Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (35)

Vista previa del material en texto

F{x; y; z) = x^z ’ ~ f ) + (2z ̂- yz + 2 / ) x + z - y 
Resolviendo por productos notables y aplicando un 
aspa simple:
F{x; y; z) - x'(2-y)(z'+yz+/)+(2z'-yz+2/)x+(z-y) 
x(z-y) 
x(z"+y2+ / ) .
F(x; y: z) - [x{z - y) + 1][x(z' + yz + / ) + z - y]
Efectuando operacior^es dentro de corchetes:
F(x; y; z) = (xz - xy + 1 )(xz ̂+ x / + xyz + z - y)
28. Factorice:
F(x; y; 2) = x(z - y f + y(z - x f + z(x - y f + 8xyz
Resolución:
Efectuando operaciones:
xz ̂- 2xyz + x / + yz' - 2xyz + yx' + zx ̂- 2xyz +
z / + 8xyz
Agrupando convenientemente:
xz' + x f + yz' + yx ̂+ zx' + z f + 2xyz
Extrayendo factor común:
x(z' + y' + 2yz) + yz(z + y) + x'(y + z)
x(y + z f + yz(z + y) + x'(y + z)
(y + z)[xy + xz + yz + x']
Agrupando convenientemente:
(y + z)[x(y + X ) + z(x + y)]
(y + z)(x + y)[x + z]
F(x; y: z) = (x + y)(y + z)(z + x)
Hay 3 factores primos: (x + y), (y + z), (z + x)
29. Factorice:
H(x; y; z) = 4x“+ 12x^ + 0 / - x V - 27yz^ - 18z“
Resolución:
Por aspa doble;
4x" + 12x'y + 0 / - x^z' - 27yz^ - 182*
x ' 3y — + 2z'
H(x; y; z) = (4x ̂ - 9z )̂(x ̂ + 3y + 2z')
H(x; y; z) = (2x + 3z)(2x - 3z)(x' + 3y + 2x')
Hay 3 factores primos; 2 lineales y 1 cuadrático.
30. El MCD de P y Q es x' - x - 6, donde;
P(x) = 2x" - 3x ̂+ x' + ax + b
Q(x) = 3x“ - 7x ̂+ mx+ n 
Halle: an + bm
Resoiución:
Por definición: P(x) (x̂ - x - 6) el resto es cero 
Por Horner:
2 -3 1 a b
2 12
6 -1 -6
12 72
2 -1 12 0 0
Entonces; a - 6 + 1 2 = 0=>a = - 6 
b + 72 = 0 ^ b = - 7 2 
También; Q(x) + (x' - x - 6) el residuo es cero 
Por Horner:
3 - 7 0 m n
1 3 18
6 -4 -24
14 84
3 -4 14 0 0
m - 2 4 + 1 4 = 0=» m = 10 
n + 84 = 0 = n = -84
Piden: an + bm = (-6)(-84)+(-72)(10) = -216
31. Factorice:
P(x; y; z) = x̂ + / + ẑ + x'y + x'z + / x + / z + z^x + zV
Resolución;
Agrupando convenientemente de 3 en 3;
P(x; y: z) = x'(x + y + z) + / ( y + x + z ) + z (̂z + X + y) 
Extrayendo factor común:
P(x; y; z) = (x + y + z)(x' + ŷ + z')
32. Factorice: P(x) = x® + 2x® + I3x‘ + 8x' + 36 
Resolución;
X® + 2x® + 13x ‘' + 8 x ' + 36 
x * - - . . J ^ 2 x ' ^ t ^ + 9 
x " O - - ^ ^ ^ + 4
13x* + Ox‘ = 13X“
(x* + 2x' + 9)(x* + 4)
Completando términos para volver a intentar aspa 
doble especial:
x"* + Ox̂ + 2x ̂+ Ox + 9 
+3
2 x - ^ ^ + 3
6x' - 4x' = 2x ̂
x“ + Ox̂ + Ox' + Ox + 4 
x ' ^ + 2 x ^ + 2 
x' - 2 x +2
4x' - 4x' = Ox'
P(x) = (x^+2x + 3)(x'- 2x + 3)(x' + 2x + 2Kx'-2x+2)
33. Se sabe que el producto de multiplicar el MCD y 
MCM de dos polinomios es (x® - x )̂ y además la 
suma de dichos polinomios es (x̂ + x̂ - 1). Halle 
el residuo de dividir el MCM de dichos polinomio 
entre x + 2.
