Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (39)

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Para que su MCD sea x'y'(x' - 4), a A habría que 
multiplicarlo por xy y a B habría que multiplicarlo 
por x(x - 2).
12. Si (X - 1) es divisor de x̂ - 6x ̂+ 11x - 6 y de 
- 7x + 6, ¿cuál es su MCD?
Resolución:
Factorizando el primer polinomio:
-6 11 -6
1 1 -5 6
-5 6 0
(X - 1)(x ̂- 5x + 6) = (X - 1)(x - 2){x - 3) 
Análogamente con el segundo polinomio:
1 0 - 7 6 
1 1 1 - 6
1 1 O
(X - 1)(x" + X - 6 ) = (X - 1)(x + 3)(x - 2)
MCD = (X - 1)(x - 2)
13. Al sumar el MCD de (x - 1 y x® - 1 con el MCD de: 
(x - 1)® y X® -1 , se obtiene:
Resolución:
Factorizando x® - 1, por divisores binómicos:
Para x = 1 se anula, entonces tendrá un factor (x -1).
0 0 0 0 -1
1 1
1 0
x̂ - 1 = ( X - 1 ){x'’ + + x' + X + 1 )
=*MCD = {X - 1)
El segundo polinomio x® - 1, puede escribirse:
{x̂ + 1)(x̂ - 1) = (x + 1){X̂ - X + i)(x - 1)(x̂ + x + 1) 
^M CD = {x - 1)
Suma de los MCD= 2(x - 1 )
14. Hallas) MCD de:
A = x̂ + 3x̂ + 3x + 1 ; B = x̂ + 2x + 1 ; C = X - 1
Resolución;
A = (X + I f ; B = (X + I f ; C = (x - 1)
.-. MCD(A; B; C) = 1
<4 FRACCIONES ALGEBRAICAS
Fracción algebraica es el cociente indicado entre dos 
expresiones algebraicas racionales en donde al menos 
en el denominador debe de figurar una letra.
E je m p lo s :
X + y , 2 . x + y . a+1
x - y ’ x ' z ' a + b + c
Clasificación de fracciones
Fracción propia. Se caracteriza porque el grado del
numerador es menor que el grado dei denominador.
Ejemplos:
x ̂- 1 , xy + 2
x“ + 1 x ' + y^
En el caso inverso, donde el grado del numerador es 
mayor o igual que el grado del denominador, se dirá 
que es una fracción impropia.
Ejemplo:
x' + 2
Fracciones equivalentes. Son aquellas que teniendo 
formas diferentes se caracterizan porque siempre ten­
drán los mismos valores numéricos; para cualquier va­
lor asignado a sus variables, a excepción de aquellos 
que hagan cero el denominador.
Ejemplos:
x + 3 ^ ^ 1
x ̂+ 5x + 6 ^ ^ X + 2 ' V x # -3 ; -2
Parax = 0: | = 4 o ¿
Fracciones complejas o compuestas. Se caracteri­
zan porque en su numerador o denominador aparecen 
otras fracciones algebraicas.
Ejemplo:
F = 3 + x+ 1
x - 1 ^
x ^ -1
Fracciones continuas. Es un caso auxiliar de las frac­
ciones complejas, que se caracterizan porque el nume­
rador de cada fracción siempre es la unidad.
Ejemplo:
1M = 3 + 1
X +
1
x+ 1
Fracción irreductible: Son aqueüas fracciones que se 
caracterizan porque en el numerador y denominador 
aparecen expresiones que no tienen ningún factor co­
mún (el numerador y denominador son primos entre sí), 
es decir, no admiten simplificación.
Ejemplo:
x + 2. 2 
X + 1' X
Signos de una fracción
Toda fracción posee tres signos (signo de la fracción, 
signo del numerador, signo del denominador); el cam­
bio de dos de estos signos no altera el signo total de la 
fracción.
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Ejemplos:
F =
E = -
+ b
-m . -m
- n +n - n 
(x - a)(x - b)(x - c) = (a - x)(b - x){x - c) 
(x - a) {x - b) {a - x) {b - x)
7
x - 2 2 - x x - 2 x - 2
iS B B E B Ì v
1. En toda fracción podrán efectuarse tres juegos 
pares de signos y tendremos como resultado 
otras fracciones equivalentes.
