Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (53)

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Radicación
O
D
•H-
a
o
o
Gerolamo Cardano o Girolamo 
Cardano nació el 24 de septiem­
bre de 1501 y murió el 21 de sep­
tiembre de 1576. Fue un médico 
notable, además de un célebre 
matemático italiano del Renaci­
miento. un astrólogo de valía y 
un estudioso del azar. Este filó- 
soío y destacado enciclopedista, 
fue autor de una de las primeras 
autobiografías modernas. En 
1520, entró en la Universidad de 
Pavía y estudió medicina consi­
guiendo excelentes calificacio­
nes.
En primer lugar, destaca por sus 
trabajos de Álgebra. En 1539 pu­
blicó su libro de aritmética Prac­
tica arithmetica et mensurandi 
singulares. Publicó las solucio­
nes a las ecuaciones de tercer y 
cuarto grado en su Ars magna.
datado en 1545. La solución a un caso particular de ecuación cúbica x' + ax = b (en notación 
m oderna) le fue com unicada a través de Niccolò Fontana (más conocido com o Tartaglia) a 
quien Cardano había jurado no desvelar el secreto de la resolución; no obstante, Cardano con­
sideró que el juram ento había expirado tras obtener información de otras fuentes por lo que 
polemizó con Tartaglia, a quien además cita. Su libro sobre juegos de azar, Líber de ludo aleae, 
escrito en la década de 1560, pero publicado postum am ente en 1663. constituye el primer tra­
tado serio de probabilidad abordando métodos de cierta efectividad.
Fuenie; Wihipedia
\talia.l5Dl-Italie, (576
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<4 DEFINICIÓN
Es la operación inversa de la potenciación que se pro­
pone hallar una cantidad llamada raíz, tal que elevado 
a un cierto índice nos reproduzca una cantidad llamada 
radicando o cantidad subradicai.
"/a = r « r̂ = A
Elementos:
I---------- ► Signo radical
1 " " ^ = r —► Raíz enésima 
Indice 1---------- ► Cantidad subradical o radicando
<4 CLASIFICACIÓN 
Radicales homogéneos
Se caracterizan por tener el mismo ¡ndice.
Ejemplo:
V s x V ;
Radicales semejantes
Se caracterizan porque además de ser homogéneos 
tienen la misma cantidad subradical.
Ejemplo:
<4 HOMOGENEIZACIÓN DE RADICALES
Para homogeneizar radicales se calcula el MCM de los 
índices, luego a cada índice se le debe multiplicar por 
la cantidad necesaria para que sea igual al MCM y para 
que no se altere a los exponentes del radicando se le 
debe multiplicar por la misma cantidad.
Ejemplo:
C = MCM(5: 6; 10; 3; 2) = 30
Luego; C -
C =
5x6̂ >c6y2x6j(6x5̂ ^4.5y5 ĵ 10x3ĵ 7.3̂ 3
3 x l 0 / „ 2 x 1 0 , , 5 x 1 0
3Ôĵ 20y5O 30̂ ĵ 15y45
, 1 2 , , 1 8 „ 2 0 . , 5 „ 2 1 . . 3^ . j x ' ‘ y -x ‘ 'y 'x ‘ 'ŷ
r ? v v y « - ■'* ''
c = - y-2(ioJx®y^)
<4 VALOR ARITMÉTICO DE tN RADICAL
Es la cantidad real y positiva, tal que elevada al índice 
del radical nos reproduzca el radicando.
El valor aritmético es único, asi: /9 = 3
<4 VALOR ALGEBRAICO DE LN RADICAL
Es una cantidad de cualquier naturaleza {reales e ima­
ginarios), tal que elevado al índice radical nos reproduz­
ca el radicando-
El valor algebraico de ''/a tiene n valores y va a ser 
igual al valor aritmético de "Va multiplicado por los n 
valores de "/T. Así:
= + 5 3/8 -1 + V-3 
-1 -
<4 RAÍZ CUADRADA DE POLINOMIOS
Al extraer la raiz cuadrada de un polinomio este debe 
ser de grado par y debe estar completo y ordenado en 
forma descendente, de no estar completo se deberá 
completar con términos que contengan coeficientes 
iguales a cero.
El procedimiento es el siguiente;
• Se coloca el polinomio debajo del signo radical (or­
denado en forma descendente y completo), ense­
guida se agrupan términos de dos en dos comen­
zando por el término independiente, al realizar esta 
agrupación siempre sobrará un término.
• A este término sobrante: se le extrae su raíz cua­
drada y así se obtendrá el primer término de la raiz.
• Con este primer término, primero se forma su du­
plo, luego se eleva al cuadrado y se pasa con el 
signo cambiado debajo del primer término del poli­
nomio anulando así dicha columna.
• Inmediatamente después se baja el siguiente grupo 
de dos, de donde el primer término se divide entre 
el duplo de la raíz hallada inicialmente, obteniendo 
así el segundo término de la raíz, inmediatamente 
se le adiciona el duplo y a toda la expresión se le 
multiplica por lo mismo pero con el signo cambia­
do, colocando los resultados debajo del grupo de 
dos bajado inicialmente.
