Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (52)

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n
P R O B L E M A S PROPUESTOS o
1. Indicar la suma de los términos máximos del de-
P 1sarrollo de (a + b)" para: a = .^ ,b = - : ^ y n = 6O ^
6.
A) 27
« i
32
E)N. A.
| S ( m - „ ) ^ 2 í m . r
« S
2 (m . n)2. En la expansión de f vx‘
el término cuyo coeficiente es 2C?8n” , contiene a x 
elevando al exponente 12n. Hallar el valor de
A) 1 
D)4
B)2
E)5
0 3
3 . Calcular el valor de k en el desarrollo de: (1 +
de manera que el término genérico t,,,,, sea al mis­
mo tiempo mayor que los términos anteriores y 
posteriores en dicho desarrollo.
A) 96 
D)64
B)84
E}51
O 72
4 . Haliar el coeficiente máximo del desarrollo de:
( M ^ r
c, f (I)'B i f d í
E) N.A.
Sumar: C^ + 2C" + 30^ + 4C3
A )n2"" ' B)(n + 2)2"-
D )(n + 1)2" ' E) n2''
Efectuar: C" C2 ci
2 + 3 4 ■
A )3 "- ’ -1 
n - 1 B) n + 1
D) n + 1 E) n + 1
Sumar; 2^C? 2^C'¡
+ 2 ' 3 +
A) 2" ’ -1 
n + 1
D) n - 1
4 ( n + 1 ) c ; ^
C" 
n+ 1
3% 1 
n -1O
n + 1
4 ''- 1C) n + 1
8. Calcular la suma de: 2C- + 8C2 + 24C3 + 64C4 + 
n sumados
Ai
0 ( ^ ) 6 ^
B)
E ) ( f ) r
9 . Cuántos términos posee el desarrollo de (x̂ + x 
Sabiendo que dos de sus términos consecutivos 
contienen a x" y x, respectivamente.
A)10 B)2 0)8
D)9 E)N.A.
10 . Determinar la suma de los valores de n en 
(x̂ - x y , para los cuales el desarrollo de la ex­
presión anterior admite solamente 8 términos ra­
cionales enteros.
A) 40 
D)30
B)60 
E) N.A.
O 10
11. Señalar el lugar que ocupa el término de máximo 
valor, al desarrollar (5 + 3x)'®, cuando: x = 4O
A) 7.= 
D)3.^
B)4.° 
E) 6.”
0 9.
12 . Determinar el coeficiente del término del desarrollo 
de: (2x̂ - en el que los exponentes de x, y ,
z en ese orden forman una progresión aritmética.
C) 354A) 495 
D) 520
B) 201 
E) N.A.
1 3 . Si A, B y C son los coeficientes de tres términos 
consecutivos del desarrollo de (a + b)", los cuales 
cumplen: A + 28 + C - Ĉ g. Hallar el número de 
términos de la expansión del mismo.
A) 39 
D)44
B) 34 
E)N, A.
C) 40
1 4 . El coeficiente de x" en el desan"ollo de (1 - xf" es de
la fonna: , , . Obtener el valor de (a + b + c),(bn)!(cn)! ' '
sabiendo que n es par.
A) 8 
D) 10
8)2
E)6
0)5
1 5 . Señalar cuántos términos fraccionarios admite la
4expansión de:
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A) 11 
D) 17
B)2 
E) N.A.
C) 30
16. En la potencia de (2 + 3x̂ )", el coeficiente de x̂ “ 
es el cuádruplo del coeficiente de x̂ .̂ Señalar el 
número de términos de su desarrollo.
A) 20 
D) 44
8)31
E)38
C) 17
17. Calcular el valor de a en la potencia de; ( /̂x 
sabiendo que dos términos consecutivos del desa­
rrollo son de igual grado.
A) 4 8)0 0 3
D)1 E)N.A.
18. Qué valor de n verifica:
Ĉ + 2C2 -I- 3C3 - I - ... + nCp =11 264 
O 11A) 9 
O) 12
B) 10 
E) 13
19. Proporcionar el valor de x que verifica:
^ ^ , I C , _ 2 1
1 2 3 x + 1 2
A ) 1 B)2 0 3
D)4 E)5
20. Hallar el valor de a, si en la expansión de
(3- u ^ + dos términos cualesquiera pre­
sentan igual grado.
0 4A) 2 
D)5
8) 3 
E)6
21. Al desarrollar (x® - 1)"(x" + x" + 1)'"(x' - 1)"", se 
obtienen 25 términos. Indicar la suma de los expo­
nentes de su desarrollo.
