Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (55)

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h - y h + y + h - y
/x T y - h - y Vx + y + h - y I 
_ J - y' ̂ + X - y X - y + Jx^ - ŷ
X + y - x + y 2y
11. Racionalizar: 12
/5 + / 2 - - Í 3 
Resolución:
Agrupando y ordenando de manera conveniente 
los radicales del denominador;
12 /5 + (/3 - /2) 12(/5 + /3 - j2)
v'5 - (/3 - -/2) ' -/5 + (/3 - /2) " 5 - (-/3 - -/2)'
12(V5 + /3 - /2) 12(/5 ^ Í 3 - - Í 2 ) ^
5 - 5 + 2/6 ” 2/6 /6
= /6 (/5 + /3 -/2 ) = / ^ - . '18-/12 = / ^ + 3/2 - /2
12. Simplificar: f:r ^ ---------
(a + b)''^+b'^ (a + b)” ̂+ a'''
Resolución:
Racionalizando cada sumando:
a(Va + b - v'b) b(̂ a + b - -/a)
+ b -r /b)(^a 4 b - /b) { l a T b + 7a)(̂ a + b - la)
_ aj-la + b - ■ib) b(Va + b - /¥)
“ a + b - b a + b - a
= /a + b - /b - Va + b + /¥ = /a - /b
Cuando el denominador presente radicales de índi­
ce superior: para estos casos debe tenerse en cuenta 
las siguientes equivalencias algebraicas: 
â + b^= (a + b)(â - ab + b̂ )
a"* - b̂ = (a - b)(â - ab + b̂ )
a® + b^= (a f b)(a‘‘ - a’b + â b̂ - ab̂ + b“*)
â - b' = (a - b)(a‘’ + â b + â b̂ + ab̂ + b“)
- b̂ = (a-b)(a^+a^b + aV -i- â b’ + â b'’ + ab' + b®) 
â + b' = (a + b)(a®-a^b + a'‘b^-aV+a^b‘'-ab ‘̂ +b®) 
E je m p lo s :
1. Racionalizar:
Resolución:
A /
A
^ /i + V̂b
AR
2. Racionalizar:
Resolución:
N
N NF,,F,̂
_ 6/b \ 7̂̂ + /̂b A Vi^ + 3 /^ + 3/b̂ r
P3. Racionalizar:
Vx + /y
Resolución:
P R
'/x -V y
PRR'1 '2
4. Racionalizar 
M =
'Vio - 3/3 - /̂6 + V2Ò + V5 - VÌ2
Resoiución:
Extrayendo factor común: /̂5 y en el denomi­
nador:
_____________ 7_____________
(W + /̂4 + 1) - /̂3 (1 + /̂4 + V2)
F. \/ F,
M = 7
’/2 + ̂ /4 + 1)(2/5 - ̂ /3)\ '/2 - 1A '/25 + '/Í5 + ̂ /9
M =
RrRr1 2
7R, Fr1 2
(2 -1 )(5 -3 )
5. Racionalizar: N =
xVx + y^/x + ^/xV
Resolución;
Introduciendo x e y a los radicales respectivamente:
N = - = — 4 — r =
+ ^/7 + ' W
Haciendo: /̂x = a a /̂y = b 
I 1 'a-b\/a+b '
a‘‘+a^bVb'' (a^+ab+b^)(a^-ab+bV A a+b,
a^- b̂N =
a '-b "
Reponiendo x e y: N =
x^-y^
1. Efectuar:
■ Q
V3 + /8 V3 + -/8 
V/2 + 1 VVf 1
P R O B L E M A S
Resolución;
Í 3 + /S V3 + /8E =
RESUELTOS b
3 + /8 = 3 + 2/2 = ( /2 + 1)̂
( /2 + 1 ) ( /2 -1 ) = 1 = / 2 -1 = (/2 + 1)-1
E = @ í j Z S ± j Z
■̂¡Í2 + 1®̂ (-/2 + 1)-'
