Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (46)

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c;',5^- 11 2“'̂
i =* k = 12
CÍ25"- 12 2 ^ 2
(1)
.(2 )
Luego el coeficiente será: C",5''
También por dato: 3I< = 36 
Luego el coeficiente será: 0^25"
De (1) y (2) por dato:
Cí ,5" - " 2” = ’ '2'^
Degradando el indice inferior del segundo miembro: 
^ 2 : ^ n - 1 1
Hallar el término independiente del desarrollo de: 
Resolución:
Cualquier término del desan’ollo estará expresado por:
t , . , - c ¡ n x r “ (x- ' "r 
= ,..(1)
Para que sea término independiente:
26 - 2k - = OO
En (I): C; ̂=
k = 6
13x12x11 x 1 0 x 9 x 8
1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
CP = 1716
Calcular el coeficiente del término dei desarrollo 
del binomio (1 + x f ° que es el doble del coeficiente 
del término anterior.
Resolución:
Del problema: t, , , = Cf(1)“ ’ "x“ = C fx ‘
También: t, = = Cf_,(1)
Por dato: C f = 2 C ¡ \
20 - k + 1
,20-k • 1„k-1 = c 20 k-1
k-1"
C¿ a _ ( '■ ¿ V _ k 1—^6 —
C f = 38 760
Cf:, = 2Cf_, - k = 7
20x19x18x17x16x15
1x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 
. C f = 77 520
Determinar x en /^/2 ■ ^
^/3.
sabiendo que en el
desarrollo del binomio la relación entre ei séptimo 
término contando desde e! principio y el séptimo 
término desde el final vale 1/6.
Resolución:
El séptimo término contado del principio es;
El séptimo término contado del extremo final será: 
t. final: = C‘ {3-'''=y ^ = C^,3-'¥'(2)^
Por dato: ¿ ^ 6 ' ' ^ ’ = 66
Luego:
C’ 3 <— '(2)̂ 
x - 12_ •. X = 9
5. Si un término del desarrollo:
B(x) = 1 es 3 ^2'
Calcular m.
Resolución:
Efectuando la expresión que hace de base:
íx^
Entonces: 
B(x) = = 8"(x® + x’ ®)"
De donde:
t,_, - C ^ i x Y - ' ^ i x - y = '«^(sr
t^ ., = 8""
Pero: S'" C™ =3x2'^ (I)
Por condición: 8m - 16k = O k
Reemplazando en (I): 8'" 0 /̂2 = 3 x 2'"̂
Por inspección: = m = {2; 4; 6; 8}
Para m = 4; se tendrá: 2' ̂ x 2 x 3 = 3 x 2’ 
.-. m = 4
6. Determinar (a + b) en la expansión de:
4x^" yB(x: y) = de modo que admita un
y“ -" 2x"
solo término central cuya parte literal sea x̂ ’’ y’ ,̂ 
Resolución;
Por propiedad;
b ; 4x
2\y
íx*
- y
2x^ /
t ,= C : , , ( - 2 r x 
Por da'
Luego;
Por dato: x̂ " y'^ = x'"’ ' ’“ y"
f =15
• (a - 1)b = 24 
a + b = 11
Hallar el número de términos irracionales y racio­
nales que tendrá el desarrollo de: (/x +
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Resolución:
Sabemos que las expresiones algebraicas se clasi­
fican en:
(Enteros (x̂ ; f ; ẑ )
EA
Racionaies (2)
[Fraccionarios (x' ,y ,z }
irracionales^ (x^'^;
Primero se calcula ei número de términos raciona­
ies y los irracionales por diferencia:
Cualquier término del desarrollo estará expresado 
por;
Donde: O < k < 42
Calculando ei número de términos racionales:
21 - -|k g E; luego; k = 6D
Para ello el exponente debe ser entero; 
k = {0; 6; 12; 18; 24; 30; 36; 42}
Entonces habrá 8 términos racionales.
Luego;
N.° de términos' 
irracionales f
N.° totai dej 
términos I
'N.° de términos ] 
1 racionaies I
Reemplazando;
n.° de términos irracionales: 43 - 8 = 35
8- Hallar el coeficiente de x y V en ei desarrollo de
(X - 2y + 2zf
Resolución:
Agrupando el trinomio y dándote una forma binómi­
ca: t,., = C,^x-2y)^-^(2z)"
Luego, cuatquier término dei desarrollo estará ex­
presado por:
t , , , = C«2 ̂( x - 2 y ) ^ - “ z''
La única forma que esta expresión contenga a 
ocurrirá si p = 3. 
te = C^2=(x - 2y fz^
Para el binomio (x - 2 y f en su desarrollo, cual­
quier término estará expresado por; 
t ^ . , = C^2^C®x'- "’( - 2 y r z '
Analizando para que esta expresión contenga a 
ŷ ; m = 4
Finalmente se tendrá; = C32^C42^x 'yV 
El coeficiente será;
C32'C® = 280 X 128 = 35 840
9. Hallar n en:
CS + 3C?-f5C; + 7C3+... + (2n + 1)C:; 45 
Oí + 2C2 + 305 + 4C4 + ... + nCn 22
Resoiución:
Del denominador.
