Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (60)

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11. Determinar la gráfica del conjunto:
A = (z e C / |Re(z)| + Re(z) - |lm(z)| > 1}
Resolución:
Sea: z = x + yi 
En A: |x| + x - |y| > 1 
• S i y> 0 =» |x¡ + X - y> 1 ,..(1)
o también: y < |x| + x - 1 
Aquí: x > 0 = = y < 2 x - 1 
Pero no olvide que: y > O
Gráfico:
1/2
Gráfico (a)
Ahora: x < O =s y < -1 
Pero como: y > O 
En este caso no existen z e A 
Si: y < O =» |x| + X + y> 1 
=*• y > 1 - X - |x|
Aquí; x > 0 = :>y>1-2x 
Pero no olvide que: y < O 
Gráfico:
-..(2)
1/2'
Gráfico
Ahora: x < O => y > 1
Pero como: y < O
En este caso no existen z e A
Finalmente la unión de 
los gráficos (a) y (p) nos 
reproduce la grafica de A.
12. D ado los núm eros com plejos:
z^ = 2e^, Z2 = ^ + -^ i. Determinar. —
¿ ¿ Z2
Resolución:
z, = 28^
2ê = 2.e = 2ê
= 2 i l + S - \ ) = 1 + / 3 Í
13. Calcular;
E =
/ Tt • 71 \6 0 / ]T . Tr ,120
( c o s - j 4- i s e n - j ) ( c o s - ^ - i s e n ^ )
/ 7T - IT >50 / TT . TT »40(sen^ + icos^) (sen| + icos^)
Resolución:
cosa -i- isenu = cisa 
cosa - isena = cis(-a)
I ■ n >60
I eos— - tsen— ' V 4 4 ' iIcostt- tsen—
E =
í • TI \60ÍCIS3 )
(cís20ti) [c ís ( - 30n)] 
[ c is ( - 1 5 n )J [c is (- 5:t)]
^ cis(- lOn) • , .r, E = . , = cis{-10n
cis(-2 0 ji)
E = c ís IO ti = cisO = 1
-20-))
14. Si la gráfica del número complejo z = ^ f l ; a g IR
es ia que se muestra en la figura. 1 - ai
(a; b)
Afiio del complejo
1 R(ejereal)
Determinar el valor de "a”. 
Resolución;
De la gráfica: z = ] = qi1 - ai
Donde; q > O => 1 + ai = qi(1 - ai) 
=■ 1 + ai = aq + qi 
= aq = 1 A a = q (a > 0)
^ â = 1 .-. a = 1
15. Reducir el siguiente número complejo:
^ _ 73 + 2a + iV3 - 2a V3 - 2a + iV3 + 2a
V3 +2a - i 7 3 - 2 a V3 - 2a - iV3 + 2a 
donde: - | < a < |
Resolución:
Sea: x = 73 + 2a a y = 73-2a
Entonces, el complejo queda asi: 
x + yi y + xi 
X - yi y - xi
2 = (x + yi)̂ ______ (y + xi)̂
(x-yí)(x + yi) {y-xi )(y + xi)
2 ^ (x + yi) ̂_ i (̂x - yi)̂
r = (x + yi)^ + ( x - y i ) -
2 2 X + y
2(x^-y^) 
x̂ + ŷ
2[x^Myi)^]
x̂ + ŷ
Pero: ^ +
y V3-2a
3 + 2a 
3 -2a
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(3 + 2a) - { 3 -2 a ) 4a
+ ŷ " (3 + 2a) + (3 - 2a) 6
2a
16. Sea z G <C, tal que cumple;
jz + ZqI < a, donde Zg = (a; a), a g Ifi*.
Determinar el argumento de z cuya distancia a la 
recta vertical que pasa por x = -3a sea minima.
Resolución:
Sea: z = (x; y) g C; Zq = (a; a) a + bi - (a - + bi
Luego, en el dato; 2 ' 2Ì
|(x; y) + (a; a)| < a;
|(x + a ; y + a)| < a 
=> ( X + a ) ^ + (y -t- a ) ^ < a^ 
Graficando;
El argumento del z buscado es: 6 = 180° + a 
Cálculo de a (triángulo notable):
2a
53°
= 180° + 53” 413
17. Se sabe que los afijos de tres números complejos 
son los vértices de un triángulo equilátero de lado 
igual a 4 m, como se muestra en la figura adjun­
ta. Determinar el producto de estos tres números 
complejos.
