Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (38)

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Máximo común 
divisor y mínimo 
común múltiplo 
Fracciones 
algebraicas
O
Z )
a
o
ü
William George Horner nació 
en Bristol (Inglaterra) el 22 de 
septiembre de 1789 y m urió en 
Bath (Inglaterra) en 1837. Fue un 
matem ático inglés. A los 14 años 
se convirtió en maestro, cuatro 
años después se convirtió en 
director de la misma escuela en 
que estudió. En 1809 se trasladó 
a Bath, donde fundó su propio 
colegio.
Como investigador solo tiene en 
su Iiaber una contribución: el lla­
m ado algoritmo de Horner para 
resolver ecuaciones algebraicas, 
publicado por la Royal Society 
en 1819. Este m étodo alcanzó 
cierta popularidad en Inglaterra 
y Estados Unidos gracias al tam ­
bién matemático De Morgan, 
que lo utilizó en sus artículos di- 
vulgativos, aunque finalmente se 
popularizó la regla de Paolo Ruffini. descrito y publicado en 1814, por e! cual le fue concedida 
la medalla de oro por la ItaÜan Mathematical Society for Science.
Horner hizo otras contribuciones matemáticas, com o la publicación de una serie de docu­
mentos sobre la transformación y resolución de ecuaciones algebraicas, en donde también se 
aplican técnicas similares a las ecuaciones funcionales. Después de que m uriera Horner. su hijo 
llamado también William Horner m antuvo en funcionam iento la escuela de Bath.
Fuente: Wifeipedia
\n9\atóTB, t7B3 - Ingtateirs, 183?
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<4 MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Se flama máximo común divisor de dos o más expre­
siones algebraicas, a la expresión algebraica entera de 
mayor grado y coeficiente numérico contenida un nú­
mero exacto de veces en cada una de las expresiones 
mencionadas.
Ejemplo:
Sean los números 12 y 6;
Divisores comunes
12
6
El MCD de 12 y 6 es 6.
<4 MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM)
Se llama mínimo común múltiplo de dos o más expre­
siones algebraicas, a la mínima expresión algebraica 
entera y de menor coeficiente que contiene un número 
entero de veces las expresiones mencionadas.
Ejemplo:
Sean los números 6 y 8.
Múltiplos comunes
24
24 (48
72
72
El MCM de 6 y 8 es 24.
Pasos a seguir para calcular el MCD y MCM de 
dos o más polinomios
1. Se factorizan las expresiones dadas.
2. Ef MCD se determina considerando solo factores 
comunes a todas las expresiones pero elevados a 
su menor exponente.
3. Ef MCM estará expresado por la multiplicación de 
los factores comunes a todas las expresiones pero 
elevados a su mayor exponente luego multiplicado 
por los no comunes.
Ejemplos:
Sean:
• A(x) = ( X + l f ( x + 2f(x - 3)
• B(x) = ( X + l f (x + 2 f
MCD(A; B) = (x + 1)*(x + 2 f
MCM(A; B) = (x + 1)̂ (x + 2)'(x - 3)
• C(x) (x + 2){x + 3)
• D ( x ) - ( x - 1 ) ( x - 3 )
IV1CD(C; D) = 1
MCM(C; D) = ( X + 2){x + 3)(x -1 )(x - 3)
ím E
1. B MCf) übs ó presiones prírrias 
entre si es ta unidad y su MCM ef (»tKlucto de
2. Soto para dos ex^^iones o pt^nomios se 
cumple que: AX B = MCD(A; B)
Ejemplos
.̂ Indicar el MCD y MCM de:
F(x) = x*(x + 1) A G(x) = x(x + 2)
Resolución:
Como F(x) y G(x) están factorizados:
MCD(F; G) = x
MCM(F; G) = x*(x -i- 1)(x + 2)
2. Dar el MCD y MCM de:
A(x; y) = xV^(x - 2) a B(x; y) = xV(y - 1) 
Resolución:
Análogamente:
MCD(A; B) = x^y*
MCM(A; B) = x‘‘ ŷ (x - 2){y - 1)
3. Dar el MCD y MCM de:
P(x) = X* - X - 6 A Q(x) = X* - 3x - 10 
Resolución:
Factorizando a cada uno de los trinomios:
P{x) = x ^ - x - 6 = ( x - 3)(x + 2)
Q(x) = x' - 3x - 10 = (x - 5)(x + 2)
MCD(P; Q) = x + 2
MCM(P; Q) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)
4. Dar el MCD y MCM de:
M(x;y) = x' - 2xy - 15 /
N(x; y) = x' - 7xy - 18ŷ
Resolución;
Factorizando cada uno de los trinomios:
M(x; y) = (X - 5y)(x + 3y)
N(x; y) = (x - 9y)(x + 2y)
MCD(M: N) - 1
MCM{M; N) = (x - 5y)(x + 3y)(x - 9y)(x -i- 2y)
5. Dar el MCD y MCM de:
A(x) = x" - 1 A B{x) = x̂ + 2x - 3 
Resolución:
Factorizando cada expresión:
A(x) = (x' + 1)(x' - 1) = (x' + 1){x + 1)(x - 1) 
B(x) = (x + 3)(x - 1)
MCD(A; B) = X - 1
MCM(A; B) = (x - 1)(x̂ + 1)(x + 1)(x + 3)
6. Calcular MCD y MCM de:
A(x) = X® - ax“ - a“x + a"
B(x) = x“ - ax̂ - a V + â x
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Resolución;
Factorizando A:
A(x) = x‘‘(x - a) - a‘*(x - a) = (x - a)(x̂ - a‘ )
A(x) = (x - af{x + a)(x' + a')
Factorizando B:
B(x) = x"(x - a) - (a^x)(x - a) = (x - a)(x ̂- a'x) 
B(x) = x(x - a)'{x + a)
MCD(A; B) = (x - a)̂ (x + a)
MOM(A; B) - (X - a )V + a){x ̂+ a")(x)
Calcular el MCD y MCM de;
A(x) = x̂ + 5x̂ + 8x + 4 
B{x) = x̂ -f 3x̂ - 4 
C(x) = x' + 6x' + 12x + 8
Resolución;
Factorizando cada expresión:
A(x) = x̂ + 5x̂ + 8x + 4
Para x = -1: A{-1) = 0; se anula, entonces tendrá 
un factor (x+1).