D = C U 2C2 + 3Ca 4- 4C4 + ... + nc;; = n X 2" ■ '
Degradando los indices:
D - i (njcs V 2 jc r V 3 ^ c r V 4 5 c r '+ . . .+ n n c ^
D = n(C" ’ + C?-' + C r ' + C r ’ + -+ C n i;) =n2"- ' 
Del numerador;
N = Co + (■* + 2)C? + (1 + 4)C"2 + (1 + 6)CS
+ ... + (1*C2n)C;:
N — Cq + C" + C2 + C3 4- C4 + . . . + Cn
+ 2[C? + 2C2 + 3C3 + 4C4 + ... + nCn]
N = 2" + 2n X 2" ■ ■' = 2" + 2" x n
Reemplazando en la expresión dada se tendrá:
2" + n2" 2"(n+1) 2 + 2n 45
n2"- 2"(nx2' 22
• • ri 44 n QFI Qn Qfl Qfl
10. Reducir:S = ^ + ^ + ^ + ^ + . . . + ^
Resolución:
(n + i ) s = í = ^ c ; . < í ± l ) c ; + í = ^ c ;
+ ([l± l> c ;+ ...+ ín ± :!lc ;4 ̂ n +1 "
(n + 1)S=Co‘ ’ + C r ’ + C2’ U C3' + C " : l - 1 
2 " * ' - 1S = n + 1
Form ula de Leibniz (n e m )
Se utiliza para determinar ei coeficiente de un término 
cualquiera en el desarrollo de un binomio elevado a un 
exponente natural.
Si queremos calcular el coeficiente de x?’ ; ; Xj ̂; es­
tará expresado por:
>n Z n ! x^.xí^..xL‘“ X, + X2 + X3 + ... + x j = —,—T— ¡— ------^ ̂ ̂ a,!a2!u3! + ... + aJ
Donde a, + a2 + 03 + ... + = n
Ejemplos:
1. Calcular el coeficiente de x® en ei desarrollo de:
(1 + 2x - x̂ )̂
Resolución;
El coeficiente estará dado por:
^ 5! /.va,o„Nb,
alblci ( i r {2x)‘’ (-x^^
Donde; a + b + c = 5
1 l l
2 0 3
1 2 2
O 4 1
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2 T ( | ^ ( 1 « 2 x)'( -xY + (1)'(2x) V x¥ +
^ ( 1 ¡ ”(2x)-(-x1’ = 30x=
Coeficiente = 30
2. Calcular el coeficiente de x' en el desarrollo de:
(1 - 3x - 2x̂ 6x')''^
Resolución:
Donde: a + b + c = k 
Pero: a b c k 
0 0 11 
1 1 0 2
3 0 0 3 para que resulte x^
El coeficiente será:
( | ) ( - 3)“(2)^(6) ( | ) ( | - l ) ( - 3 ) \ - 2)^(6)°
-t
n i r / n 1 / n ̂ X + í x^' a L0 1 \2
0!0!1! ' 11110!
( f ) ( f - ' ) ( f - 2 ) ( - 3 ) V 2 ) “ (6)»
" 3! 0101
■ 3 3 3
Binom io de newton (n ^ im)
Para estos casos se usa el coeficiente binómico:
X " ^ a ‘
Donde deberá tenerse en cuenta las observaciones si­
guientes:
1. El desarrollo de (x a)" es una serie de un número 
ilimitado de términos.
2. Es necesario tener el binomio en la forma: (1 + b)" 
E;emp/os;
/n\ /n\ /n\ ̂ /n\ ,
• (X + a f = x"(1 ̂ : -1 a < 1
 ̂ X '' X
3. Si X es pequeño se puede considerar:
(1 - x^ ' ' 1 • (mx)
Demostración;
■ n i r\\ ¡ü \ -, / n ■.
( 1 + x r = l o ) M i | ^ + l 2 r ^ ! 3 , r
1 f n x + n ( n - 1 ) x ‘ n ( n - 1 ) { n - 2 ) x^ 
(1 + X ) 2 ! ^ 3 !
Si X e s p e q u e ñ o :
n(n - 1)x ̂ o y ^ Q
(1 + X)" s: 1 + nx 
Ejemplo:
Calcuiar
Resolución:
Como: ^/28= 28’ ' 
Escribiendo: 28 = 27 + 1
(27+ 1)’'^« 2 7 ( 1 + ^ '
3 ( 1 . i ) , p » 3.03
Cálculo del término general
Si (x + a)'’ =
Tenemos: t, = (o|^
t, =
n\ n - 2 2 na + 2 .)"
a + 3 X
t, =
t. =
t . = (i9)x" ’V
fórmula del término general
Donde: n; exponente del binomio
(k + 1): lugar del término 
x: primera base 
a: segunda base.
