Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (59)

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B. Forma polar:
Sea: z == "Vp(cosO + isen0)
_ „ r - j cosO + 2kn isen9_+^l^\ 
n n j
También: z - "/pcÜ0 -
Donde en ambos casos: k = 0:1; 2; ...;(n - 1) 
Ejemplo:
Calcular las raíces de: = 1
Resolución;
= 1 X = ‘̂ ■ P T T Ó í
Escribiendo en su forma polar;
X ^ ̂ /cosO -I- isenO=cos - +isen'̂
Para; k = 0; x - 1
k = 1 : X - cos120° + isen120° - ^
k = 2: X ^ cos240° + isen240° = ^ -
Si:x’ = 1
1
X2 - 2 ^ 2 ' 
3X 2 2 '
Sea: w - + ^ i
— 1Elevando al cuadrado: v / = '
Si X^ = 1 =» X , = 1, Xj = V/, X3 = w'
Donde; 1, w y v / son las raíces cúbicas de la unidad.
<4 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES CÚBICAS DE 
LA UNIDAD
= 1 • vv' ■' = w'
1 + w + = o
Ejemplos:
1.
2. w'"“ '
3. ^ w ' ■' - w
4. = w"
Calcular; S = w + + ... + w'®
Resolución:
Por la propiedad 3: S = w + + ... + w'’’ +
O
Pero: S = ^ ̂^ w +
Sea : w + v/̂ + ŵ = 0 = » w + w ' = -w^
. - . s = -w= = -1
<4 FÓRMULA DE EULER
Sea;
z = {a; b) = 8 + bi = pcis = pe' G en radianes para
calcular la forma exponencial de un complejo previamen­
te hay que tener la forma polar o en todo caso deducirla.
£jemp/os;
1. Evaluar; C = i + 4 i ‘ + 7 i '+ 1 0 i '^ + „. + { 3 n - 2 ) i^ " ̂
donde: n = 4k / k g Z ’
Resolución;
Número de términos =
ó
Agrupando cada cuatro términos:
C = i + 4 - 7i - 10 + 13i + 16 - 19i - 22
*-6i - 6 -6i - 6
5 grupos 
C = 5 ( - 6 i - 6 ) = : ^ ( 1 + i ) 
c = -1,5n(1 + ()
2. Hallar el valor que debe tomar ''a" para que el co-
■> _ O o j
ciente ^ ^ sea un número real.
Resolución:
Asumamos que el cociente es una constante real k:
3 -2ai
4 - 3 i = k =» 3 - 2ai = 4k - 3ki
De donde: k = ^ 4
También: 2a = 3k 
(2) en (1); 2a - |
•{1)
(2)
a = |
3. Efectuar; A = (i'̂ V̂ ’ i'' )'
Resolución:
„ 6 . 2i , ,4 - 2.
A= i'A= i'
A= ^ r ̂ ¡
Efectuar; E = (1 + i)'” ' '~'ÍT^'-!2
Resolución:
Luego: E - => E =
, P T ^ ',70
Calcular el valor de: Q = ( - ^ + -^ij 
Resolución;
— 1Sabemos que; + ^ i = w
En; Q = w 
-1
Luego: Q = l - - ^ i
c o . . .. (2 + 2i)Vl5 8i6. Reducir: M = -̂----
-1+1
Resolución;
La expresión también puede escribirse;
M ^ ^ i i l4 ^ V i5 ^ r iC T
(1 - I )
M = -2iVl5 - 27^Tf
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M = 2i^15-2^{16)(-1)
M = - 2 í(/T6 - = 2i(4 - i) M = - 8 i - 2
7. La suma de dos complejos es -2 - 6i. la parte 
real de uno de ellos es -4 y el cociente de ellos es 
imaginario puro. Indicar uno de los complejos.
Resolución:
Sea uno de los complejos: z, = -4 + ai
Luego, el otro será: Z2 = 2 - (6 + a)i
Por dato el cociente de z,/z2 es imaginario puro:
- 4 + ai
2 - ( 6 + a)i = ki =• - 4 + ai = k(6 + a) + 2ki
Luego: a = 2k ==• k = ^
-4 = k(6 + a) =» + 6a + 8 = 0= (a + 4)(a + 2)
Si: a = -4: z, = -4 - 41
Z2 = 2 - 2i
Si: a = -2: z, = -4 - 21 
^ 2 - 4i
8. Efectuar: E = (1 +2i)’ ̂+ 4(1 +2í)® + 4 ( i - 2 ) “
(2- i ) “ + 4(2- i ) " + 4 
proporcionando luego la parte imaginaria del com­
plejo resultante .
