma de factores primos; bx ̂+ ax" + a + b
m - 1 = 0 6 -11 + 1 +4
m = 1 i 6 -5 -4
25. Calcule el número máximo de factores algebraicos
en: F(a; b) = + b "̂ + (a® + b®)Y
6 -5 -4 0
Resolución: P(m) = (m - 1)(6m" - 5m - 4)
F(a; b) = [a2" + b"“ + (a® + b®)Y
Efectuando dos cambios: a® = x A b® = y 
F(x; y) = [x" + y V (x + y)"]"
F(x; y) = {x" + / + (x" + 4 x^ + Bx"/ + 4xy^ + y")]“ 
Reduciendo:
F(x; y) = [2x'‘ + 2y" + 4x^y + 6x Y + 4xy^]";
F(x; y) = [2(x" + y* + 2xV + Sx"/ + 2xy^)]‘' 
Agrupando en el corchete para aplicar un aspa do­
ble especial:
F(x; y) - 16(x- + 2x=y + 3xV + 2xf + ŷ )"
x2^
',+xy< = x Y 
2 xV
( - ) i
Balanceo:
SDT: 3x2y2
S T : 2x2y2
Falta:
F(x; y) = 16[(x2 + xy + /)(x2 + xy +
F(x: y) = 16[(x2 + xy + y2)2]"
=> F(x; y) = 16(x2 + xy + /)®
Sustituyendo sus variables originales:
F(a: b) = 16(a’2 + a®b® + b’")«
Por identidad trinómica:
F(a; b) = 16(a® + a'b' + b®)®(a® - a 'b' + b®)® 
Número máximo de factores algebraicos;
(8 + 1)(8 + 1) = 81
26. Factorizar el polinomio en E,
P(a) = (a ̂- 2)2 - a2l(a - 2 f - 5(a + 1)2(a - 1)"] 
señalar un factor.
Resolución:
P(a) = (a" - 2)2 - a'((a - 2)" - 5(a + 1) (̂8 - I)"] 
P(a) = (a ̂- 2)2 - a2((a ' 2 f - 5(a2 - 1)2]
Efectuando en toda la expresión:
P(a) = a® - 4a ̂+ 4 - a" [â - 4a + 4 - 5a* + lOa" - 5] 
P(a) = a® - 4a® + 4 - a“ + 4a ̂- 4a2 + 5a® - 10â + Sâ 
Reduciendo;
P(a) = 6a®- 11a" + a" + 4
Haciendo: â = m => P(m) = 6m® - Hm" + m + 4
Evaluando para m = 1;
P(1) = 6(1)^ - 11(1)2 ^ .̂,̂ 2 ^ 4 
=> P(1) = O (se anula)
En consecuencia un factor es (m - 1) y el otro fac­
tor lo hallaremos dividiendo por Ruffini, asi:
3m
2m
P(m) = (m - 1 )(3m - 4)(2m + 1)
Reponiendo fa variable original:
P(a) = (a2 - 1)(3a2 - 4)(2a" + 1)
P(a) - (a - 1)(a + 1)(;3a + 2 )(/3a - 2)( 23̂ + 1) 
Un factor es; a + 1
27. Factorizar;
F(x; y; z) = z V - y V + 2xz" - xyz + 2y"x + z - y
Resolución:
Agrupamos los sumandos y extraemos factor co­
mún de cada grupo:
F(x; y; z) = (z"x" - y"x") + (2xz" - xyz + 2 /x ) + z - y
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