Resolución:
Sean los polinomios A(x) y B(x)
Por teorema A(x) x B(x) = MCD x MCM 
Datos: MCD x MCM = x" - x̂
=» A(x) X B(x) = x* - x̂ ...(I)
Además:A(x) + B(x) = x' + - 1 ...(II)
D e(l)y(ll): A(x) = x ̂ B(x) - - 1
www.full-ebook.com
Luego, el MCM = x (̂x ̂- 1)
Piden el resto: x + 2
Por el teorema del resto: x + 2 = 0 = » x = - 2
R(x) = ( - 2 )'l(-2 )' - 1] = -24
34. Factorice: A{x; y) = 8x® - 19xV ~ 27y® 
Resolución;
Por aspa simple: 8x ̂ -27y^
X̂ +y^
A(x; y) = (8x ̂- 27y^){x ̂+ y")
Por suma y diferencia de cubos:
A(x; y) = (2x - 3yK4x" + 6xy + 9y")(x + y)(x" - xy + / )
35. Factorice: P(x; y) = 8x ̂- 12x"y + 6xy ̂- 65y ̂
Resolución:
PC = ±(1,2,5,13,65,1 
y por Rufñni:
8
i
-1 2 y
20y
6y^
2 0 /
- 65y' 
+ 65y^
8 8y 26y" 0
2
4 4y 13y"
P{x; y) = {2x - 5y)(4x' + 4xy + 13y")
36. Al factorizar: P(x) = (2x + 7c + d)(x + 3c) + cd - c" 
indique la suma de coeficientes de uno de sus fac­
tores primos.
Resolución;
Efectuando se tiene:
P(x) = 2x ̂+ x(13c + d) + 4c(5c + d)
2 x t ____{5c + d)
X —— • 4c
P(x) = (2x + 5c + d)(x + 4c)
Un factor primo es (x + 4c); la suma de coefi­
cientes es (4c + 1).
37. Factorice: P(x) = (x - a)(x - 3a)(x + 4a)(x + 6a) + 40a“ 
Resolución:
P(x) = (x" + 3ax - 4a")(x" + 3ax - 18a") + 403“
Hacemos x" + 3ax = z
Luego: (z - 4a")(z - 18a") + 40a*
Efectuando: z" - 22a^ z + 112a*
z - 14a"
z - 8a"
Reemplazando:
P(x) = (x' + 3ax - 14a')(x' + 3ax - 8a')
38. Factorice: P(x) = 9x® - SSx“ + 57x ̂- 1 
Resolución:
Artificio; buscar diferencia de cuadrados 
P(x) = 9x® - 42x"' - 16x* + 49x" + 8x" - 1
Ordenando convenientemente
P(x) = 9x® - 42x* + 49x" - (16x* - 8x" + 1) 
P(x) = (3x ̂- 7x f - (4x' - 1)"
Por diferencia de cuadrados 
P(x) = (3x ̂- 7x + 4x" - 1)(3x ̂- 7x - 4x ̂+ 1) 
P(x) = (3x ̂+ 4x" - 7x - 1)(3x ̂- 4x ̂ - 7x + 1;
39. Si se cumple que: â + b̂ + ĉ = O 
3abcsimplificar:
a(b - a) + b(c - b)+ c(a - c
• ; abe ^ O
Resolución:
Piden:
3abc
- (a + b + c - ab - be - ca)
_ â + b̂ + ĉ - 3abc 
(a ̂+ b̂ + ê - ab - be - ca)
(a + b + c)(a" + b" + c" - ab - be - ca)
(a" + b" + c" - ab - be - ca) 
a + b + c
40. Indicar el número de factores primos en:
(x " + 7 x + 5 )" + 3 {x " + 1) + 2 1 x + 2
Resolución:
Agrupando: (x" + 7x + 5)" + 3(x" + 7x + 5) - 10 
Sea; x" + 7x + 5 = a 
a" + 3a - 10 por aspa simple 
a 5
(a + 5)(a - 2) reponiendo variable 
=» (x" + 7x + 10)(x' + 7x + 3) 
