Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (47)

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1 1 1 1 1 1
2 3 4 5 6 7
3 6 10 15 21 28
4 10 20 35 56 84
5 15 35 70 126
6 21 56 126
7 28 84
8 36
9
1 1 
9
En todo triángulo aritmético, si dos células son con­
tiguas en la misma bas6, la superior es a la inferior 
como el número de células desde la superior hasta 
lo alto de la base es al número de células desde la 
inferior hasta abajo inclusive.
En todo triángulo aritmético, la suma de las células 
desde una fila paralela cualquiera es igual al núme­
ro de combinaciones dei exponente de ia fila en el 
exponente del triángulo; propiedad que lo relaciona 
con la teoría combinatoria.
En un juego de dos jugadores, a cada uno de los 
cuales le falta un cierto número de partidas para 
terminar el juego. Encontrar mediante el triángulo 
aritmético el reparto que hay que hacer (si quieren 
separarse sin jugar), teniendo en cuenta las parti­
das que le faltan a cada uno.
Resolución; tómese en el triángulo la base en la 
que haya tantas células como partidas les falte a 
los dos juntos; a continuación, tómense en esta 
base tantas células seguidas, comenzando por la 
primera, como partidas le falten al primer jugador, y 
lómese la suma de sus números. Por tanto quedan 
tantas células como partidas le faltan al otro juga­
dor, Tómese de nuevo ta suma de sus números. 
Estas sumas son la una a la otra como tas ven­
tajas recíprocas de los jugadores. Esta particular 
propiedad, relaciona al triángulo de Pascal con el 
problema de determinar las apuestas entre dos ju­
gadores que juegan varias partidas.
Las propiedades que se proponen luego hacen re­
ferencia al diagrama que se usa en la actualidad y 
que mostramos a continuación:
1 filaO
1 1 fila 1
1 2 1 fila 2
1 3 3 1 fila 3
1 4 6 4 1 fila 4
1 5 10 10 5 1 fila 5
1 6 15 20 15 6 1 fila 6
7 21 35 35 21 7 1 fila 7
8 28 56 70 56 28 8 1 fila 8
El término situado en la fila n y la columna m es el
c ,numero
Los unos en el vértice superior (o fila cero) y los 
lados adyacentes son fácilmente verificables me­
diante:
n /n - i °
n 0 0 „
= 1, para todo n > O 
Si la simetría bilateral, consecuencia de la relación.
n
n - m
que expresa la igualdad de los números colocados 
simétricamente respecto del eje vertical (eje de si­
metría del triángulo). Todas las filas son simétricas 
respecto a dicho eje, pues la propiedad de simetría 
se consen/a al pasar de una fila a otra.
La enésima fila contiene n + 1 términos- 
La diagonal nula da el equivalente en el espacio 
cero y solo puede concebirse como formada por el 
punto (ei vértice) en el que aparece el número 1. 
La primera diagonal está formada exclusivamente 
por unos (1).
La segunda diagonal está formada por los núme­
ros naturales.
La tercera diagonal proporciona los números trian­
gulares 1; 3; 6; 10; 15; ... así llamados por ser el 
cardinal de un conjunto de puntos que componen 
una disposición triangular con n puntos por lado en 
el espacio bidimensional. Cada uno de elfos se de­
duce del número triangular anterior sumándote el 
número de términos anteriores incluyendo el selec­
cionado.
La expresión del enésimo número triangular
^ ̂ nos dice cuántos términos del triángulo de 
¿ /
Pascal contiene sus n primeras filas, desde Ja cero 
hasta la n - 1.
La cuarta diagonal contiene los números tetraédri- 
cos y piramidales o triángulo-piramidales 1; 4; 10; 
20; 35; ... que se obtienen por adición de triángulos 
sucesivos en el espacio tridimensional.
El enésimo número tetraèdrico está dado por la ex-
l n + 2 \presión y geométricamente representa el
número de puntos de una red piramidal de base 
una red triangular de orden n.
La quinta diagonal 1; 5; 15; 35; 70; ... da el número 
de puntos que forman disposiciones triangulares 
en el espacio ( n - 1)dimensional.
La suma de los cuadrados de los números de una 
fila es igual al número del mismo triángulo.
La suma de los términos de la enésima fila es equiva­
lente al doble 2n de la suma de la siguiente fila n - 1.