Ejemplos:
1. Haliar el tj5 en {x’ - 
Resolución:
t., = ( “ ) ( x T “ ( ' ^ r
2. Hallar el séptimo término en (1 + x) 
Resolución:
t . - t « , , = ( i ( i )^ V 
'6
' 2 6 !
„hhhhhk
1 x 2 x 3 x 4 v 5 x 6
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t = t - -21
<4 EL TRIÀNGtLO DE PASCAL 0 TARTAGLIA
El sistema de tabuiadón para calcular coeficientes de 
potencias de binomios o triángulo aritmético, rectán­
gulo de Tartaglia o triángulo de Pascal, es uno de los 
modelos numéricos más famosos en la historia de la 
Malemàlica; lai pareciera inagotable de riquezas mate­
máticas, ofrece una notable correspondencia entre su 
simple construcción, los coeficientes del desarrollo del 
binomio de Newton y tos relevantes conceptos de com­
binaciones y variaciones del análisis combinatorio y el 
cálculo de probabilidades.
Durante la edad media oriental, en China, el matemá­
tico Chia Hsien (1100 d, C,) lo define como sistema 
de tabulación para calcular coeficientes de binomios. 
En ta obra del matemático chino Chu Shih Chieh 
(1270 -1330 d. C ), Ssu - yuan yu - chien (Espejo pre­
cioso de los cuatro elementos) escrita en 1303, en la 
primera página aparece un delicado diagrama (ver figu­
ra) del triángulo; la obra refiere su estudio a los “cuatro 
elementos" como las cuatro incógnitas figurativamente 
llamadas cielo, tierra, hombre y objeto.
i t
Estudia ecuaciones simultáneas, ecuaciones elevadas 
a exponentes tan altos como el decimocuarto,el algo­
ritmo fan-fan (redescubierto por William Horner y Pao­
lo Ruffini en 1819), la suma de series y progresiones 
geométricas y aritméticas, y una disposición del bino­
mio (x -H y)" con los coeficientes dispuestos hasta la 
octava potencia, valiéndose para ello el autor dei que 
llama método celestial o método muy antiguo para cal­
cular las potencias hasta la octava inclusive.
Posteriormente, la Alemania renacentista dará a cono­
cer su contenido al mundo matemático europeo en la 
segunda mitad del siglo XVI. con el matemático alemán 
Michael Stifel (1487-1567) y su obra Arithmetica inte­
gra (1544) considerado como el más importante de los 
libros de álgebra impresos hasta esa época (aunque 
algunos años atrás, en 1527. un dibujo del triángulo 
habia aparecido decorando la portada del libro sobre 
aritmética comercial Rechnung del cosmógrafo y mate­
mático alemán Petrus Apianus).
El matemático italiano Niccolo Tartaglia estudia en su 
obra, que consta de tres volúmenes publicados entre 
1556 y 1560. General trattato di numeri et misure (Trata­
do general sobre el número y la medida) una disposición 
numèrica similar que llamó Rectángulo aritmético.
El matemático francés Blaise Pascal (1623-1662) es el 
primero en relacionar rigurosamente los números com­
binatorios con el Teorema del Binomio (ya en alguna 
forma conocidos desde el siglo XIV), en un tratado es­
crito en 1653 y postumamente publicado en 1665 (que 
incluía también su muy particular método de inducción): 
Traité du triangle arithmétique (Tratado del triángulo 
aritmético), deduciendo nuevas propiedades y aplica­
ciones del triángulo a la teoria combinatoria y a la teo­
ria de probabilidades. En 1886 el matemático escocés 
George Chrystal lo denomina Triángulo de Pascal en el 
volumen 1 de su obra Álgebra.
Construcción del triángu lo
Se ubican los números en un arreglo triangular con 
unos (1) en el vértice superior y en los lados adyacen­
tes a dicho vértice. Cada uno de los demás términos 
resulta de sumar los dos números inmediatamente su­
periores a su izquierda y a su derecha, en una dispo­
sición infinita. Las lineas o filas se enumeran de arriba 
hacia abajo y los términos, las verticales o columnas 
y las diagonales, de izquierda a derecha, partiendo de 
cero y considerando la simetría.
1
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
6 15 20 15 6
7 21 35 35 21 7 1
Diagrama del triángulo de Pascal; en él se muestran las 
ocho primeras filas ( de la fila O a la fila 7).
Algunas propiedades en el triángulo de Pascal
Las tres propiedades siguientes, son textualmente ex­
traídas del Traité du triangle arithmétique de Blaise Pas­
cal y referidas a un particular diagrama con un giro de 
45° con respecto al actual.
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