2_2_2 I
E - ( /2 + 1 ) " ’ 3’ 3’ ® E - /2 + 1
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2. Dar el denominador después de racionalizar: 
E = _______ ^------------
f \ 5 + + Í 6 + ITa 
Resolución:
^ A
+ - Í T ^ + ■Í2 ^ 
Factorizando el denominador:
4E =
E =
/5(/3 + /7) + /2(/3+ '/7)
4 ( /5 - /2 ) ( /7 - /3 )
(/5 + /2 )(/7+ /3 ) ( /5 - /2 ) ( /7 - /3 )
^ _ 4 { Í 5 - - Í 2 ) { ^ - - l 3 ) (Í5 - ■Í2){J7 ~-Í3)
3x4 ' 3
Denominador luego de racionalizar: 3
3. Sea la expresión:
E{x) - ^ = ■
Vsx^ + s x /x '- 1 -4
calcular: T = E(8) + E(6) + E(4)
Resolución;
E{x) =
E(x) =
¡8x^ - 4 + 2/4x^[4(x^- 1)] 
4x' + 4(x" - 1) = 8x̂ - 4
E(x) -
E(x) =
/ /4 x ^ + Í4 p ^ T ^
2
h x -r
E(X) =
/ x T i+ 7 j r n
Luego: T = E(8) + E(6) ( E(4)
T - ( / 9 - / 7 ) - f ( /7^;S) + (/5-J3) 
T = 3 -- /3
4. Si el radical doble: ^ax + by + Jxy(ab
admite una descomposición en radicales simples.
Determinar el valor de — .
c
Resolución:
Acomodando el radical doble: 
ia x + bY + ¡xy (ab"+ c)
= Jax + by + 2 j ^ ( a b + c) = + /by
= (ax)(by) - ^ (a b + c)
=» 4ab = ab + c =» 3ab = c = 4c 3
5. Reducir: E = + U - - / W 
Je + - Í 6 - M
Resolución:
p _ (JT+ JTÉ + JA - J T s j J ^ 
{Ve + Z s f- /6 - /3 5 ) /2
« E = 8̂ + 2 J l5 +
/12 + 2/ 35 - / l 2 - 2 / ^ 
/5 + /3 + / 5 - / 3
J f + J5 ~ (J7 - J5)
E= 2 ^ = 1 
2/5
6. Si el polinomio P, definido por:
P(x) = ax®+ bx® + cx'‘ + 16x^+ 8x^+ 16, tiene raiz 
cuadrada exacta, indicar el valor de: a + b + c
Resolución:
Extrayendo la raíz cuadrada, pero en orden cre­
ciente por ser exacta.
 ̂16 + 8x̂ + 16x ̂+ ex' + bx̂ + ax® 4 + x̂ + 2x
-16 (8 + x=)(x=)
8x̂ + 16x^- ex” + bx®+ ax® (8 + 2x' + 2x )̂(2x^
-8x^ - x“
16x^+(c-lK+bx*+ax^ 
-16x".., -4x^-4x®
(c - 1)x% (b-4)x®+(a-4)x® = 0
De donde: c= 1 Ab = 4 A a = 4 
a + b + c = 9
7. En la siguiente igualdad, determinar el valor de m.
 1___ = ____3___ + ___ i ___
/I I - 2 /ÍTÍ J7 - 2 JÌÒ /e + 4/3
Resolución;
3,__________ 3 ( . ^ ± ^ ^ 3(/5+/2)^ ^ ^
J7- 2JÌÒ /5- /2Í /5 + /2 . 3
J8~+ 4/3 - / i T i / l f / 6 +/2 
( /6 + /2 ) ( /6 - /2 )
= /5 + /2 + / 6 - / 2 = /5 + /6
Luego;
1
/11 -2 /m 
/11 - 2/m = 1
Je + Js
= J6 - J 5
^ /11 -2 /rñ = /11- 2 ^ m = 30
8. Si el polinomio;
P(x; y) = qx̂ - 4x^y + x V + mxy^+ y® - 2xy^ es 
un cuadrado perfecto, determinar el valor de m + q.