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La suma de los números de la fila n es 2".
La suma de todos los números situados sobre 
cualquier diagonal hasta una cierta posición, es el 
número situado directamente debajo y a la dere­
cha.
La suma de las diagonales de menor pendiente for­
man la famosa sucesión de Fibonacci: 1; 1; 2; 3; 5: 
8; 13; propiedad no conocida por Pascal, pues 
fue descubierta recién a finales del siglo XIX.
Si se eliminan diagonales del lado izquierdo dei 
triángulo se obtienen sumas parciales de la suce­
sión de Fibonacci (propiedad descubierta por el 
matemático Verner E. Hoggatt Jr.J: si se eliminan 
k diagonales, se obtienen las sumas parciales de 
orden k de la sucesión de Fibonacci.
La fila n contiene los coeficientes del desarrollo 
de las potencias enésimas de! binomio de Newton 
(x + propiedad que relaciona inmediatamente 
al triángulo de Pascal con la combinación elemen­
tal y la teoría de probabilidades, Y la expresión:
n - 1 
m
ín -1 
\m - 1
dada por M. Stifel (1544), permite calcular recursi- 
vamente estos coeficientes binomiales.
Todos los números de la fila n son impares si y solo 
si n = 2' - 1 para algún entero r.
Todos los números del interior de la fila n (excep­
tuando los extremos) son divisibles por n si y solo 
si n es primo.
■ ■ ■ O P R O B L E M A S RESUELTOS l o * “ "
1. Si A = {x e Z ' /3 ■lOx
indicar el valor de; a 
R e s o lu c ió n :
'lOx 
3
-4196 
b + c
0} = {abe}
De A: 3Í = 4196 5x ;xe2Z-
Desarrollando los coeficientes binómicos: 
3(10x)(10x- 1)(10x-2) 4196(5x)(5x- 1)
1 x 2 x 3 ~ 1x2
2(5x)(10x - 1)2(5x - 1) = 4196(5x)(5x - 1)
4(10x - 1) = 4(1049) = 10x - 1 = 1049 ^ x = 
105
Luego: A = {105} 
.-. a -f b + c = 6
{abe}
2. ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 12 ju­
guetes entre 3 niños, de tal manera que cada niño 
reciba cuatro juguetes?
Resolución:
N.° de juguetes: 12
• Para el 1.®' niño; el N." de maneras en que se 
le distribuye los 12 juguetes de tal manera que 
reciba 4 es:
• Para el 2.° niño, el N.° de maneras en que se 
le puede distribuir 8 juguetes de manera que 
reciba 4 es : C"
Para el 3.“' niño, el N.° de maneras en que se le 
distribuirá 4 juguetes de manera que reciba 4 es:
Por principio de la multiplicación, lo pedido viene 
dado por: C\- x C® x C4
Calculando c/u se tiene: 495 x 70 x 1= 34 650
3. Si: C!|' + C2 + C3 C|;_, = 30, hallar el valor den.
Resolución:
Sumamos: Cq y C" (Co=C"=1) 
=» Cq + CÍ + C2 + + C„
Conocido 
2" = 30 4- 1 + 1 ^ 2" = 2’
Cn = 30 + Co 
n= 5
C"
En un estante hay 4 libros de Aritmética y 5 de 
Geometría. ¿De cuántas maneras diferentes se 
pueder ̂coger 5 libros de modo que 2 sean de Arit­
mética y 3 de Geométrica?
R e s o lu c ió n :
4 libros de A 5 libros de G
• N.° de maneras de 
escoger 2 libros 
de A: C5
• N.° de maneras de 
de escoger 3 libros 
deG:CÍ
Por principio de la multiplicación, el N.° de maneras 
de escoger 5 libros, donde 2 son de A y 3 de G:
C2XC3 = 6 X 10 = 60
Se quiere seleccionar 5 preguntas de un total de 
12, pero 2 de ellos no pueden escogerse a la vez. 
¿Cuántas formas existen?
R e s o lu c ió n :
12 preguntas: A. B; C; ...: M
• Si se escoge A y no B = hay que escoger 4 pre­
guntas de las 10 restantes ^ N.° de formas: C''^
• Si se escoge B y no A (similar al anterior =» N.°
de formas: Ĉ ”
Si no escoge A ni B €5°
.'. N.° total de formas: 2Cl° + Cl° = 672
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