Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (43)

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Potenciación 
Binomio 
de Newton
o
D
a
Ö
Ü
Isaac Newton nació en Wooisthor- 
pe (Lincoinshire) el 4 de enero 
de 1643 y murió en Kensington 
(Londres) el 31 de marzo de 1727.
Fue un fisico, filòsofo, teólogo, in­
ventor. alquimista y m atem ático 
inglés. Es au to r de Philosophie 
naturaüs principia mathematica, 
m ás conocidos com o los Princi­
pia. donde describe la ley de la 
gravitación universal y estableció 
las bases de la m ecánica clásica 
m ediante las leyes que llevan su 
nom bre. Entre sus otros descubri­
m ientos científicos destacan los 
trabajos sobre la naturaleza de la 
luz y la óptica (que se presentan 
principalm ente en su obra Op- 
ticbs) y el desarrollo del cálculo 
m atem ático.
Newton comparte con Gottfried 
Leibniz el crédito por el desarro­
llo del cálculo integral y diferencial, que utilizó para formular sus leyes de la física. También con­
tribuyó en otras áreas de la matemática, desarrollando el teorema del binomio y las fórmulas de 
Newton-Cotes. Desde finales de 1664 trabajó intensamente en diferentes problemas matemáticos. 
Abordó entonces el teorema del binomio, a partir de los trabajos de John Wallis y desarrolló un 
método propio denominado cálculo de fluxiones. Fue respetado durante toda su vida como nin­
gún otro científico, y prueba de eüo fueron los diversos cargos con que se le iionró.
Fuente: Wífeipedia
\í\Q\atBrpa. 1B43 - Inglaterra, ¡727
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^FACTORIAL DE UN NÚMERO ENTERO Y 
POSITIVO
Se llama así al producto que resulta de multiplicar to­
dos los números enteros y positivos desde ta unidad 
tiasia el número considerado. Solo existe el factorial de 
cantidades enteras y positivas y su representación es 
la siguiente:
n! ; In : n| 
n factorial o factorial de n.
Por definición:
n! = 1 x 2 x 3 x . . . x ( n - 1 ) x n ; n e I N
21 = 1 X 2 = 2
4! = 1 x 2 x 3 x 4 = 24
6! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720
50! = 50 X 49 x 48 ... 3 x 2 x 1
(2n 4- 7)! = 1 X 2 X 3 ... (2n + 7)
n! = n(n - 1)(n - 2){n - 3)(n - 4)... 3 x 2 x 1
(2n - 4)! = (2n - 4)(2n - 5)... 3 x 2 x 1, (2n - 4) g IN
(4n + 1)1 = (4n + 1)(4n)... 3 x 2 x 1. (4n - 1)elN
(a + b)l = (a + b)(a + b - 1)... 3 x 2 x l . { a + b)eIN
( f ) ' = f ( f - C - 2 ) . ’' 3 > ^ 2 x i , a - b
abl = ab(ab - 1 )(ab - 2)... 3 x 2 x 1 , (ab) e ttí
Propiedades:
1. n! 3 o n e z ;
2. Por definición por convención
1! = 1 O! = 1
consecuencia: a! = 1 » a = 1 v a = 0 
Ejemplo:
(2x - 3)! = 1
Entonces: 2 x - 3 = 1 =»x = 2 
2x - 3 = O =» X = 3/2
3. a! = b! =» a = b 
Ejemplo:
Resolver: (x ̂- x)! = 720 
Resolución;
(x^ - X)! = 720 = 6! « x^ - x = 6 
Luego: x = 3 v x = -2
4. Todo factorial mayor contiene por lo menos un fac­
torial menor.
Ejemplos:
• n! = (n - 1)!n = (n - 2)!(n - 1)n
• (2n - 3)! = (2n - 3)(2n - 4>(2n - 5)(2n - 6)1
• (a + 2)! = (a + 2)(a + 1)a!
También:
• 20 x 19 X 18 x 17! = 20!
• 12 x 11! = 12!
5- n x n! = (n + 1)! - n!
Demostración;
(n + 1)1 - n! = n x n!
(n -h 1)n! - n! = n x n! 
n!(n + 1 - 1) = n X n! 
n!(n) = n X n!
Ejemplos:
5 X 5! = 6! - 5!
13 X 13! = 14! - 13!
-<♦ COFACTORIAL O SEMIFACTORIAL
Se define;
1 x 3 x 5
2 x 4 x 6
. X a (si a es impar) 
xa (si a es par)
6!! = (2 x 4 X 6)
Ejemplos:
71! = (3 X 5 X 7)
jm a m m m m m
Propiedades:
1. (2n)!} = 2 x 4 X 6 X ... X (2n )
(2 n)!! = 2 " X n!
8 » = 2" X 4!
2. S }(2n)!l = 2 x 4 x 6 x . . . x (2 n ) 
y ( 2 n - 1)!i = 1 X 3 X 5 X .. .X ( 2 n - 1)
=*{2n)l! (2n - 1)!l = 1 x 2 x 3 x 4 - 1)02n)
(2 n)!! (2 n - 1 )!l = (2 n)!
Importante: a!t * (ai)!
Pwque; 3!l = 1 x 3 a (3!)! = 6!
Ejemplos:
1. Hallar el valor de X en: = 11!
(X + 5 )! + (x + 6 )!
Resolución:
E scrib iendo el denom inador en función de (x -i- 5)!
(x + 7 ) !(x + 5 )! ^
( x + 5 ) ! + (x + 6 ) ( x + 5 ) !