Ejemplo;
2 - x _
7 - x 7 - x
2 , 2 - x
x - 7
2. Si a los compKjnentes de una fracción se les multi­
plica o di\^de por una expresión diferente de cero 
tendremos como resultado otras fracciones equi- 
vaientes. Sea:
am 
/ b m \
fraccionesf= = V m ^ O
\ i /
m
equivalentes
, mx + ny + p
S i la fracción:-------- -—~rx + sy + 1
es independiente de sus variables (x e y) o toma siem­
pre un vator constante, entonces se cumpliré:
ü! = Í1 =: £ = constante
Operaciones con fracciones
• Para sumar o restar fracciones es necesario dar 
común denominador.
x+2 x -5 (x + 2 )(x+ 4 )-(x -5 )(x -1 ) 
x-1 x+4 (x-1)(x+4)
x^+6x+8-(x^-6x + 5)
- (x-1)(x+4)
+ 6x + 8 - + 6x - 5 12x + 3
(x~1)(x + 4) (x-1)(x + 4)
Para multiplicar fraccionea, se multiplican numera­
dores y denominadores entre si.
Ejemplo:
/ x - 1\/x + 3\ x ̂+ 2 x -3
,x + 1/1X - 4, 3 x -4
Para dividir fracciones, se invierte la fracción del 
divisor y se procede como en la multiplicación. 
Ejemplo:
/ X + 1 \ . / X + 3 \ _ / X + 1 w X - 5 > _ x‘ - 4x - 5 
U - 7 j ' U - 5 l U - 7 . ) l x + 3 ) ’ x ' - 4 x - 2 1
Sim plificación de fracciones
Simplificar una fracción es transformarla en otra equiva­
lente e irreductible.
Ejemplos:
1. Simplificar:
2ax^ + 2x ̂- 3bx^ - 2b^x - 3abx + 3b^M =
2x ̂+ 2cx - 3bx - 3bc 
Resolución;
Factorizando el numerador y denominador:
_ ax(2x - 3b) + x^(2x - 3b) - b^(2x - 3b) 
(2x-3b)(x + c)
(2x-3b){ax + x^-b^) , x ' + a x - b '
M
M = {2x-3b)(x + c) M X + c
2. Efectuar:
+(a - b) (a - c) (b - c) (b - a) (c - a) (c - b) 
Resolución:
Transformando los denominadores de las dos últi­
mas fracciones:
â __________ b̂ , ĉ
( a -b ) (a - c ) ( b - c ) ( a -b ) { c -a ) { c -b )
_ a (̂b - c) - b^(a - c) + c^(a - b)
(a - b)(a - c)(b - c)
Factorizando el numerador:
N = â (b - c) - ab̂ + b̂ c + aĉ - bĉ
N = â (b - c) - a(b ̂- ĉ ) + bc(b - c)
N = {b - c)(a ̂- ab - ac + be)
N = (b - c)(a(a - b) - c{a - b)j 
N = (b - c)(a - b)(a - c)
Reemplazando:
(b - c)(a - b)(a - c)
(a - b)(a - c)(b - c) 
Reducir:
M = 1
= 1
1 1
n(n + 1) (n + 1)(n + 2) {n + 2)(n + 3)
f ^ ______
(n + k - 1)(n + k)
Resolución;
Como los denominadores dan como diferencia los 
numeradores, podemos descomponer cada frac­
ción de la siguiente manera:
1 1M = -^ -n n + 1
M = - n
1 1 1 1
n + k
n+ 1 n + 2 2 n + 3 
1 1
+ . . .