Resolución:
I I
- (i - 2Y = (1 + 2ir 
2 - i = l ^
^ (2 - i)" = (1 + 2i)" A (2 + i)® = (2 - \ f 
En la expresión;
E = +2i)^^ + 4(1 +2i)^ + 4(1 +2i)^
(1 + 2i)® + 4(1 +2i )*+4
E = (1 + 21)" = (1 - 4 + 4i)' = (-3 + 4i)'
E = 9 - 16 - 24i = -7 - 24i
Parte Imaginaria: -24
9. Calcular (ab)̂ mínimo, si “a"; imaginario puro y 
“b”: real. A partir de: 
a(2b - 2 + a) + b(a - 3) = -301 - 21 
Resolución
Del problema se plantea:
“a" es imaginario puro =» a = ki: b e IR
En el dato: klí2b - 2 + ki] + b(ki - 3) = -30i - 21
Efectuando:
( - k '- 3b) + (2bk - 2k + bk)i = -30i - 21 
2bk - 2k 4 bk = -30 ...(I)
21 -k^-k" - 3b = -21 b = (II)
(II) en (I): 2 k ( ^ l ^ ) - 2k + ( ^ l ^ ) k - -30 
k(21 - k') - 2k - -30 k' - 19k - 30 = O
Factorizando por divisores binómicos, para k = -3 
se anula, luego tendrá un factor (k + 3).
Luego por Ruffini:
0 -19 -30
k = -3 -3 9 30
-3 -10 0
(k + 3)(k̂ - 3k - 10) = O = (k + 3)(k - 5)(k + 2) = O 
Si: k = -3, a = -3i, b = 4
Se pide: (ab)' = ((-3i)(4)f = -144 
Si: k = 5
-4En (II): b = 
Luego: (ab)' =
a = 5i
-4 X 5i i (ab)' = -44,44
Si: k = -2 
En (II): b = 17 a = -21
(ab) ̂= -128,44
.-. (ab)̂ minimo será-144
10. Calcular el número complejo que debe sumarse a 
z = (1 - ■ÍZi)* para que el residuo sea un complejo 
cuyo módulo sea 4 y su argumento 120°.
Resolución:
Sea z, el complejo pedido.
Por condición:
(1 - -/Si)" + z, = 4cis120°
(1 - 3 - 2/3 i)' + z, = 4(cos120° + isen120°)
(_2*2 /3i )^ + z , = 4 ( - l + ^ i )
4 - 1 2 + 8/3Í + Z, = -2 + 2/3i 
=> z, = 6 — 6 /3 i
Hallando su módulo: p = -¡6^ + ( S / S f = 12
El argumento: tane = - /3
-ni
.'. z, = 12e "̂
= 2 n - =n 5n
11. Calcular el argumento de z, Zj s i: 
z, 1 - cos17° + isen17° 
z¿ = 1 + cos53° + isen53°
Resolución:
Sabemos que: 1 + cos2a = 2cos'a 
1 - cos2a = 2sen^a
En; Zi = 2 sen^-^ + 2isen-^ eos™
z, = 2 sen ^ ^sen^+ i c o s ^ j
z, = 2 s e n ^ + is e n ^ ^ J
Zi = 2sen^ c¡sÍ|^
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En: Zj = 1 + cos53° - isen53’
Z2 = 2cos-^ (c o s ^ - tsen-^l
z, = 2cos 53 cos(360 -y) + isen(360-y|
Z2 = 2 co s^ c i s ^
17Luego. z,z2 = 4sen^cos-^ cis 415° 
360° + 55°
0 = 55°
12. Se tienen: z, = a + b + 2 i. a + (b + 8)i
a - b - 3i ’ ̂ a - bi
si z, y z¡ representa un número real y un imaginario 
puro, respectivamente, calcular (a - b), ab + 0.
Resolución:
z - m 4- ni = k ; (kE E)p + qi
Expresando linealmente: m + ni = pk + qki 
Observamos que: m = pk a n = qK =■ k = p q
Z ^ H L + j l i = k i ; ( k e E )
p + qi
Escribierido Sineaimente; m + ni = -qk + pki
-m n 
P
Observamos que: m = -qk a n = pk ;=• k = 
Lo que implica que: mp -t- nq = O 
En el problema:
a + b -2Si z, es real: a - b 3 
Si Z2 es imaginario puro:
^ = b(b + 8) = â = b' + 8b
D e { l ) y ( l l ) : b = ^ a a = |
5a = -b
Se pide: a - b = -|O 3
30
3
13. Si: z = 1 1
q
■(1)
(M)
a - b - 10 
1 . 1
b + di es conjugado dea + bi
a, b c E. Calcular: E = (a - 1)' + (b - 1)̂ 
Resolución:
Por definición de conjugado:
1 1 1 1i
a + bi b + ai 2 2
Efectuando en el primer miembro:
a - bi b - ai _ J. _ 11
(a + bi)(a - bi) (b + ai)(b - ai) ~ 2 2
(a*bi) + (b-ai) (a+b) (a + b) . 1 i i
â + b̂ " a ‘ + b̂ a' + b ^ ' " 2 2
Luego: a + b 2a + 2b = a' r b'
Trasladando los términos a un solo miembro y su­
mando y restando 2.