Resolución:
Observar; z = (2 + 2/3 )(cos45® + isen45®
T T ^ 
2 2
z- 2 (1 + / 3 ) x : J ( 1 +i)
(0; a)
( 0 ; 0 )
2 = (x; y)
2{1 (a ;0 ) = z,
- z = (/6 + /2 )(1 + i) 
Además: z, = 2/2 a z , = 2 /2 í
Luego; Z,Z2Z = 2/2 x 2 / 2 i x ( / 6 + /2)(1 + i) 
z,zjz= 8(/6 + /2)(-1 + i)
18. Sea: |zp = 3Re(z), determinar: |z - 3/2| 
Resolución:
Sea; z = a + bi =̂ |z] = /a^ + b̂
En el dato: [zp = 3Re(z) => a' + b̂ = 3a 
Nos piden;
- +b^ = ^ a ^ - 3 a + | + b̂
- I
19. Determinare! módulo del complejo; z = (1 + e )“ 
Resolución:
Sea: w = 1 + e® = 1 + cis^
=» w = |1 + cos-^i + i : sen-^ ;
w = 2 c o s " i + i2 s e n ic o s i
w = 2 c o s i( o o s i + is e n i)
'16|wl cis
Observar; |w| = 2cos:1̂ b
Pero: |z| = |ŵ | = |wp 
|z| -4 c o s ':^
20. Dado los números complejos:
z, = 2e ̂ . Zj = 4 + determinar el módulo de —
Resolución:
Nos piden: 
k il = 2
21. Sea z e C, tal que: z = (i;-i)^« . De-
(3; — 1)(2; 0)
terminar el complejo equivalente de z.
Resolución:
z =
z =
(3;-1)(2;0)
_ (2 + 3í)(-1 - 2i) 
(3-i)(2)
_ ( - 2 - 4 i - 3 i + 6)(3 + i)
, _ (4-7i)(3 + i) 
2 ( 10)
2(3-i ) (3 + i) 
(-4)^
[(1 - i)1'
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Observar que; (1 - i)‘ = -4 
(12-21Í + 4Í + 7)2 =
19
20
17i
20
22. Sean z, y dos números complejos, tales
que; 2|z,| = \z^\ = 2, además: arg(z,z2) = y
arg(z,/z2) = Determinar el área del triángulo 
formado en el plano complejo porz,, Z2 y el origen 
de coordenadas.
Resolución:
Del dato; 2|z,| = Izj] = 2 
|z,| ^1 A \z¡\ = 2
a r g ( z , z 2 ) = ^ A a r g | ^ ) =
Por propiedad;
arg(Zi) + arg{Zj) = - y a arg(z,) - argíZj) =
De donde; arg(z,) = ^ ^ arg(Z2) =
Luego; z, = c is-^ A 2, = 2cis-^ o o
Graficando:
23. Efectuar: z = 1 + (11 + 2i)'" + (1 + 21)®’ 
Resolución;
De la expresión: z = 1 + (11 + 2i)’ ̂+ (1 + 2i)®’ 
Como: (1 + 2i)=’ = [(1 + 2i)Y'
(1 + 21)" = (1 + 3(21) + 3(2i)" + (2i)")’"
(1 + 2i)*’ = (1 + 6i - 12 - 8i)’ '
(1 + 2i)*’ = (-11 - 2i)'' = -(11 + 2i)’'
z = 1 +(11 +2 i ) ' ' - (11 +2i)’^= 1
24. Si |zí| = 4 y arg(z(1 + i)) = hallar el número 
complejo z en su forma polar.
Resolución:
|zi| = 4 => |z||j| = 4 » |z| = 4
arg(z(1 + i)) = i =, arg(z) + arg(1 + i) = -|
^ arg(z) + f = f
z = 4cis4 4
arg(z) = |
25. S e a : z = í m á n f % / 4 1 + 2 8 i ' ^ ^
47-7251/ 128I-41Í
determinar: \{z + 1)(z
Resolución
Ki * a + bi i(b - ai)Notar que: , . = 4:-------- - 1^ b - a i b -a i
7 = / 725 + 47if / 41 +28i \̂ ̂
U 7- 72 5 Í Í ■^Í28-41i - 1
z= (i)^® + (i)^^ - 1 = i + 1 - 1 = ¡
z +Luego: |(z + 1)(z + i)| = |z +
11 + ill^ l = 2/2
26. Resolver la ecuación: = 8 - 61, dar como res­
puesta ei producto de los módulos de las raíces.