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Resolución:
P = qx̂ - 4x^y + x V + mxy ̂- 2xy'‘ + y®
Es un cuadrado perfecto, entonces;
P(x; y) - [Q(x; y)]̂
Identificando los términos de Q:
P(x; y) = [/qx - xy +
P(x; y) = qx̂ - 2 /q x̂ y + x V + 2 /q xŷ - 2xy'‘ + y® 
De donde: -2 /q = -4=» q = 4 
Luego: m = 2/q=> m = 4 
m + q = 8
9. Simplificar la siguiente suma;
S - 1 I 1 I 1
Í 3 + W /5+2/6 / 7 + 4 / f
Resolución;
+ .,,{n sumandos)
S = 1 /T 1
/3+2/2 /5+2/6 /7+2'M
+ ...(n sumandos)
S =
/ 2+I /3+/2 /4 + /3
1
■/ñ+i-/ñ
Cada fracción es de la forma:
1 / i r n - / k
/ i m + / k ( / ¡ r r í+ /k ) ( /k T i- / i< )
= / k T l - / k ; k = 1; 2 ;...; n 
S = ( /2 -1 ) + ( /3 - /2 ) + ( /4 - /3 ) + ...
... + {Vn + 1 - /ñ)
s = /ñ+ i - 1
10. Racionalizar: M 1
+ 1
Resolución:
El denominador puede escribirse:
1 / - 1M =
■ ■ ■ ^ - 3 - 1 2
11. Racionalizar; E = 1
■/x (y - z) + /y {z - x) + /z (x - y) 
Resolución:
Factorizando el denominador:
1E = 
E = 
E =
/ x y - /xz + ( y z - Jyx + í z x -■ fz y
 1_________________
Jxy i iy - /x) + z(Jy - /x) - / i( /x + /y){Vx - /y) 
 1__________
Racionalizando (multiplicando por sus conjugadas)
 ________________
(/3 r-/7 )( /7 - /i) (- / i~ /^ )(/í+ /7 ){ /7 + /l) ( / l+ /7 )
{ í x + l y ) { { y + - í z ) ( i x + (z)E = (x -y ) (y -z ) (z -x )
12. Racionalizar y señalar el denominador racionalizado: 
x̂ + 3x ̂+ 2x + 1 
x (^^ ) + x(^/x) + 1
Resolución;
De la expresión, factorizando el denominador: 
x̂ + x̂ + 2x + 1 x̂ + 3x ̂+ 2x+1
2 / 7 + + 1 ( W ' f W + 1 )(3 /í^ - W + 1)
____________ (x̂ + 3x^+2x+1)____________
(WV/x'+1)[(x+1)-W][(x+1)^+W(x+1)+W^]{W-1)
(x^+3x'+2x + 1)(F,)(F^) _ (x^+3x^+2x+1)(F,)(F^)
(x-1)[(x+1)'-x] (x-1)(x'+3x^+2x+1)
F,.F„
Luego: ' ri’ r2
X - 1
El denominador racionalizado es; x - 1
13. Transformar: / I 6 + 2 / ^ + 2/28 + 2/35 
Resolución;
Acomodando los radicandos tenemos; 
/ l6 + 2 / ^ + 2 / ^ + 2 / f ^ = /4 + /5 + /7=2+/5 + /7
14. Transformar: /a + 3b + 4 + 4/a - 4/3b - 2/3ab 
Resolución;
Trabajando en los radicandos: 
J a + 3 a + 4 + 2 /4 a -2 /4 ^ -2 /a ^ = /4 + / a - / ^
= 2 + / a - / ^
15. Reducir: Jl0 + /Í5 + /21 -6 /1 0 - /6 -2 /1 0 
Resolución;
Transformando los radicandos:
^10 + / l 5 - / 6 + /2 1 -2 /9 0 -2 /ÍÓ 
= + /6 - 2/10
= / iy ^ 2 7 r l - 2 ^ - 2/ÍÓ = /5 + / 3 - / 2
16. Reducir: ’/3xh-2+2/x^-1-2/?+3x+2-2/x^+x-2 
Resolución:
Factorizando los radicandos:
j3x + 2 + 2/(x + 1)(x-1)-2/(x + 1)(x + 2 y - /(x -1 ) (x ^
= /x”+ 1 - /x"+ 2 + /x - 1
17. Simplincar. /21 - 4./5+8/3 - 4/T5 
Resolución;
Acomodando los radicandos; 
/2 1 -2 /20 + 2 /43 T Í2 -2 /4 ^
= /2 1 -2 /4 ^ + 2 /tx Í2 -2 /Í2 3 ^
= / Í 2 - / 5 + / 4 = 2 /3 - /5 + 2
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18. Si T es una expresión irracional definido por
Je I 2 TfiT = ------^ entonces al racionalizar!
