Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (61)

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Como: a > 0 =» a = 1 ;b=1 
Entonces: (1 + i) = -/2cis^
(1 + i) = V2(cos^ + isen jj
45. Sea z e C, tai que se cumple: |z + z j < a, donde 
Zo = (a; a), a e E'. Determine ei argumento de z 
cuya distancia a la recia verücal que pasa por x = - 3a 
sea ia mínima.
Resolución:
Sea z = (x; y) e (E; ẑ = (a; a)
Luego, en el dato:
|(x; y) + (a; a)l < a; a e ffi"
|(x + a; y + aj < a => (x + a)^ + {y + a)^ <
^ w ^ 2 c o s ^ { c o s ^ + is e n ^ )
Observar: |vȒ | = 2cos:;^
I b
Pero: \z\ = |ŵ | o |z| = |w|̂
| z | = W i
48. Calcular: z = — ^ , n es entero positivo.
( 1 - i r
Resolución:
Gomo: 1 + i = -/2 e' '̂" y 1 - i = -Í2 e’ "'"
(/2e '^T
Observar que el argumento del z buscado es: 
e = 180” + a
Cálculo de a (triángulo notable):
2a
53“
^ a = ~ 
e - 180“ + =
46. Probar que el número complejo /̂4 - 2i es la raíz 
de P(z) = O, siendo P{z) un polinomio de coeficien­
tes enteros.
Resolución:
Sea: z = - 2i o 2 + 2i = V̂4
Elevando al cubo: 
ẑ + 3z'(2i) + 3z(2i) ̂+ (2i)̂ = 4 
^ z' - 12z - 4 = i(8 - 6ẑ )
Elevando al cuadrado;
P{z) = z® + 122“ - 8z® + 48z ̂+ 96z + 80 = O 
que es una ecuación polinomial que tiene a 
z = /̂4 -21 como una raíz.
47. Determine et módulo del complejo: z = ( i + e®) 
Resolución;
Sea: w/ = 1 + e^ = 1 + cis-Ô
=» = Icos^ -t- isen-5-
w = 2cos^:^ + 2isen:^cos:^
I D V ' O l o
I(iü4 + n í í ) ^ n -2 ^g lil/4 -^2
* z = 2(e’"^)"-V '^ = 2Í" M = 2 i"-’ ,pues: e'̂ '̂ = i 
.. z = 2 f ~ '
49. Si w # 1 es una raíz enésima de la unidad, calcular 
la suma; S = 1 + 4w + 9w^+ ... + nV"”’’
Resolución:
Nos piden:
S = 1 + 4w -I- 9v/ + 16w^+ ... + n V ' ’ . . . ( a ) 
Multiplicamos porw ambos miembros: 
wS = w + 4ŵ + 9̂ + ... + (n - 1 )V '’ + nV.,.(P) 
Restamos (a) - (p);
S(1-w)=1+3wí+5w^+7w^+...+(2n-1)w'^'-nV ...(I)
‘ I
calculemos por separado E
Sea;
E = 1 + 3v\/ + 5 v / + 7w^+ ... + (2n - 1)w/"” ’ ,,,(1) 
Multiplicamos por vi ambos miembros: 
wE = w + 3v/ + Sw" + ... + (2n - 3)w"-' + (2n - 1)w".,,(2) 
Restamos (1) - (2);
E (l-w )= 1+2w + 2w" + 2w^ + ...+2w ";^ - ( 2 n - i r 
E(1 - wí) = 1 + 2w/(1 + v j + vj^ + ... + v/''^) - (2n - 
1 - vj"’E(1 - w) = 1 -H 2w X 
E(1 -w ) = 1 + -
1 - Wí
2 (w -w '')
- {2n - 1)w"
- (2n - 1)w''1 - w
No olvide que: si w es una raíz enésima de 1 =» w" = 1
Luego: E(1 - w) = 1 + 2 ^^ - (2n - 1)
= E(1 - w) = 1 - 2 ~ 2n + 1 ^ E = -2n 
1 - w 
-2nReemplazando E en (I): S(1 - w) = —
S =
-2 n - n^(1 — w) S = n^(w - 1) - 2n 
(1 -w )^
50. I-tallar la suma de los números complejos en la ex­
presión A;
A=(1 +i)+ (2 + î ) + (3 + î ) + (4 + i*)+ ... +(4n + i*")
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Resolución:
S u m a n d o s e p a r a d a m e n t e :
A = ( 1 + 2 + 3 + . . . + 4 n ) + ( i + P + P + . . . + n 
P o r s e p a r a d o :
S , = 1 + 2 + 3 + . . . + 4 n = 2 n ( 4 n + 1 ) 
C o n s i d e r e m o s :
s , = i + i ' + i ^ + i - + ( i ^ + . . . + ¡ V . . . + ( j * ^ V i * ' ^ + i * - - ^ + i * )
E s c l a r o q u e : i + i ' + P + i" ' = O 
= > ¡^ + i® + 1̂ + i® = ¡■’ ( i + ¡2 + ¡3 + j'» ) = o 
=> i“' " ■ " { i + i ' + i^ + 1^) = O , p o r t o t a n t o ; S j = O 
F i n a l m e n t e : A = S , + $2 A = 2 n ( 4 n + 1 )
5 1 . H a l l a r l o s z e C , t a l q u e s e a c o n j u g a d o c o n s u c u a ­
d r a d o .
