Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (40)

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f{x) _ PW
qW
• (2)
donde p(x) y q(x) son polinomios. Esta fracción se 
llama propia si el grado de p(x) es menor que el 
grado de q(x). En otro caso se llama impropia.
4. Toda fracción impropia (función racional) puede 
expresarse como la suma de un polinomio y una 
fracción propia (función racional).
Ejemplo:
x'Determinar qué clase de fracción es f(x) = x + 1
Resolución:
Claramente fes impropia y si dividimos x̂ por x + 1, 
obtenemos como cociente x̂ ~ x + 1 y como 
resto -1 . Sabemos que:
dividendo / divisor = cociente + residuo 
divisor ’
Luego tenemos que: = x ̂- x + 1 + 1
x + 1x+1
lo cual comprueba que: 
fracción propia = polinomio + fracción propia 
Ahora, para convertir una fracción propia en frac­
ciones simples se presentan 4 casos, a saber:
Caso 1
El denominador es un producto de factores lineales 
distintos. Diremos que a cada factor linea! diferente 
ax + b. que aparezca una vez en el denominador de 
una fracción propia, le corresponde una fracción propia 
, donde A es una constante que de-de la forma r-ax + b
bemos determinar.
En otras palabras y considerando la notación anterior, 
diremos que si en la fracción propia f(x) ^ q(x) se 
expresa como un producto de factores lineales (grado 1 ) 
distintos de la forma:
q(x) = (a,x + b,)(a2X + b j) ... (â ,x + b„), 
Entonces:
PW - A, ̂ , A,
q(x) a,x + bl a„x + b„
Donde los números a,: b, y A, (i = 1 ; 2;...; n) son cons­
tantes y debemos encontrar los valores A, que verifi­
quen la igualdad (3).
Ejemplo:
Descomponer; — \ ------
x" + x ̂- 2x
Resolución:
Primero debemos factorizar el denominador: 
x̂ + x̂ - 2x = x(x - 1)(x + 2)
Luego; 1 B Esta igual-
x ̂+ x ̂- 2x X x - 1 x + 2
dad debe ser válida para todo x en el dominio de 
1
x® + x ̂- 2x'
Si multiplicamos por el MCM de los denomir^adores, 
obtenemos:
1 = A(x - 1)(x + 2)+ B(x +2)x + Cx(x -1 ) ... (4)
A continuación presentamos un método abreviado que 
nos permita calcular las constantes A, B y C. Este con­
siste en asignar valores a x que nos permiten eliminar 
algunas constantes y calcular más fácilmente otras.
Por ejemplo: si en (4) hacemos x = 1, obtenemos B =-^; 
si X = 2, obtenemos C = 4; si x = O, obtenemos A = 4,O ¿
luego:
x ̂+ x*' - 2x
-1 /2 , 1/3 1/6
X - 1^ x + 2
Caso 2
El denominador de una fracción propia contiene, fac­
tores lineales repetidos ax + b, n veces. La descom­
posición en fracciones parciales contiene términos de 
la forma;
A, A; Ap
ax + b (ax + b)^ (ax + b)"
Donde: A, (i = 1 : ...; n) son constantes por determinar. 
Esto se produce cuan<lo en la fracción propia:
P(x)
Q(x)
, Q(x) = d(x - a)"(x - b)" ... (x - k)^
y por lo menos uno de los exponentes es mayor que 1. 
Ejemplo:
y I O
Descomponer; —r--------- --------------------
(x ^ -2 x + 1)(x^ + 4x + 4)
Resolución:
Factorizando al máximo el denominador obtenemos; 
(x ̂ - 2x + 1)(x" + 4x + 4) = (X - 1)^(x +
Luego;
x + 3 A , B , C . D+(x^-2x+1)(x^+4x+4) x-1 (x-l)2 x+2 ' (x+2)=
l'^ultiplicando por (x̂ - 2x + 1 )(x ̂+ 4x + 4) obtenemos:
x + 3 = A(x-1)(x + 2)' + B(x + 2)̂ + C(x + 2)(x-1)^ + D(x-1)'
El método no abreviado consiste en igualar los coefi­
cientes de las potencias de x y resolver el sistema de 
ecuaciones que se obtiene, pero por supuesto optare­
mos por el abreviado que es más rápido y fácil.