2 + /6 + '/3+ /2
se obtiene;
Resolución:
■¡5 + 2~l6
2 + -Í6 + I3 + -Í2
Factorizando el denominador y descomponiendo el 
numerador;
J 3 + - Í2T =
T =
J2 i ^ + J3] + { ^ + l 2)
Z3+-/2 /2 - 1
(/3+./2)(-/2 + 1) /2 -1 
19. Simplificar:
1
T = 72 - 1
A = (/5 2)(/5 -- 3)(-Í45^- 9) ^ 13 + 2/ÍO
Í 5 Í {5 -2 /5 ){2 -/T 0 ) 
Resolución:
5-/2
, 1 /(/5 -2 )(/5 -3 ){ /5 -3 ) , 13 + 2/TÓ A - -/s + -//2 - 2 /3 + /íe"+2-2/16x2
/sN /5 ( /5 -2 ) ( 2 - /^ ) 5/2 A= |3 + / / 2 - 2 /3 + 4 - / 2
_ 1 3(/5-3)^ , 13 + 2 /1 0 V .'3-1
/5 ‘'|/5 (2-/10) 5 / 2
A - / 3 + / 3 - 1 = /2 + / 3 = / |+ ^
1 I 6 (7 -3 /5 ) 13 + 2 /1 0 \
/5 '^ /5 (2 -/Í0 ) 5/2 1 Entonces; P - ja - /3 + ^2 + 2 / 2 ( | | j
20. Hallar el valor más simple de: 
_ _ ja(a^ + 3b^r+ (â -~b̂ ) ■¡â -
^a(a^ + 3b^)-(a^-b^)/a^-^ 
Siendo: V . ( f i J ) ( É ) 
Resolución:
De la expresión transformada:
E + 1 
E-1 = /ab
E = h a ^ + 6a ̂+ 2 v(a + b)^(a 
Í2a^ + 6b ̂- 2/(a + b)'{a
E+1 
E -1
g ^ (̂a + b) ̂+ ^(a-b7~ 
/(a + b) ̂- i[a - bp
b f
a - b /
E + 1 
E - 1
a + b 
a - b = / ^
Del dato: = ab
a -b
Por proporciones; ^ ■b ab - 1
. b ;ab+J\ ^
' a la b - l ) '
21. Efectuar: E .
si E asume un valor real.
Resolución:
Elevando a la 12 en ambos miembros:
12 ^ ( /3 + /2 )(/3 -/2 )^ (/3 + /2)^
(/3 - J 2 f
E'" = (/3 + /2)(/3 - /2)'‘ {/3 + /2)^
E' ̂= {/3 + /2)(/3 - /2)(/3 - /2)^(/3 + ¡2)- 
E’ ̂= (1)(1)' .-. E=1
22. Reducir;
P = ^ 3 -/3 + V 2+2 /2^+ //2 -/T 2 + /l8 -^71^
Resolución:
Llamemos A a;