n + k - 1 n + k
(n + k)n
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Otra forma de resolución;
Utilizando el criterio de la inducción: 
1Para 1 fracción: M 
Para 2 fracciones:
n(n + 1)
1 1 n + 2 + n
n(n+1) (n+1)(n+2) n(n+1)(n+2) n(n+2)
Para 3 fracciones;
M = 
M =
1 ■ + ■ 1 1
n(n+1) (n + 1)(n + 2) (n + 2)(n + 3)
2 1 _ 3
n(n + 2) (n + 2)(n + 3) n(n + 3)
kPara k fracciones: M = n(n + k)
Efectuar;^ = + b - 2a , 7a
3(a"-bO 
Resolución:
Transformando el primer denominador; 
M = 4ab 4- 2b ̂- I2a^ 2a - b _ 7a
b - a 3(a + b)
3(a + b )(a -b ) a - b 3(a + b)
Hallando el MOM de los denominadores y efec­
tuando;
4ab+2b^-12a^+6a^-3ab+6ab-3b^+7a^-7ab 
3(a + b )(a-b)
Reduciendo en el numerador;
M = a^-b^
3{a + b )(a -b ) 3(a + b )(a -b )
(a + b )(a -b ) . ^ = I
3
5. Si; ab + be + ac = 4abc, dar el equivalente de 
E = A + B -f C, donde:
(b + c)^+(a + c )^ - (b -c )^ - (a -c )^ 
(a-i-b){(a+b+c)^+(a-b+c)^-(b+c-a)^-(c-b-a)^] 
(a + b) ̂+ (a + c) ̂- (a - b) ̂- (a - c) ̂
(b+c)[(a+b4-e)^+(a+b-c)^'-(a+b-c)^-(a-b-c)^j
(a + b)^4-(a + c ) " - ( a -b ) " - ( a - c ) " 
(b+c)[(a+b+c)^+(a+c-b)^-(a+b-c)^-(a-b-c)^] 
Resolución:
Agrupando en la forma indicada en la expresión A:
B=
A=- (b + c) ̂+ (a + c)^- (b - c)^- (a - c)̂
(a+b)[{a+b+c)^+(a-b+c)^-{b+c-a)^-(c-b-a)‘ 
Por Legendre en el numerador y denominador:
. 4bc + 4ac _ 4c(b + a)
(a+b)[4c(a+b)+4c(a-b)] (a+b)[4c(a+b+a-b)]
Agrupando en forma conveniente en la expresión B:
p _ (a + b) ̂+ (a + c) ̂- (a ^ b)" - (a - c)̂
(b+c)[(a+b+c)^+(a+b-c)^-(a-b+c)^-(a--b-c)^] 
Por Legendre en el numerador y denominador:
B: 4ab 4 4ac 4a (b + c)
(b+c)[4a(b+c)+4a(b-c) (b+c)[4a(b+c+b-c)]
Luego; B = JL
2b
Agrupando en forma conveniente en la expresión 0:
(a + b) ̂+ (a + c)‘ - (a - b) ̂- (a c)̂0 =
(b+c)l(a+b+c)V(a+c-b)^-{a+b-c)^-(a-b-c)‘
Por Legendre en el numerador y denominador: 
Q _ 4ab + 4ac 4a(b + c)
(b+c)¡4a(c+b) + 4a(c~b)] (b+c)54a]íc+b+c-b)
Luego: C =
Reemplazando en la expresión pedida;
F - - 1 / — ' l + = 1/bc + ac + ab\ _ 1/4abe\
~ 2 \ a ' ' ’ b c/ 2\ abe j ~ 2Í abe /
■■■ E - ^ (4 ) ^ 2
Descomposición de ias fracciones racionaies
Dada una fracción racional de una soia variable x, siem­
pre podrá ser reemplazada, dividiendo su numerador 
por su denominador ordenados ambos según las po­
tencias decrecientes, por una función entera de x (que 
puede ser nula), y por una fracción racional comple­
mentaria, en la cual el grado del numerador será menor 
que el gradodel denominador.
Designaremos esta fracción racional: 
f(x)
F(x) -(1)
Se puede suponer siempre que esta fracción es irre­
ductible, es decir que f(x) y F(x) son primos entre si, 
y admitiremos además que se conocen las raices de 
F(x) = O que se designarán por a. b, c, ... y sus grados 
de multiplicidad por m, n, ...
En este capitulo vamos a tratar de la descomposición 
de las fracciones racionales de la forma antes dicha en 
fracciones simples.
Nos preguntamos: ¿es posible siempre expresar una 
función racional en fracciones simples? Si bien no he­
mos definido una fracción simple, la respuesta es afir­
mativa, pero debemos tener presente las siguientes 
consideraciones:
Recordemos algunos conceptos previos:
1. Un polinomio en la variable x es una expresión de 
la forma p(x) = aox" -h a,x" + a„, donde los
a, (i = 0;...: n) son números reales. El grado de este 
polinomio es n (mayor exponente), siempre que
i 0 .
2. Todo polinomio puede factorizarse en producto de 
polinomios cuadrátieos o lineales. Esto equivale 
a decir que las raíces de cualquier polinomio son 
reales o complejas.
3. El cociente de dos funciones polinomiales se llama 
función racional. Si f es una función racional, en­
tonces:
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