S ix = 1 : B = ^ : six = -2 ; D = •^. Como no hay otro
valor que permita eliminar las constantes y poder calcu­
lar otra, le asignamos a x, 2 valores cualesquiera para 
producir un sistema de ecuaciones, considerando que 
ya tenemos los valores de B y D.
Si x = O ^ 3 = -4 A + 4B + 2C + D
Reemplazando los valores de B y D, obtenemos; 
-3 6 A + 180 = 10
De igual modo, sí x = -1 , obtenemos:
-1 8 A + 360 = 10
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Juntando ambas ecuaciones obtenemos un sistema de
ecuaciones en dos variables, donde
Luego:
-5/27 4/9 5/27 , 1/9
(x^-2x+1)(x'+4x+4) x - 1 (x-1)2 x+2 (x+2)'
Caso 3
En este caso trabajaremos con factores cuadráticos di­
ferentes, entonces a cada factor cuadrático irreductible 
ax' + bx + c, que aparezca una vez en el denominador 
de una fracción propia, le corresponde una fracción pro­
pia de la forma:
Ax + B
ax^ + bx + c
Donde A y B son constantes por determinar.
Recuerda que factor irreductible ax ̂+ bx + c, significa 
que no se puede factorizar en los reales, o que sus raí­
ces son complejas.
Ejemplo:
Descomponer: —^ ------
(x '+ 1 )(x ' + 2)
Resolución:
Observemos que los factores del denominador son irre­
ductibles, por lo tanto:
 ------1—------ ^ ^ ^ ^ , nos conduce a:
(x^+1)(x^ + 2) x^+1 x ' + 2
1 = (Ax + B)(x^ + 2) + (Cx + D)(x' + 1)
El método más general para determinar las constantes 
consiste en igualar los respectivos coeficientes de los 
polinomios; en este caso:
1 = (A + C)x' + (B + D)x' + (2A + C)x + 2B + D 
Igualando ios coeficientes respectivos tenemos:
A + C = 0 2 A + C = 0
B + D = 0 2B + D = 1
Cuya solución es: C = 0; D = -1 ; B = 1 ; A = 0.
Otra forma de resolverlo sería:
S ix = 0=. 1 = B(2) + D(1)
Si X = 1 ^ 1 = (B + A)(3) + (C + D)(2)
Si X = -1 ^ 1 = (-A + B)(3) + ( - 0 + D)(2)
Si X = 2 =» 1 = (2A + B)(6) + (2C + D)(5)
Resolviendo ei sistema:
1 = 2B + D
1 = 3(B + A) + 2(C + D)
1 = 3 (-A + B) + 2 (-C + D)
1 = 6(2A + B) + 5(2C + D)
obtenemos:A=0; C = 0; 8 = 1; D = -1 ,
Por lo tanto, la fracción se convierte en:
1 1___ 1_
(x '+ 1 )(x ' + 2) x '+ 1 x ̂+ 2
Caso 4
Este caso es similar at anterior excepto que los factores 
cuadráticos irreductibles se repiten.
A cada factor cuadrático irreductible (ax' + bx + c)'”, 
con m entero mayor que 1, le corresponde una suma 
de fracciones de la forma:
A,x + B, AjX + Bj A^x + B^
ax^ + bx + c (ax' + bx + c)" (ax + bx + c)"
Donde los A, y B, (i = 1; 2; n) son constantes que 
debemos determinar.
Ejemplo:
Descomponer:
(x -1 )(x " + x+ 1 )"
Resolución:
F(x) está descompuesta en factores de primer y segun­
do grado, y las raices de segundo grado son imagina­
rias conjugadas, así que tenemos:
Bx + C Dx + E
(x -1 )(x ' + x + 1)' (x -1 ) (x̂ + x + 1) ̂ (x̂ + x + 1)
Multiplicando por F(x) ambos miembros: 
x̂ = A(x' + x+1)^ + (Bx + C )(x-1) +
(Dx + E )(x -1 )(x '+x+ 1 )
Desarrollando y agrupando:
x̂ = A x V 2 A x^+3A x '+ 2 A x + A
-C
-E
x V 2 A x^+ 3A x '+ 2A
+ B -B
+ C
-D
+ E
De donde el sistema de ecuaciones será: 
A + D = O 
2A + e = 1 
3A + B = O 
2 A -B + C - D = 0 
A - C - E = O 
Resolviendo el sistema obtenemos:
A — —• B — -1• C — — —• D —— —• E — —A - g , B _ 3 , C - 3 , ü - g , h - g
Y la descomposición será: 
x ' 1 x + 2
(x-1)(x '+x+1)' 9(x-1) 3 (X ^+ X + 1 )' 9{x^+x+1)