x 5
X 2
( X + 5)(x + 2)(x" + 7x + 3)
Tenemos 3 factores primos
41. Luego de factorizar, indicar la suma de los coefi­
cientes principales de los factores primos de:
p(x; y) = ŷ x* + 1 - x" - ŷ x̂ + ŷ - 2/x^
Resolución:
Agrupando convenientemente y aplicando el crite­
rio del aspa simple, se tiene;
P(x: y) = x V - 1 ) + x^ {-/-2 y ") + (y + i)(y" - y + 1) 
x " ( y - i ) * - . . . t ^ - ( y " - y + i )
x"(y" + y + 1) - {y + 1)
P(x; y) - [x " (y - i) - (y " -y + i)][(x (̂y" + y + i) - ( y + l)]
La suma de los coeficientes principales de los 
factores primos es: ŷ + y + 1 + y - 1 = ŷ + 2y
42. Luego de factorizar: P(x) = x® + 4x* + + 4x^ + 2x 
indicar un factor primo binómico
Resolución:
Aplicando factor común se tiene:
P(x) = x[¿ + 4¿ + x̂ + 4x + 2]
www.full-ebook.com
Agrupando convenientemente;
P(x) = x[x(x" + 4x" + 4) + (x̂ + 2)]
P(x)= x[x(x' + 2 f + (x" + 2)3 
Aplicando factor común;
P(x) = x(x ̂+ 2)(x^ + 2x + 1)
Un factor primo binómico es: x̂ + 2
43. Luego de factorizar, indicar el nùmero de factores 
primos lineales de:
F(a; b; c) = (a - bXa + b)^+(b - cXb + c)^+(c - aXc + a)̂ 
R e s o lu c ió n :
Si: a = b resulta
F(a; b; c) = (b - c)(b + c)' + (c - b)(c + b)' = 0 
Si: b = c resulta
F(a; b; c) = (a - c)(a + c) ̂+ {c - a) (c + a) ̂= 0 
Si: a c resulla
F(a; b; c) = (c - b)(c + b) ̂+ {b + c)^(b - c) = 0 
F(a; b;c) = (a - b)(b - c)(a - c) M
es una constante 
Existen 3 factores primos lineales.
44. Luego de dividir;
(x^ + xy + y^f - x^z^ - y^z ̂- x^y^
(x + y-z)(x^ + ŷ ) 
el cociente es idéntico a: Q(x; y; z> = ax + by + cz 
Hallar; a + b - c
Resolución:
Agrupando convenientemente el dividendo se tiene;
{x̂ + xy + - x V - ẑ (x̂ + ŷ )
(x̂ + 2xy + /)(x^ + ŷ ) - ẑ {x̂ + f )
(x" + /)[(x + y)' - ẑ I = (x̂ + /){x + y + z)(x + y - z)
(x^ + y^)(x + y + z)(x + y - z)Luego se tiene; ------— ----- ------ ---^ --------- -
(x + y -z)(x" + y")
=s'x + y + z = ax + by + cz=» a=1; b = 1 ; c = 1
Me piden: a+b - c = 1
45. Dadas las condiciones: 
a" + + c" = 2
(a + b + c)(1 + ab + be + ca) = 32 
Calcule a + b + c
Resolución:
Dato:
a^ + b^ + c^ = 2 ,..(P )
(a + b + c)(2 + 2ab + 2bc + 2ca) = 64 ...{a)
(p)en (a):
{a + b + c)(a ̂+ b^+ ĉ + 2ab + 2bc + 2ca) = 64
(a + b + c)2
a + b + c = 4
46. Factorizar: P{x; y) = 5x ̂- / + lOx - 2y + 4xy 
Luego indicar un factor primo.