• En seguida se forma ei duplo de la raíz hallada y 
luego se baja el siguiente grupo de dos, a partir de 
aquí se sigue el mismo procedimiento enunciado 
en el paso (4) sucesivamente hasta obtener un res­
to de grado inferior al de la raíz.
Ejemplos:
1. Hallar Jp . si: P(x) = 9x‘ - 12x̂ + 22x' - 12x + 9
Resolución:
JSx" - 12x̂ + 22x' - 12x + 9 3x̂ - 2x + 3
-9x" (6x' - 2x)(-2x)
-12x'* + 22x' (6x̂ 4x + 3)3
+ 12x^- 4x̂
18x̂ - 12x + 9
-18x' - 12x - 9
0
., VP = (3x' - 2x + 3)
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2. Hallar ÍQ, si: Q(x) = 49x® + 42x® - 61x" - 1 6x^- 5 
Resolución:
Extrayendo la raiz cuadrada a tos polinomios:
/49x^+42x® - 6 1 x ‘ - l 6 x ’ + Ox^ + O x - 5 7 x ^ + 3 x ^ -5 x + 1
-49x® (14x '+3x ')(3x^)
0 + 4 2 x ' - 61 x‘ (14x' + 6 x '- 5 x ) ( - 5 x )
-42x® - 9x‘ (14x=+6 x^-10x+1 )(1 )
0 - 70x^ - 1 6 x ' + Ox^
+ 70x‘ + 30x’ - 2 5 x '
0 + 1 4 x ^ -2 5 x ^ + Ox - 5
- I 4 x ’ - 6 x ' + l 0 x - 1
0 -3 1 x ^ + 1 0 x - 6
r(x)
-/Q = 7x’+3x'-5x + 1
Hallar la raíz cuadrada de;
A(x) = X® + 4x® + 10x" + 20x' + 25x' +13
Resolución;
^x® + 4x^ + 10x“ + 20x ’ + 25x^ + Ox + 13 x^ + 2 x ^ + 3 x + 4
-X® (2x’ + 2x 'K 2x'')
0 + 4 x *+ 1 0 x “ (2x’ + 4 x ' + 3x)(3x)
- 4 x ' - 4x'* (2x^+4x^ + 6x + 4)(4)
6x'' + 2 0 x ' + 25x^
- 6x ' ' - 12x ’ - 9x^
8 x ^ + 1 6 x ^ + O x + 1 3
- 8 x ^ - 16x^ - 2 4 x - 16
- 2 4 x - 3
•/Ä = x̂ + 2x̂ + 3x + 4
4, Si el residuo de; ^(x+1)"+4(x+1)^-2(x+1)"-11x 
es equivalente a (ax + b), calcular ab.
Resolución:
Haciendo x + 1 = a. se tendrá; 
JaV4a^-2a^-11(a-1)
-I a“ +4a 
-a"
4a
2â - 11a + 11
2â 
-4a^ - 4â
-6a" - 11a + 11 
6â + 12a - 9
â 4- 2a - 3 
(2a' + 2a)(2a)
(2a' + 4a-3 )(-3 )
r(a) = a + 2a + 2
=s r(x) = x + 1 + 2 = x + 3, pero: r(x) = ax + b 
Por dato: ax+b = x + 3 = a = 1 A b = 3 
ab = 1x3 = 3
<4 mNISFORMACIÓN DE RADKAUS D O BlfS A 
SUMA O DIFERENCIA DE RADICALES SIMPIES O 
SENaUDS
Primer caso: Va ± /b
Asumiendo; VA + VE = Vx + /y 
/ A - M = Vx - /y
...(I)
...(II)
Sumando (I) + (II); M + /B + M - Vb = 2Vx 
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
A + Vb + A/B + 2ÍA^~~- /B^ = 4x 
2A +2Va^-B = 4x
Sea: ÍA^ - B = C
Luego: x = - ^ ; y =
Reemplazando en (1) y (II);
( Ä ± M = ±
Donde: C = Va ' - B
c u a d ra d o p e rfec to
Ejemplo:
Ve + Veo
C = Va ̂- 8 = V64 - 60 = 2
Luego: + , [ S 3 = Is + J3
Regla práctica:
Va + b±2Vib = Vi±Vb
Ejem plos:
^7 + 2/12 =V4 + V3 = 2 + V3
A
4 + 3 4 x 3
V7-2VÍ2 = V4 - V3 = 2 - V3 
4 + 3 4 x 3
‘ V8 + V6Ö =VS + 2VÍ5 =V3+V5 
5 ^ 3 x 5
A
3 2 1,12̂ 2 2 2
Ejemplos:
1. Obtener un radical doble equivalente a:
S = JlW TTW - ^h? + J2B8 
Resolución:
Escribiendo el segundo radical como raíz cuadrada;
Í z I t + T W - ^288
Para aplicar la regla práctica, el radical deberá ex­
presarse como:
S = ^ V 7 + 2 M - J V i 7+2VT2 =^2(V3+V4)- VVl+VÍ 
?+4 3x4 8 ^ 8x9
S - j2(2 + Vf)--Í2V2 + 3
S - V4)2/3" V3+ 2 V2 =(V3+1)-(V2+1)-V3-V2 
3 ^ 3^1 2 Í T 2 x 1
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