P = Í 3 - W + - í T + 2 l 3 + 2
P = h - ñ + 'lA + 2 (z ^ P = /3 7 /3 + 1
.-. P = 2
23. Ejecutar: E = (J/fs - / f ~ - /s - / f )(^3 + /7 ! 
Resotución:
E ^ - I 5 - /7 K Z /s T ly )
E ^ i ( / l3 - / 7 - / 5 - / 7 K/34 / f ]
E = U32 + 10/7 -Í8 + 2J7 
E = ^/25 W + 2 / í ^ -"7T + 1 7 2 /7^
E = /5 + /7 - /7 - 1 E = 2
24. Reducir: P= 4 + 2^10 + 2 /8 ^ 2 /7 
Resolución:
Transformando de adentro hacia afuera: 
h - 2 Í 7 - / 7 + I - 2/7^ = / 7 -1
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Reemplazando en la expresión propuesta:
P - j6 + 2-ilO + 2 ( l7 - 1)
p = ■ leV zJs + T W
P = /6 + 2(/7 + 1)
P = h + 2-¡7 P = -/7 + 1
25. Calcular el VN de un radical simple de:
R(x) = h * + 2x ̂+ 6x - 3 + 4(x ̂+ x + 1 ) / x ^
para: x = 5
Resolución:
R(x) = Jx“ + 2x ̂+ 6x - 3 + 2 /(4x - 4) (x̂ + X 
‘ (x̂ +x + 1)' = x‘ + x' + 1 + 2x̂ + 2x̂ + 2x
• (x̂ + X + 1 )^ = x“ + 2x̂ + 3x̂ + 2x + 1
R(x) = Í(xV2x̂ +3x̂ +2x+1)+4x-4+2A4x-4){x'+x+1)'
R(x) = + X + 1)̂ + (4x - 4 ) + 2 / ( 4 x - 4 ) (x' + X + ^
R(x) = x̂ + x+1 + V4x-4 R(5) = /16 = 4
26. Reducir a su forma más simple.
M - ^6 + ^6 + ie"+ ... + -¡6 + ~ fh + 4 /2 + 7 
Resolución:
M
M
= J e + J e + i r + . - . + ’J e + 'J e + A l I + 7- / 2 '
^ + J6 + ... + ^6 + /2 + /2 + 7-/2= >6+
2+J2
= Je + ■/e + /e + T .T+TiT f"
Así sucesivamente: M = /6 + 3 . . M = 3
27. Calcular:
E= //2-l(/56+40/2-/34+26/2+/23+37/2 ) 
Resolución:
Multiplicando las raíces se obtiene:
E=/56/2+80-56-40/2-/34 /2 + 52-34-26/2 + 
/23/2 + 7 4 -2 3 - 37/2 
E=/24 + 2 / Í ^ - / l 8 + 2 / l6 ^ + /51 - 2 / 4 9 ^ 
E = /Í6 + / 8 - / Í 6 - / 2 + / ^ - / 2 
E = 4 + 2 / 2 - 4 - / 2 + 7 - / 2 .-. E = 7
28. Calcular:
£ ^ /15 -10 /2 - / I I - 2M + /13 + 4/TO 
2/3 + 2/2 + /9~- 4 / f + /l2 + 8/2
Resolución:
Escribiendo como radicales dobles:
E = /15 - 2M - /11 - 2M + /13 + 2M 
2/3 + 2/2 + /9 - 2/8 + /l2 - 2/32 
Transformando a radicales simples:
/T0 - / 5 - /T 0 + I + 2/2 + /5E =
2/ 2+2 + 2/2 - I + 2/2 + 2 
(2/2 + 1)Reduciendo: E =
29. Calcular: E =
3(2/2+ 1) 
/ 26- I 5/3
5 /2 -/3 S + 5/3 
Resolución:
Multiplicando y dividiendo por /2:
£ ^ / 5 2 - 2/27x25
10 -/76 + 2 / 7 ^ 
Transformando a radicales simples: 
3/ 3 - 5 _ 3 /3 - 5E =
1 0 -5 /3 -1 9 -5 /3
(3 /3 -5 ) /3
/3 (3 /3 -5 ) / 3 I / 3 .
30. Reducir: R = V/s - 2/6 ^//s + 2/6 /49 + 20/6 
Resolución:
La expresión puede escribirse:
R - V(7S - /2 )C/3 + /2 )(5 + M )
R = ®J(/3 - / 2 f ( Í j + /2)(5 + 2/6)
Desdoblando adecuadamente el primer factor del 
radicando:
R - Í( -Í3 - /2 )'(/3 - /2){/3 + /2)(5 + 2/6)
R = ^/(5-2/6)(1)(5 + 2/6)
R = ®V25 - 24 = "/T R = 1
31. Si se cumple que: A** = ‘̂ xNx'Vx...
i i
además: A = (V 3 x /3 ) ' ; según ello calcule x 
Resolución:
Dato: A** = ’'/x “Vx Vx...
Por propiedad: A = 
Reemplazando el valor de A
^/3/3 ~
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