R e s o lu c ió n :
Aplicando el criterio del aspa doble:
P(x; y) = 5x ̂+ 4xy - / + lOx - 2y + O
"“V — I O
x " - ^ ^ y — — 2
P{x; y) - (5x - y)(x + y + 2)
47. Los trinomios (2x ̂+ ax + 6) y (2x ̂+ bx + 3) 
admiten un factor común de (a forma (2x + c). 
Calcule el valor de: {a - b)c 
R e s o lu c ió n :
Usando el teorema del residuo.
Si P(x) = 2x ̂+ ax + 6
Ri = P ( - | ) = 2 ( ^ a í - ^ l + 6 = 0
Si Q{x) = 2x̂ + bx + 3
= R , ^ Q ( - f ) = . 2 ( ^ ) + b ( - f ) + 3 = 0
De R, = Rj: c{a - b)= 6
48. Luego de factorizar:
N(a; b; c) = a (̂b - c) + b̂ (c - a) + ĉ (a - b) 
indicar uno de sus factores compuestos.
Resolución:
Efectuando y agrupando se tiene:
N(a; b; c) = a (̂b - c) + b^c - b̂ a + c^a - ĉ b 
N{a; b; c) = â (b - c) + bc(b - c) - a(b + c) (b - c) 
N(a; b; c) = (b - c)[a ̂- a(b + c) + be]
Un factor compuesto es: â - a(b + c) + be
49. Determine la suma de valores de n para que el po­
linomio F(x) = X - n sea un factor de
P{x) = X-'' + (2 - n)x̂ + (1 - 2n)x + n̂
Resolución:
P(x)F(x) es factor de P(x) F(x) es exacta.
x - n = 0 1 2 - n 1 - 2n n̂
n \ n 2n n
1 2 1 0
Por ser una división exacta:
n̂ + n = 0 n(n + 1 )^ 0
n, = 0 V n = -1
,-. n, + = -1
50. Factorice el polinomio: F(x) = x* - 6x ̂- 27
Luego indique el factor primo de menor término in­
dependiente,
Resotución;
Podemos utilizar el criterio del aspa simple por la 
forma que tiene,
F(x) = x" - 6x^ - 27
A ' 
F(x) = (X
- . i . : -
9)(x̂ + 3)
www.full-ebook.com
F(x) = ( X - 3)(x + 3)(x^ + 3)
^FP"
Ef factor primo de menor término independiente 
es (x - 3).
51. Factorice et polinomio siguiente
P(x; y) = (x^y + x ' / f - 4x^ - 8xy - 4y ̂
e indique el número de factores primos. 
Resolución:
P(x; y) = (xy (x + y)) ̂- 4(x^ + 2xy + / )
P(x; y) = (xy)^(x + y f - 4(x + y f - 4(x + y)'
P(x: y) = ( X + y)'[(xy)' - 4]
P(x; y )= (x + y f[(x y -2 )(xy + 2)]
Entonces, sus factores primos son 
(x + y), (xy - 2) y (xy + 2)
Por lo tanto, tiene 3 factores primos.
52. Factorice et polinomio: P(x) = 2x^ - x̂ - 18x + 9 
Luego iguale a cero cada factor primo y encuentre 
los valores de x.
Resolución:
Agrupando convenientemente tenemos 
P(x) = 2 x ^ - x ^ - 18x + 9
P(x) = x^(2x - 1) - 9(2x - 1)
P(x) = (2x - 1 )(x ̂- 9)
P(x) = _(2x - 1)(x - 3)(x + 3)
^FP~ ̂ FP
igualamos a cero cada factor para encontrar sus 
raíces.