- 2a + 1 + b ' - 2 b + 1 = 0 + 2
+ ' (^-1)^ '- 2
E = 2
14, Hallar x, si x‘ = 1
ÍT -
Resolución:
Sabemos que:
i' (2' ) = e ̂ = e ̂ = i' = e 
En el problema: x”’ ' = (x‘) '' = 1
^ (x“)"' = L ( e '
' ’ \ q -^] 
Luego: x" = e ̂ = i' X = i
Hallar un complejo que verifique:
z - 1 2 5 , z - 4 , 
3 ’ z - 82 -Si
Resolución:
Sea: z = a + bi
Elevando al cuadrado el segundo dato:
|z - 4|2 = |z - 8|' ^ (a - 4)̂ + b̂ = (a - 8)̂ + b̂
== (a - 4)̂ = (a - 8)̂ =» a = 6
Expresando linealmente el primer dato elevado al 
cuadrado:
9|z - 12p - 25|z - 8i|'
^ 9[(a - 12)' + b'l = 25[a' + (b - 8)'] 
Reemplazando el valor de ‘a" y efectuando: 
b' - 25b + 136 = O =» (b - 17)(b - 8) = O 
=. b=17 V b = 8
Lo que implica que hay 2 complejos que verifiquen, 
siendo estos: z, = 6 + 17i v z¿ = 6 + 81
16. Señalar a que es igual: i'^ =1 
Resolución:
i^^^ î ^ 1
17. Dados los números complejos: z, = 3 + 21; z¿ = 5 - 4i, 
calcular;
I, z, + Z2 II, z, - Z2
III, Z,Z2
Resolución:
I. z, + Z2 = 8 - 2i
II. z, - Zj = -2 + Bi
III. z,z^= (3 + 2i)(5 - 41) = 15 - 121 + lOi - 8i'
=» ZiZj = 23 - 2i
18. Dados los números complejos: z,
z, = {a + 2) + {b + 3)i: Zj = 4 + (5 - b)i
Ademas: z, = Zj,determinar; a y b
Resolución:
Como; z, =Z j = a + 2 = 4=»a = 2
= b + 3 = 5 - b=>b=1
,-, a = 2 A b = 1
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19. Si Zj es el conjugado de z,, calcular m y n. 
z. = (2 T m) + 31: 7..- 5 - (2 - n)i 
Resoiución:
Como: z, - 5 - (2 - n)i = {2 + m) - 31
De donde:
2 -^m = 5r= m -3 
n - 2 - --3 -5 n -- -1
20. Para que valor de m, la operación ^ daráO 4" t
como resultado un número imaginario puro. 
Resolución:
2 + mi ,3 - i' _ 6 - 2i + 3mi - mî
3 ^ \ h - V 9 - i '
(6 4- m) + (3m - 2)i 
10
Donde: 6 + m = O m = -6
PROBLEMAS RESUELTOSB
1.
2.
Simplificar: z ^ lU . l t a n a w W itan2a | ^ 
' 1 - itanu A l - itan2u I
, si ccsd o, cos2u 0. cos6c! ORe(z)
Resolución:
7 = ; 1 - itanu w 1 4 i tan 2a \
11 - I tan a 1 - i tan 2a /
H ;Sencí1 4- 1--------___ cosa
 ̂ j sena
cosu
 ̂ 1sen2a 
eos 2a 
 ̂ j sen2a 
1 eos 2a
__ j cosa - isenu w eos2a 4 isen2a 1
eos u - ¡sena A eos 2a - isen2a Ì
, _ i císa ]/ cis2a \
'.c is ( -a ) / '.c is { -2 a ) /
z = cis(2(x)cis(4i/.) = cis(6a)
, lm(z)
Re(z) -
sen6a 
eos 6a tan 6a
Si (a 4- bi)’’ = r 4- si, n e S, {a; b: r: s} c IR, determi
c (â + bMC21 . ^ ^r-i-s
Resolución:
Recuerde que: ♦ s - z = w | z | = |w|
• ! z " | = | z | - : V n € Z‘
(a ->■ bi)" = r 4- s ̂ n c 2
=> |(a 4- bi)"| = |r 4- sí|
== |(a - b i) f = r 4- sip
^ (la + bip)" = r + sip
(a' 4- b̂ )" ~
r ( s ' + b r = 1
r' + s'
A[ graficar las raíces de la ecuación ẑ “ - 1 = i en 
el plano complejo, hallar el número de raíces que 
se encuentran en el tercer cuadrante.