A )1080 
D )1008
B) 180 
E)1880
O 1800
22. Hallar el número de términos que se debe tomar 
del desarrollo de (1 - x)’ ̂para que la suma de sus 
coeficientes sea 820.
A) 38 
D)41
B)39
E)42
O 40
23. El valor de x es muy pequeño, de tal modo que 
su cuadrado y demás potencias superiores pueden
despreciarse. Hallar el equivalente de:
X + 1
3 17x
x + 1
3 - 19x 
12
8) 2 23x
12 
E)N.A.
C) 24 23x
12
24. Indicar el coeficiente de x̂ ̂ en la expansión de:
(1 - 2x + 3x̂ - x V x')"
A )-10 8)10 0 1
D)-1 E)N.A.
25. En la expansión de (1 - 2xy ̂+ hallar el coefi­
ciente cuya parte literal toma la forma x̂ ̂ŷ .
A) 672 
D)384
B) 512 
E)482
0 32
26. Si el desarrollo de (1 + x + x ) es:
3o + a, + â x̂ + ., + a^x'" 
determinar el valor que asume: 83 + â
0 6A) 5 
D)8
8)7
E)9
27. Efectuar: c " + c " - v c r ^ + 
A)C"-^ B ) C ^ ^ '
D )c " : í - ’ E)cr.^
Cn-K
O Ĉ
28. Si Co,C",C2..-C" son los coeficientes en el desarro­
llo de (1 + x)^ siendo n un número natura! no nulo. 
Hallar el valor de:
Cjj — 2C" + 3C2 ~ 4C3 +
A)-1 
D) -n
8) O 
E)n
(-1)"(n + 1)C"
0 1
2n o ,k p 2 n - 1
29. Efectuar: S = £ ( | )
A) I 8) 2n 
E) N.A
■25
> 4 , -1
30. Efectuar: (CJ)̂ + (C?)̂ + 3 { C l f + ... + n(C:i)̂
A) C f:V 8) C^" 0 )0 "^ "
D)c;;- ’ E) c^"V
31. Sumar: {C^,f + 2 { C l f + 3 ( C l f + ... +
(2n)l gj (2n + 1)!A)
C)
E)
n!(n - 1)!
(2n)! 
n!(n + 1)1
(2n)! 
ni n!
D)
(n - 1)!(n + 1)1
(2n - 1)l 
(n - 1)!{n + 1)!
32. Reducir: C^C^ + C"Cp,, + CjC _̂2 + ... + CoCo
A )c '" - " B)c™,," O c - j ;
D) C -:; E)
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33. Reducir:
CoĈ oo + Ĉ Cgg’ ' + C2C9e'^+ ... 101 términos. 
V m > 100 A m G S"
A)2C™
D)2C?Í
B) 2"'Cl
E)2'^q
0 2X^0
34. Calcular el valor de n, si se sabe que el desarrollo
de contiene solo 15 términos enteros.
A)21 B)22 0 23
D)24 E)25
35. Hallar ia suma de todos los elementos de la distri­
bución triangular con n filas.
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
n'(n+ 1) 
2
n"(n+ 1) 
2
n^(n^+ 1)
B)
D)
n(n + 1)^(2n + 1)
n (̂n ̂-H 2n + 1)
36. Sumar (CS')' + (C n ^ + - + ( C f
A) m 
D) m!
(m - i ;
B) c ^ ; O
E)0
(2m)l
(ml)^
37. Hallar el equivalente de
C r ’ + 2 [C2 + C5 ' + ...+c¡]
A) n
n(n + 1)
B)
C)
n(n+ 1)(2n+ 1)
P n(n+ 1) n(n + 1)(2n + 1)
' 2 6
n(n + 1)(2n + 1) ,
’ 6 '
38. Determinar para qué valor de rt, aparece en el de­
sarrollo de (Va + /̂b + ‘‘/c f un término de la forma 
abe
A) 12 
D) 8
B)9 
E) 15
O 16
39. La suma de coeficientes del desarrollo:
[{x̂ + 2xy + / )Y , es 2̂ “. Hallar el antepenúltimo 
término.
A) 271xV' 
D) 278xV°
B) 276xV^ 
E) 280xV’®
O 277xV'^
40. Hallar número de términos del desarrollo: 
{x -I- y + z + w)̂
A) 16 B)20 O 10
D)18 E)21
41. Si en el desarrollo del binomio {ax® + bx°)", los tér­
minos de lugares (a + 3) y (b - 1) equidistan de los 
extremos, además la suma de todos los coeficien­
tes es 27, calcular la suma de todos los exponen­
tes de la variable x en su desarrollo.