Resolución:
La ecuación: = 8 - 6i, tiene dos raíces w/, y Wj,
donde:
w? = 8 - 6i = W2 A Wj = -wí.
Se pide: iw,||w2| = ¡w îll-w,!
= |w,||w,| = |w?| = |8 -6 i |
K I N = /8' + (-6)^ = 10
27. Si 45° es el argumento del complejo; a e E 
z = (1 - a)V1 + i + a(1 + i)), hallar su modulo.
Resolución:
Por condición;
(1 - a)V1 + i + a(1 + i) = rcis^
(1 - a)/1 + i + a +ai = ^ r + ^ r i
(1 - a ) / r n = J - ^ r - a ) + ( - ^ r - a n
Elevamos al cuadrado:
(1-a)^ + (1-a)^i = 2 ( - ^ r - a j i 
De aquí: • ~ a)̂ = O =» a = 1
* (1 -a)^ = 2 ( ^ r - a ' "
r = Izj = /2
/2.
28. Si z = 2e , determinar un complejo 'n que satisfa­
ce la condición; |z| = |z + w/| = |w|
Resolución:
z = 2 c o s ^ + is e n ^ l; |z| = 2
« z — 2|—-̂ + " ^ ‘1 =1 2 — — 1 + / 3 i
Luego, si w = a + bi 
De la condición:
2 = / ( - 1 + a)' + (/3 + b) ̂ = 
Tenemos;
Vp + b ̂= 2
• i i - 1 + a) ̂+ (/3 + b) ̂ = /a^ + b̂ 
=» a - /3b = 2=»a = 2 + / 3 b 
(2) en (1) :(2+ /3b)' + b' = 4
..(1)
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« 4 + 4/3b + 3b̂ + b' = 4 
=> 4b(b + V3) = 0=»b = 0 V b = - / 3 
En (2): a = 2 v a = -1 
El número complejo es: w = -1 - /3 i
29. Dados los siguientes enunciados;
I. El módulo del complejo
z = 1 + cos74° + isen74® es ~
II. El argumento del compiejo
z = 1 + cos20° + isen20° es 5°,
Ifl. El módulo del complejo
z = 21(1 + i)(2 + i)(3 + i) es 20.
Cuáles son correctos;
Resolución;
1. z = 1 + cos74° + isen74°
Z = 2cos^37° + i X 2sen37°cos37®
z = 2cos37° (cos37° + isen37°)
« |z| = 2cos37° = 2 X i
O
(I) es F
11. z = 1 + cos20® + isen20®
z = 2cos^10‘’ + i X 2sen10®cos10®
z = 2 cosió® (cosió® + isenlO®) 
=»arg(z)=10“ ^ ( l l ) e s F
III. |z| = |2i| |1 + i| 12 + i| |3 + i|
|z| = 2x ./2x V5x VTó 
=»|z| = 20 =(MI)esV 
Solo III es correcta.
30. Sea z e c y z su conjugada; se cumple que:
zz + 2z = 12 + 4i, arg(z) e 
Calcular ¡z|
Resolución;
Sea: z = a + bi
. 3ti
Si: arg(2) € . 3rt aAbG
En el dato: zz + 2z = 12 + 4i
=> (a + bi)(a - bi) + 2(a - bi) = 12 + 4i
^ (a '+ b ' + 2a) - 2bi = 12 + 4Ì
• -2b = 4 ^ b = -2
• â + 4 + 2a = 12 =» â + 2a - 8 = O
(a + 4)(a - 2 ) = 0 = » a = - 4 v a = = 2 
Donde: (a < 0) =» a = -4
O sea que; z = - 4 + 2i
|z| = = 2/5
31. Calcular el valor de: P = ¿ k + r i
k i - k ^
Resolución;
g [k + k^if
ki -k^
De (1); multiplicamos por i al numerador y al deno­
minador
k + k î 
k i-k^
ki-k^
k i - k '
IV . n
1=1 
i i
p ^ \y + { - \ f + ... ( - ¡)=‘'̂ 
P = - Í - - 1 + i + 1 - i - - 1 + ¡ + 1... - 1
o o
.. P = - i
32. Hallar el número complejocuya segunda potencia 
sea igual a su conjugado, dar como respuesta la 
parte real.