Resolución:
- 1 = i - Z ^ - = 1 + ¡
z “ / m = 5o r/ic ís4 4
^ ^ 2 k : i
z = “ /T fc is U 50
Donde: k = 0; 1: 2; 49
El afijo de z, e llIC, sí:
f - 2k;r .
^ < k < ^ k = 25: 26; 27; 37
Valores de k: 37 - 24 = 13 
En el INC, hay 13 raíces.
4. Sabiendo que: . ^ — = 9í, siendo “a” y “b"
3‘’ - (a + b)i
números reales no nulos. Calcular: E - 
Resolución:
3'i + 54. a, b e E - {0}
3“ ~ (a + b)i
=. 3̂ i + 54 = 9i[3" - {a 4- b)i]
^ 54 + 3"i = 9{a + b) + 9i{3)'̂
^ 9(a+b) = 54 A 3*' = 9(3)"
=>a4'b = 6 A a = b4-2 
De donde; a = 4 a b = 2
Reemplazando: + = ( / 2 + U )
^ E = 2 +
5. Si: z = X 4- ¡y xeE, y ?̂ 0, además: 1 + zVO. Hallar
el modulo de z para que el número w = —
1 + ẑsea real.
Resolución:
Por propiedad: 
a 4- bi
c + di 
w =
es real « - = c d
z X + yi X 4- yi
w es real
I 4-Z 1+(x4-yi)^ x̂ - ŷ + 1 4- 2xyi
X _ y
- ŷ + 1 2xy
2x' = - y' + 1 = + ŷ = 1
A y?iG
W + y" = 1 ••• |z| = 1
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6. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones son ver­
daderas?
I. V 2, w e C; z = z A (z + w) = z + w
II. v z , v / e C - { 0 } : ( - ) = —
III. |2 + 11 <2|2]
IV. 3zGlC/|2| = 2
V V 2 G C / | Z | > |2| + 1
Resolución:
I. V 2, Vl' G <C: 2 = 2 A (z + w) = 2 + W 
F
(2 = 2 z es real).
V
La proposición es falsa.
I. V 2, W G I - {0} : (—) = — ' w ' w
(F)
(F)No es cierto, porque z # z
III. V 2 G C, no necesariam ente;
[2 + 1! < 2|2|: porque v 2 = {x; y)
|z + 11' < 4|2|^ (X + 1 ) ' + ( - y ) ' < 4 (x ' -f y ')
« 3x' - 2x - 1 + 3 / > O
Esta desigualdad no es cierta v xy s SI (F)
IV.3 2GC/ |z| = 2
Es cierto, para 2 = (x; 0), v x > O (V)
V V 2 G C / 12| > |z| + 1, es fa lso pues:
|z) = |2| y por tanto O > 1 es absurdo. (F)
Solo IV es verdadera.
7. Determinar el menor número natural n de 2 cifras 
para el cual (i - J z f es imaginario puro. 
Resolución:
z = { \ - J 3 f = (S c is ^ '”
2 = 2 "c is 5nn
2 es imaginario puro si y solo si;
^ = k i , v k e lN A k impar b ¿
=> n = además: 10 < n < 99D
^ 10 < -|^ < 99 <k < 165
Como n es el menor natural, entonces k es el me­
nor impar a k = 5
„ _ 3(25)k = 25 = 15
8. Dado el número complejo: z = (3 + 3 i ) ( / 3 - 3 i ) 
-1 - -/3i
expresar z en su forma exponencial.
Resolución:
De, 2 ^ (3 + 3 i)(/3-3 i)
- 1 - - / 3 I
Expresando en forma exponencial cada compiejo:
3 + 3i = 3/2e"
/3 - 3i - 2 ^ g f '
-1 - 731 - 2e ^ ‘
7 _ (3/2,e^')(2/3e~')
— I
2e"*'
Si ±ii'
2 = 3/6e'^ ^
n/4
-3
4jt 
-1 3 ,
-V3
= 3/6
9. Determinar x e E*, tal que: Imi ̂ = 4-\x + 2i/ 2
Resolución:
1+xi (1+xl)(x-2i) 
x + 2i (x + 2 i)(x-2i)
_ 3x , / x ^ -2
x" + 4 \x" + 4
lx + 2i/ x̂ + 4 2
2 x ' - 4 = x ' -K 4 => X = X = 2 / 2
10. Determinar la gráfica del conjunto; 
A-{zGC/| lm(z) | >! |Re(z)|-1|}
Resolución:
Sea: 2 = x 4- yi 
En A; }yi > IW - 11 
Analicemos:
• Si: y> O => y> ||x| - 1|
Gráfico;
- 1 1
Si; y < O =» " y > (|x| - 1| 
o también; y < - ||x| - 1¡
Gráfico:
- 1 1
Finalmente la unión de las gráficas nos reprodu­
ce la gráfica de A,
y
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