A) 20 
D) 14
B) 18 
E) 15
O 16
42. Suponga que se quiere expandir la expresión 
(x + y + z)̂ ’ . ¿cuál es el coeficiente del término 
x 'yV “?
A) 103,103 B) 240,042 C) 408.408
D) 671,125 E) 362,362
43. Calcular el coeficiente de x® en el desarrollo de:
(1 + x' + x y
A )182 B)232 C)266
D)320 E)418
44. Dado el binomio (x̂ - ŷ ")®, en la expansión un tér­
mino es de la forma a x 'H a l la r el valor de: a + n
A) 27 B)26 0 24
D)30 E)20
45. Sea:
P{x) = (1 + x) + (1 + x)̂ + (1 + x f + ... + (1 -f- xy^ 
calcular el coeficiente de x̂ .
A) 364
D)367
B) 365 
E)368
C) 366
46. Indicar verdadero (V) o falso (F) en las proposiciones:
I. 1! + 2! + 3! = 6!
II. Cl = Ĉ ^ x = 4
III. 31! = 720
A) FW 
D) FVF
B) VFF 
E) WF
O FFV
47. Calcular el valor de n en:
(n + 2)! + (n + 1)1 + ni ̂
(n+1)! + n!
A) 3 
D) O
B)2
E)4
C) 1
48. Calcular la suma de los valores de x que verifica la 
igualdad: C' = 2x
A) 2 B )-3 0 4
D)5 E)0
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49. Efectuar la suma:
3 ^ 101-91 ^ 9! - 85
8!
A) 270 
D)290
7!
B)276
E)294
2! - 1' 
O!
C) 285
50. Calcular el grado absoluto del octavo término en el 
desarrollo de: (3x +
A )12 B)17 C)15
D)16 EÌ13
51. Hallar eí término que contiene a x” en el desarrollo
y.
de: ( x̂ y-̂ + - '
A)
D) 620x'V^“
B) 580x'\^ 
E) 680x'V®
C)610xV
52. En el desarrollo del binomio 
clonar el término independiente
3f^ IVVa' - — I , propor-
A)4004 
D) -4004
B)3003 
E)6006
C)5005
53. Sea el binomio | + -̂ j . Si la suma de los coefi­
cientes de los términos primero, segundo y tercero 
es 46, señalar el número de términos del desa­
rrollo,
A) 8 
D) 11
B)9 
E) 12
C) 10
54. Hallar el término central en la expansión del bino-
mlo:
A)921x^ 
D)924x'
B)920x 
E) 926x-
0 918X "
55. Determinar el número de términos que son fraccio­
narios en el desarrollo de: | x® - 2x ̂+ |
A) 22 
0)25
B) 23 
E) 26
0 24
56. En el desarrollo del binomio | x - / x , el coefi­
ciente deltercer término es mayor que el coeficien­
te del segundo término en 44 unidades. Calcular el 
término que no contiene x.
A) 150 
D) 165
B) 141 
E) 180
O 161
57. Hallar: S = 3CÍ - 70" + 110^ + ... + (4n - 1)C[:
A) 2'' n - 2" ■ ' 4- 1 
C )2"-' -2 "n 
E)2"’ ' + 2"-^ + 1
- 2"+ 1
D) 2^n - 2" ■ '
58. ¿Qué valor asume n de manera que en el desa­
rrollo de (x" + el producto de bs términos
centrales sea constante?
A) 1/3 
D)4
B) 1/2 
E)6
C)2
59. Sabiendo que en la expresión:
C^a"; 3C;a''’ '; S^Cja"-^ ...: SX" 
los términos que ocupan los lugares noveno y déci­
mo tienen coeficientes iguales. Hallar su expresión 
binómica de origen.
A) {a + 3)'° B)(a + 3)” O (a - 3)’'
D)(a + 3)' ̂ E){a - 3 ) ’^
60. Si se verifica que/i’'* 5 < 2.'5-x-oi4is92 calcular el
número de términos del desarrollo de (a + b + o + 6)“.
A) 28 B)32 0 56
D)72 E)81
61. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar con 10 
rectas?
A)210
D)96
B) 120 
E)240
O 110
62. Salvador tiene que contestar 8 de diez preguntas 
en un examen. Si las tres primeras son obligato­
rias, ¿de cuántas maneras puede escoger las pre­
guntas?
A) 45 
D) 18
B)25
E)6
0 21
63. Determinar el número de planos que se pueden 
formar con 8 puntos sí se tiene que no hay más de 
tres puntos que sean coplanarias.
A) 56 
0)8
B) 72 
E) 24
0)336
64. El asta de bandera de un barco tiene tres posicio­
nes en las que pueden colocarse una bandera. 