Resolución:
Sea; z = a + b i= » i = a - b i 
Dato: (a + bi)̂ = (a - bi)
â + 2abi + b̂ î = a - bi =» â + 2abi - b̂ = a - bi 
(â - b̂ ) -I- 2abi = a - bi 
= = — = E z ^ - J
-(1 )
1
De donde; â - b̂ = a 
2ab = ~ b
De la relación (2); 2ab = -b =» a = - ̂
1El número complejo es de la forma: z = - ̂ ± - ^ i
En(1); { -¿
La parte real es:
33. Sea el número complejo T, expresado como: 
T = 1 + --------1--------
1 +
1 4 - 1 + i 
1 - i
indicar su magnitud escalar.
Resolución;
“ , u e : l ^ = í l ± | ^ = f = i
1=1-1-
T = 1 +
2 2
T = 1 + = 1 + 3 + i
2 + 3-1 5 1:
2 2 2
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34. Determinar sí es falso (F) o verdadero (V) las si­
guientes proposiciones respecto al número com­
piejo:
z - (1 -
I. |z| = (1 - -/3)®(-/2f
II. Su argumento principal es ^
III. Su argumento es ~
IV. Su argumento es 
Resolución:
z - (1 - - Í 2 f
Se puede escribir así:
(1 - V a f d - - í z f í
(+) (-) (+)(+),
n.° negativo 
» z = [n." negativo](cos-|+ ’sen^)
• “z" no está expresado en forma polar, para ello, 
el número dentro del corchete debe ser positivo 
(éste sería el módulo de z). Por tanto el signo 
debe ser absorbido por la expresión entre pa­
réntesis, asi:
z = [n.° positivo](cos-^ -h ísen|-)(-1)
= [n.° positivo](cos(n + -j) -H isen̂ Tt -h 
Pues: -1 = COSTI + isenn
• z = [n.° positivo]|cos-^ + isen^-^jj 
Luego:
)z| = (1 - - 1)̂ e^e^ = n.° positivo
arg(z) = ^
(I) es F; (II) es V; (III) es F; (IV) es F.
35. Hallar el argumento del complejo: z = i ", siendo w 
una raiz cúbica no real de la unidad.
Resolución:
Dato: w - - - l + - ^ i o w - - - l - - ^ i
- 1 4 |2 2
De aquí, se puede escribir: z = i i^(i')̂ 2 
Por Euler: e“ = cos9 + isen0; v 6 en rad.
Si; 9 = -|- => = cos-| + isen^ =>
Elevando a ia i, tenemos: (e^) = i' = i' =
Enz; z = i^(e
z = e
36. Calcular un valor de: 1 - 2 ^ - 
Resolución:
Transformando de adentro hacia afuera; teniendo 
presente que i <> î
Reemplazando:
(2i) = (1 + i)'
- y - 2 i l - 2 ' ° J ¡ Í l - J ( 1 + i f
^ ; pero; - i <> i'̂
- ; pero: î
^ Í - 2 Í - 2 " ^ ^ = ^ /-2 j^2 Q
= V-2/(1 - i f = 2 + 2i
Pero: - 2 + 2i = (1 + i)̂
Reemplazando nos queda: 1 + i
o i'
37. Si: T = 1 + " f \
2 cosí \ n
y k = 0; 1:2; (n - 1)
calcular: |T|
Resolución:
Calculemos las raíces enésimas de 1, asi: 
''/T ^ cos|-?^J + isen^-?^
Por condición: l< = 0; 1; 2; ...; (n - 1)
De aquí;
1 + VT = 1 -Hcosí— Ì + isen 2krt
1 + VT = 2cos'(^ j + i X 2 s e n |^ )c o s |^
1 + -/T - 2cosíl^' c o s (^ )+ is e n í^ j
Reemplazando en T: 
T = eos — + isen— n n
Por Moivre: T = 1[cos(kp7i] + isen(kpn)]
|T| = 1
38. Dado un complejo z, tal que: Re(z) ^ lm(z)
A a r g ( z ) /
Calcular el resultado de efectuar; P = ^ t
z + 2| z f
sabiendo que es un imaginario puro. 