(x + 5 ) !(x + 7 )! . . (x + 7)! ^
(x + 5) ! + [1 + x + 6 ] ' (x + 7)
^ ( X + | ) _ ! ^ ^ ^ 1 1 ! ^
=» X + 6 = 11 X = 5
2. Hatlarnen: ̂ + 4 ^ ^
(n + 3)1 + (n + 4 )! (n + 5)
Resolución:
Transformando la expresión:
(n 4 3 ) ! ( n + 4 ) f ^ 5 ,(n + 4)
(n + 3)! 4- (1 + (n + 4)) (n 4 5)
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(n + 4)! = 5! (n + 4) ̂
n + 3 = 5
(n + 4)(n + 3)! = (n + 4)5! 
n = 2
3. Hallar a en: =206 + a!
Resolución;
La expresión se puede escribir como:
(1 + a!)a! = 120 + 20a!
Hacemos; a! = m
Reemplazando; (1 + m)m = 120 + 20m 
Entonces: - 19m - 120 = O
-24
m — 5
(m - 24){m + 5) = O 
Si: m = 24 => a! = 24 = 4! => a = 4 
Si; m + 5 = O =» m = -5 =» a! = - 5 (imposible) 
Única solución; a = 4
4. Hallar x en:
(X - 1)(x - 2)! + x(x - 1)! + ( X + 1)x! = 864
Resolución;
La expresión se puede escribir como;
(X ~ 1)(x - 2)! +x(x - 1)(x - 2)! +
(x + 1)x(x - 1)(x - 2)! = 864
Factorizando:
(X -2)!((x - 1) + x(x - 1) + (x+ 1)x(x - 1)] = 864 
(X - 2)!(x - 1)[x" + 2x + 1] = 864 
(X - 2)!(x - 1)(x+ 1)̂ = 864
Descomponiendo el segundo miembro:
I-----------------------------------1
( X - 1)! ( X + 1)̂ = 24(36) =4 ! (6)'
Igualando: x - 1 = 4 = > x = 5 
x + 1 = 6 = » x = 5
X = 5
5. Hatiar el equivalente de la raíz cuadrada de:
A - (n + 2)!
Resolución:
Transformando (n + 2)1 en función de (n - 2)!;
(n + 2)! = (n + 2)(n + 1)n(n - 1)(n - 2)!
En el problema:
A = (n + 2 ) (n + 1 )n (n -1 )(n -2 ) í , ,
( n - 2 ) l
=» A = (n + 2)(n + 1 )n(n - 1) + 1 
Agrupando en la forma indicada y efectuando.
A = (n̂ + n - 2Xn̂ + n) + 1 = (n̂ + n)̂ - 2(n̂ + n) + 1 
A = (n ̂+ n - 1)̂
Se pide /A = n" + n -1
6. Hallar n en: 4096 =
Resolución:
La expresión puede escribirse;
(2 n -6 )!4096 = ( n - 3 ) ! [ 1 x 3 x 5 - ( 2 n - 7 ) ]
Multiplicando numerador y denominador por; 
[2 X 4 X . . . X (2n - 6)]
( 2n - 6 ) ! í 2x 4x 6x 8 , . . ( 2n - 6 ) ]
(n - 3)![1 X 2 X 3 X 4 X 5...(2n - 7)(2n - 6)]
= 4096
(2n-6)!
(2n-6) ! ( 2x1) (2x2) ( 2x3) . . . 2(n- 3) ^ 
(n -3 ) !(2 n -6 ) l
(n-3)veces
[ 2x2. . , 2 ] x [ 1 x 2 x 3 x 4 . . . ( n - 3 ) ] 
( n - 3 ) l = 4096
2"-^(n-3) !
( n - 3 ) !
.'. n = 15
= 4096 ^ 2" - ' = 2’ ' => n - 3 = 12
7. Reducir; N = [(3!)! + 2 ]!-[(3 !) + 1]!
[(3 !)!-1 ]! + (6)!+ [(3 !)!+1]!
Resolución;
Haciendo; (3!)! = 6! = a 
(a + 2) ! - ( a + 1 ) !
( a - 1 ) ! + (a) !+ (8 + 1)!
Escribiendo la fracción en función de (a -1)!
M (a + 2)(a + 1 )(a)(a- 1)! - (a + 1)a(a - 1)! 
(a - 1)1 + a(a - 1)! + (a + 1)a(a - 1)1
N = (a + 1)a(a - 1)l(a + 1) (a + 1)^a(a - 1)!
(a-1)!(a '^ + 2a + 1) ( a - 1) ! ( a+1) ^
^ N = a N = 6! - 720
8. Hallar X en: (x - 4)1 + (x - 3^ + (x - 2)! ^ 
( x ' - 7 x + 1 0 ) ( x ^ - 6 x + 8)
Resolución:
Escribiendo toda la expresión en función del facto­
rial del número menor (x - 2)! en el numerador y 
factorizando en el denominador:
(x -4 )! + (x -3 )(x -4 )! + (x -2 )(x -3 )(x -4 )l 
(x-5)(x~2)(x-4)(x-2)
( x - 4 ) ! [ l + x - 3 + x ^ - 5 x + 6] 
( x - 2 ) ^ ( x - 4 ) ( x - 5 )
( x - 4 ) ! ( x ^ - 4x + 4)
( x -2 ) ' ( x - 4 ) ( x -5 )
( x - 4 ) ( x - 5 ) ( x - 6 ) ! ( x - 2 ) - 
( x - 2 ) ^ ( x - 4 ) ( x - 5 )
=> (X - 6)1 = 4! ^ x - 6 = 4 X = 10
= 4!
= (4)!
= 4!
= 4!
<4 ANÁLISIS COMBINATORIO
Parte del Álgebra que estudia a los grupos, ya sea por 
el número de integrantes que lo conforman o por et 
orden en que están dispuestos y como se diferencian 
unos de otros.
Este tipo de agrupaciones se estudiarán en dos con­
ceptos bien definidos permutaciones y combinaciones.
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