Suponiendo que el barco lleva 4 banderas (diferen­
tes) para hacer señales, ¿cuántas señales diferen­
tes pueden hacerse con dos banderas?
A) 12 
D)36
B) 24 
E)72
0)30
65. Timoteo tiene que acomodar 6 expedientes uno 
sobre otro, si hay dos expedientes que no pueden 
estar en forma consecutiva, ¿de cuántas maneras 
puede acomodar los expedientes?
A) 3600 B) 600 C) 540
D)480 E) 120
66. De un grupo formado por 7 hombres y 4 mujeres 
hay que escoger 6 personas de forma que entre
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ellas haya no menos de 2 mujeres, ¿de cuántas 
maneras pueden efectuarse la elección?.
A) 641 B)115 0 271
D)371 E)420
67. Se quiere seleccionar 5 preguntas de un total de 
12, pero 2 de ellas no pueden escogerse a la vez 
¿Cuántas formas existen?
A) 286 B)60 0 120
D) 672 E)720
68. ¿De cuántas formas podemos pedir que nos sir­
van un cono de helado con dos bolitas diferentes o 
iguales, si en la heladería hay 5 sabores; vainilla, 
lúcuma, fresa, chocolate y limón?
A) 18 8)15 0 20 D)25 E) 75
69. Dos parejas asisten a un almuerzo con otros cua­
tro amigos solteros. ¿De cuántas maneras se pue­
den sentar alrededor de una mesa redonda, si los 
miembros de cada pareja se mantienen vecinos?
A) 240 8)120 0 480
D)720 E)2880
70. Hallar el exponente de "a" en el término indepen-
■"/a r 'diente de x, en el desarrollo de; i x"
A) 1 8)2 0 4 D) 16 E)20
71. Hallar el término independiente de x en el desarro­
llo de; f2 x ^ - - lí '
A )7000 
D )8020
B)7920 
E)5890
0 4720
72. Haliar el grado absoluto del sexto termino en el de­
sarrollo de; (x + 2ŷ )*
A) 10 B)11 0 12 D)13 E)14
73. Si el único término central del desarrollo de 
( x + ) es de sexto grado, hallar el coeficiente de 
dicho termino central.
A) 20 
D) 28
B) 15 
E)22
O 12
74. Si el sexto término del desarrollo del binomio 
(x" + de grado 9, ¿qué lugar ocupa el tér-
mino de grado 17?
A) 6 ° B)5,' 0 4.°
D) 8. E)9.^
75. En una reunión hay 40 damas y 20 varones. Se 
desea elegir un presidente, vicepresidente, teso­
rero y un secretario. La condición es que el tesore­
ro sea una dama y el secretario un varón y nadie 
puede ocupar más de un cargo. Haliar el número 
de maneras en que puede elegirse ese grupo di­
rectivo.
A) 2 644 800 
D) 3 088 400
8) 2 844 600 
E) 3 244 800
O 2 866 400
76. ¿De cuántas maneras tres argentinos, 4 peruanos, 
4 chilenos y 2 bolivianos pueden sentarse, ordena­
damente, en una mesa redonda de modo que los 
de la misma nacionalidad se sienten juntos?
A) 3456 8)6912 0 20 736
D) 41 472 E) 165 888
77. En un examen, un estudiante debe resolver 10 
preguntas de las 13 dadas. Si tiene que contestar 
necesariamente por lo menos 3 de entre las 5 pri­
meras, hallar el número de maneras en que puede 
elegir las 10 preguntas.
A) 80 B) 220 C) 276
D)285 E)316
78. ¿Cuántas palabras de seis letras, que contengan 
dos vocales diferentes y cuatro consonantes distin­
tas, se puede formar con cuatro vocales incluyen­
do la “e" y seis consonantes incluyendo la “s", de 
manera que empiecen con “e" y contengan a “s"?
A) 216 000 8)3600 0 7200
E)9600 D) 10 800
1. A 11. B 21. C 31. D 41. 0 51. E 61. A 71. B
2. E 12. A 22. 0 32. A 42. C 52. C 62. A 72. D
3. D 13. A 23. C 33. C 43. C 53. 0 63. 0 73. A
4. A 14. E 24. B 34. D 44. D 54. D 64. D 74. B
5. 6 15, E 25. A 35. D 45. A 55. D 65. D 75. A
6. D 16. D 26. E 36. C 46. D 56. D 66. D 76. E
7. 8 17. D 27. D 37. c 47. A 57. B 87. D 77. C
8. E 18. C 28. B 38. B 48. D 58. C 68. B 78. B
9. C 19. E 29. B 39. B 49. C 59. B 69. C
10. B 20. A 30. B 40. B 50. B 60. 0 70. A
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