Resolución:
Sea; z = a + bi / a # b; ab O 
Sabemos que; lz|̂ = zz
P =
2i^ + j2|
z" + 2 |i|
2z*̂ + z x z 
z^ + 2zz
P = z(2z + z) i 
z (z + 2 i) " 2
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Es decir; P = - — ^ = n.° imaginario puro (dato)
3 H~ DI
Tener en cuenta que:
Si: P = È— ^ = n imaginano puro
c + di
Entonces se cumple que: ac + bd = O 
En nuestro caso:
a(a) + b (- b) = O ^ (a + b)(a - b) = O 
De aqui: a = - b v a = b, pero
- b - bi ~En P: P = - b + bi bi(1 -_i)j
39. Determinar la gráfica de:
H = {z e (D IRe(z) + lm{z)l < 2 a O < arg{z) < ti/2}
Resolución:
Sea: z = x + yi =■ |x + y| < 2 (dato)
De aquí: - 2 < x + y< 2
Como: O < arg(z) < n/2 =* x e y son negativos
Es decir: x > O a y > O
Entonces: O < x + y < 2
De donde: y < 2 - x
La gráfica de H será la región (incluido el contorno) 
determinada por las rectas: x = O, y = O, y = 2 - x. 
Y
2
X y
0 2
2 0
y = 2 - X
H
40. Si; |z + = |z - w|, V z, w e C, hallar: Re(zvií)
Resolución:
Como: \z\^ = zz
De la condición: |z + w| = |z - wj 
Elevando al cuadrado: |z + w|̂ - \ z - w|̂
De aquí: (z + w)(z + w) = (z - w)(z - w)
(z + w)(z + w) = (z - w)(z - w) 
zz + 2w + wz + vm = zz - zv/ - zw + ww 
Transponiendo términos nos queda:
2(zw + zw) = 0 => zw + zw = O
Pero: zw = zw zw ( zw ) =0
2Re(2w' = 0
Re(zw) = O
41. Reducir el siguiente número complejo:
^ _ V3 + 2a + i /3 - 2a V3 - 2a + i 73 + 2a
I 2a i/3 ^ /3 ^ iV3 i 2a
donde;
Resolución:
Sea: V3 + 2a = m a V3 - 2a = n 
Multiplicamos y dividimos por i, la segunda fracción 
m + ni (h
m - ni (n - mi)
mi),, i m + ni , m - ni
X T ^ Z — . +I m - ni m + ni
z =
(m + ni)' + (m - ni)̂ _ 2(m ̂+ n î‘
m^-(ni)^ m̂ + n̂
2(m' - n̂ )
m + n
Pero: m̂ = 3 + 2a a n̂ = 3 - 2a
Luego: z = 2 (4a) z = 4a
42. Darei valor real de: E =
3 + 4 Í
Resolución:
Del dato; E + i =_3,25(2- i )
3 + 4Í
Elevando al cubo:
.̂ 3 _ 25(2 - i ) ( 3 - 4 i ) _ 25¡2 + i)(3-4i)
(9 - 16i^h^ 2 5
(E + i)̂ = 3 + 4i (3-41)
(E + i)® = 6 - 8i - 3i - 4 
+ 3E î - 3E - i = 2 - 11Í
(Ê - 3E) + (3E '- 1)i = 2 - 11i 
 1 = ____________ í
Igualando:
• E' - 3E = 2 ^ Ê - 3E - 2 = O 
=* E = 2 ...(1)
3E' - 1 = -11 F^= M 
3
...(2)
De (1) y (2) la única solución real es 2.
43. ¿Cuál es el número complejo, que su inverso es 
igual a su conjugado e igual a su opuesto?
Resolución;
Sea el número complejo; z = x + yi 
1 = _• 1 = x - y i = - x - y i
(2 ) (3)
Dato; - = z = z =>z X + yi
7 T T
(2) = (3): X - yi = - X - yí
x = - x = » x = 0
( 1 ) = (2 ): — —̂ : - X - yi => = -y i
_x_ + y ^ yi
O
=, y2 = 1 => y = ±1 
Luego: z = O + (±1)i z = ±i
44. Si el producto del complejo; (a + bi) por el opuesto 
del conjugado del conjugado de dicho imaginario, 
es ima9¡nario puro y val© —2i, determinar la forma 
polar de dicho complejo (a + bi), (a > 0)
Resolución:
El opuesto del conjugado del conjugado de;
(a + bi) es: ( - a - bi)
Luego: (a + bi) [ - (a + bi)] = - 2i 
(a + bi)' = 2i
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