2 x - 1 = 0 v x - 3 = 0 v x + 3 = 0
1 v x = 3 v x = - 3
1 .Por lo tanto, las raíces de P(x) son: 3 y -3
53. Señale uno de los factores primos de:
P(x; y) = x*(x - y f - 14x/(x - y) + 2 4 /
Resolución:
Efectuando en los primeros dos sumandos:
P(x; y) = x"(x - y f - 14x/(x - y) +*24/
P(x; y) = (x(x - y)] ̂- 14(x* - x y ) / + 24y*
P(x; y) = [x ̂- xy] ̂- 14(x' - x y ) / + 24y*
(x ̂- xy) - t - 1 2 /
(x' - xy) - 2 /
(x ̂- xy - 12 /)(x ' - xy - 2 /)
Luego:
P(x; y) = (x ̂- xy - 12/)(x^ -x y - 2 / ) 
x ^ J Ú ^ - 4 y x ^ ^ - 2 y
X ' - ' ' ^ ^ + 3y X '- '^ - y
P(x; y) - ( X - 4y)(x + 3y)(x - 2y)(x + y)
Un factor primo es: (x + y)
54. Señale un factor primo de la siguiente expresión: 
R(z; w) = 5z® - 2 z V - 75z" + 32v/ - 80
Resolución:
Completando términos para aplicar aspa doble: 
R(z; w) = 5z® - 2 z V + Ow® - 75z‘ + 32v/‘ - 80
5z* -2w- 5
Ov/
=* R(z; v̂ ) = (5z“ - 2v / + 5)(z* - 16)
R(z; w) = (5z“ - 2w“ + 5)(z' + 4){z" - 4)
R(z; w) = (5z“ - 2w* + 5)(z^ + 4)(z + 2) (z - 2)
Un factor primo es: (ẑ + 4)
55. Factorizar:
A(x) = X*" + (1 - 2n)x'" + (1 - 2n - 3n )̂x^" -
(2n + 3n^)x'' - 3n^
Resolución:
A(x) = x‘'n + x̂ " - 2nx^" + x̂ " - 2nx^" - 3n^x "̂ -
2nx" - 3nV - 3n ̂
A(x) = x '̂'(x "̂ + x" + 1) - 2nx"(x̂ '' + x" + 1) -
3n^(x̂ " + x" + 1) 
A(x) = (x"" + x" + 1)(x"" - 2nx" - 3n*)
X" -3n
x" +n
A(x) = (x^" + x" + 1){x’’ - 3n)(x" + n)
56. Factorizar: A(m; p) = (m® - 2m̂ p®)̂ + (2m®p̂ - p®)̂ 
Resolución:
(n f - + (2m V - ^ f
[m̂ (m® - 2p®)]̂ + [p (̂2m® - p^)f 
m®(m® - 2p®)̂ + p®(2m® - p®)'
Haciendo: m® = a’ : p® = b®
+ b'(2a^- b̂ )̂
a'(a* - 6a®b̂ + 12aV - 8b®) + b̂ (8a' - 12aV + 6aV -b®) 
a'2 - ̂ + i2a®b® - 8̂ 3b® + ̂ -12a®b® + 6 ^ -b ’ ̂
a’ ̂+ 2a®b̂ - 2 a V - b'*
(a’ ̂- b’ )̂ + 2aV(a® - b®)
(a® + b®)(a® - b®) + 2a=̂ b̂ (a® - b®)
(a® - b®) [a® + b® + 2a^b ]̂
(a' + b')(a' - b'Ka^ + b’ )̂
(a ̂+ b')'(a' - b̂ )
(a - b)(a^ + ab + b^)[(a + b)(a^ - ab + b̂ )]^
(a - b)(a^ + ab + b^)(a + b)*(a ̂- ab + b̂ )̂
Sabemos que: m® = â =* a = m̂
p® = b̂ =» b = p̂
(m̂ - p^X '̂* + - m̂ p̂ + py
(m + pY(m'' - m*p̂ + p'’) V + P)(m - P)
(m̂ + mp + p̂ Xm̂ - mp + p^
57. Factorizar;
P(x) = x [̂(a ̂+ 1)x ̂+8a"] - 5x[(a' + 1)x ̂+ a ]̂ +
8x ̂- 5x + 1 + â
www.full-ebook.com