Por Ruffini:
1 5 8 4
-1 - 1 -4 -4
1 4 4 0
Luego A(x) = (X + 1) (X ^ + 4x + 4)
A(x) = (x + 1)(x + 2 f
B(x)- x' + 3x' - 4
Para x = 1: B(1 ) = 0 se anula, entonces
factor (x - 1’ 
Por Ruffini:
1 3 0 -4
1 1 4 4
1 4 4 0
Luego B(x) = (X - 1)(x̂ + 4x + 4)
B(x) = (X 1)(x + 2 f
C(x) = x̂ + 6x̂ + 12x + 8
Para x = -2: C(x) = 0; se anula, entonces
un factor (x + 2). 
Por Ruffini:
6 12 8
-2 -2 -8 -8
4 4 0
Luego: C(x) = (x + 2)(x ̂+ 4x + 4)
0(x) = (x + 2)(x + 2 f = (x + 2 f 
MCD(A; B: C) = (x + 2 f 
MCM(A; B; C) = (x + 2)'(x + 1 )(x - 1)
Calcular el MCD de A, B y C:
A(x; y) = x V + xy'“ - 2xV 
B(x; y) = 3xV(x^ + ŷ ) + x®y +
C(x; y) = x“y - x V - x f +
Resolución:
Factorizando A:
Extrayendo factor común: x f 
A(x; y) = x/(x® - 2 x \" + f ) = xf{x" - f f 
TCP
A(x: y) = xy'(x^ - y^)^(x' -
A(x; y) = x/(x^ + f ) {x + y)^(x - y f
Factorizando B:
Agrupando convenientemente:
B(x: y) = 3xV'(x^ + y') + x'y(x® + y®)
B(x: y) = 3x“ŷ (x̂ + / ) + x^y(x' + ŷ )(x̂ - x^/ + y“)
Extrayendo factor común: x'y(x' + y )̂
B(x; y) = xV(x^ + y^)(3xV^ + x‘ - x^^ + y")
B(x; y) = x^y(x" + /){x " + 2 xY + y")
B(x; y) = x^y(x ̂+ y )̂(x ̂+ y^f = x'y(x^ + f f
Factorizando 0:
Agrupando en la forma indicada:
C(x; y) = x^y(x ̂+ y )̂ - xy (̂x ̂+ ŷ )
Extrayendo factor común: xy(x^ + f )
C(x; y) = xy(x' + /) (x - f )
MCD(A; B: O) = xy(x' + f )
9. Si el producto de dos expresiones es
(X + 1)'(x + 2)(x + 5) y su MCD es (x + 2), hallar el 
MCM de las expresiones.
Resolución;
Sean las expresiones: A(x); B(x)
Por condición; A x B = (x + 1) (̂x + 2)(x + 5)
Por propiedad:
[MOM(A: B)][MOD(A; B)] = (x + 1) (̂x + 2)(x + 5)
' (x"+'2) ^
== M C M (A ; B) = (X + 1)^(x + 5) = (x^ + 2x + 1)(x + 5) 
M C M (A ; B ) = x^ + 7x^ + 11x + 5
10. Hallar el MCM de:
A = 3(x + 1); B = 2(x ̂- X + 1) y C = 6 {xV 1)
Resolución;
En este caso solo falta factorizar 0.
0 = 6(x^ + 1) = 6(x + 1)(x ̂- x + 1 )
^ MCD(A; B; C) = 1
MCM(A; B: C) = 6(x + 1)(x" - x + 1 )
11. Dadas las expresiones algebraicas:
A = (x̂ - 4)(x^y + 3xy) A B = x V + 8 x /,
¿por qué expresiones deberá multiplicarse cada 
una de ellas para que su MCD sea xV(x^ - 4)?
Resolución:
Factorizando A:
A = (x + 2)(x - 2)xy(x + 3)
Factorizando B:
B = x/(x^ + 8) = xy^(x + 2)(x' - 2x + 4)
=» MCD(A; B) = xy(x + 2)
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