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a
,, x ̂+ 4x^-21x
P R O B L E M A S
1. Simplificar.
x ' - 9x
Resolución;
Factorizando numerador y denominador:
x(x^ + 4 x -2 1 ) _ xíx + 7 ){x -3 ) ^ x + 7 
x (x^ -9 ) x(x + 3 )(x -3 ) x + 3
- rr 2ax + ay - 4bx - 2by2, Simplificar: ------------------------^
ax - 4a - 2bx + 8b
Resolución:
Factorizando numerador y denominador: 
a(2x + y) - 2b(2x + y) (2x + y)(a - 2b) 2x + y 
a ( x - 4 ) -2 b (x - 4 ) " (x -4 ) {a -2 b ) ” x - 4
3. Simplificar: xy
3x^y - 3xy^
Resolución:
Factorizando en este caso solo ei denominador: 
xy 1
4. Simplificar;
3xy(x-y ) 3 {x -y ) 
x^ - 2x - 3
x - 3 
Resolución:
x ^ - 2 x - 3 (x -3 ) (x + 1 )
x - 3 " x - 3 "
5. Simplificar: ( l± ,b)^ - (c - d)^
(a + c) - (b - d)
Resolución;
(a+b)^-(c-d)^ _ (a+b+c-d)(a+b-c+d) a+b-c+d 
(a+c)*-(b-d)^ (a+c+b-d)(a+c-b+d) ~ a-b+c+d
6. Simplificar: -
1 2 a "-7a "-10a
Resolución;
16a^x-25x x(16a^-25)
a(12a^ - 7a - 10) a(4a - 5)(3a + 2)
x(4a + 5) (4a - 5) _ x(4a + 5) 
a (4a-5)(3a + 2) “ a(3a + 2)
7. Simplificar: a ̂- 25a
2 a '-8 a ^ -1 0 a
Resolución:
a (a "-25 ) a(a + 5 )(a -5 ) a + 5
2 a (a '-4 a -5 ) 2 a (a -5 )(a + 1) 2(a + 1)
8. Si a’ ’ - 1 se divide por (a -1 ), hallar el cociente.
Resolución: 
1 
a 1 - a a - 1
a - 1 a - 1 a (a -1 ) a (a -1 )
RESUELTOS
9. Reducir; ^ V ^ ^ +
I ■ ■ . .
B " ' "
2 ( x ^ - x )
X'' + X + 1 x + X'’ - X - 1 
Resolución:
Simplificando el segundo sumando:
x ^ -x+ 1 , 2x(x^-1)
X̂ + X + 1 x^(x + 1) - (x + 1)
x ^ - x +1 , 2 x (x + 1 )(x -1 ) 
x ̂+ x+ 1 (x+ 1)(x^- 1)
x ^ - x + 1 , 2x(x + 1 )(x -1 )
X + X + 1 (x + 1 )(x - 1 )(x + X + 1)
x ^ -x + 1 2x X + X + 1
X + X + 1 x + x + 1 x + x + 1
„ a ̂+ 3a^ + 3a + 1
= 1
10. Simplificar:
^ a-’ -2 a '+ 1
Resolución:
(a + 1)̂ (a + 1)̂ (a+1)= a + 1
(a=-1)^ [(a+1)(a-1)f (a + l)> -1 )= (a-1)^
aba -
11. Reducir. a + b
a + ab
a - b 
Resolución:
Efectuando en el numerador y denominador por 
separado;
a ̂+ ab - ab â
a + b a - ba + b 
- ab + ab a + b
12. Si: M 'a ' - b’ y N = a b' 
+ b'' a‘ ̂+ b' 
hallar MN.
Resolución:
Transformando y reduciendo primero M;
b + a
M =
í ■' ■'
-1 b ' - a '
â b' â b=
a b
b + a
ab
ab ab(a + b)
a^b"
b^-a^
M = ab(a + b) ab
(b + a)(b - a) b - a
Análogamente con N;
N =
í ^
- 1 í b - a
a b ab
b' + a'
b^+a^
a^b^
b - a
ab
N =_ b^+ a '
ab(b - a)
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