Resolución:
S e a ; z = r e " = ^ z = r e ” "® y | z | = | z | = r 
C o m o : z = z ^ = > z = z = ? = ( z ) ^
R e e m p l a z a n d o z p o r s u f o r m a e x p o n e n c i a l :
z - re^ = (re-")' -
E s t a i g u a l d a d e s e q u i v a l e n t e a :
r = « r = 1 v r = O ( e n E )
e** = e"""' « 36 = 2l<n « 0. = •; l< = O, 1,2
2knC o n s i d e r a n d o : r = 1 y 0 ; , = ; k = O , 1 , 2
k = O = e“° = e*“ = 1
k = 1 ^ z = - 4 + 5 - i
k = 2 ^ z = e " ^ = e- o'®2 - _
2 2
C o n s i d e r a n d o r = 0 = » | z | = r = 0 = > z = 0 
P o r l o t a n t o , l o s p o s i b l e s v a l o r e s d e z s o n :
z = o,z = 1 . z ^ - l + f i . z = 4 - f ¡
5 2 . D e m o s t r a r q u e s i : | z | < ^ 1 (1 + i ) z ^ + i z | < - | - 
Resolución:
1(1 + i)Z^ 4- ÍZ| = !Z||{1 + i)Z^ + i| < |Z|(|1 + i| |Z|^ +
- i z | ( / 2 | z | = + 1 ) < l ( / 2 ( I ) ' + l )
+ 2 + 1 ^ 3
8 2 8 2 4
5 3 . S i : z = - 1 + ^ 3 i , h a l l a r e l c o m p l e j o z ® . 
Resolución:
z = - 1 + / 3 i 
! z | = 2
a r g ( z ) = 120°
=> z = 2 0 1 3 1 2 0 “ 
z® = [2c i s 120“ ]® 
z® = 2® c i s ( 8 x 120° ) .
2® = 2 ® c i s { 9 6 0 “ ) = 2 ® c i s 2 4 0
Im
2j . ................
1 V
> ^ 2 0 '
-1 c Re
z ® = 2 ® ( c o s 2 4 0 ° + i s e n 2 4 0 ° ) 
2 2
z® = - 128(1 + -/3i)
54. Indicar el valor de verdad de las siguientes afirma­
ciones:
I. IV4 + iVl5 i = 2
II. { I 2T J 2T W + \ - l Y - l 2 + Í2 f = ~ { 2 f
III. |1 - ê p̂ + |1 + e^l' = 4 
R e s o lu c ió n :
I. Recuerde que: | "Vz | = '’/ jT [ a |a + bi| =
I V7 + iJÍ5 I - 3 ^ + " i/ Í5 I - + /15^
= = «/64 = 2 (V)
II. (a + bi)' = (a' - b^) + 2abi
( /2 W 2 T W + \¡2 - Í 2 + ^ f
- [ h + Í 2 ~ + ñ + i ̂ 2 - -/2 + /2 f f
= 2 + V2 + V2 - 2 + V2 + /2 + 2 iM -(2 + V2)f
- [ 2 V2 + - / 2 + 2 i^ 2 - / 2 f
- 2 MV 2 + V2 + iJ 2 - / 2 f 
= 2®|{V2 + /2 + iJ 2 - ;2 } " f
- 2 ® [ 2 + -/2 - 2 + V2 + 2 i / 2 ' - 2 f
= 2 ®[2 / 2 + 2 / 2 i f - 2 " ( 2 / 2 ) ^ 1 + i)^
= 2 ® x 2 ''x 2 '( -4 ) =- 2 ' ® (V)
III. |1 - e*"!̂ + |1 + e"|' = 4
= |1 - COS0 - isentíp + |1 + cosO + isen0p 
“ ~ cose)' + sen^e + ( 1 + cos0)' + sen'0
= 2(1 + cos'e) + 2sen'e 
= 2(1 -H cos^e + sen'6) = 2(1 + 1)= 4
í
.-. W V
55. Si z es un número complejo definido por
( - 1 - if( /2 c is (3 1 5 ° )) ‘'
{ ¡2 e^' f 
hallar el equivalente de z.
R e s o lu c ió n :
( - 1 - i)^(/2cis(315°))'
• - 1 - i = V2 cis 225°
• i2 o ^ ‘ = Í2 c \ s ^ = i2 cis45°
4
Lue q o - 2 = < ^ c is ^ 2 5 ° ) ^ /2 c ¡ s 3 1 5 ° ) '
( /2 c is 4 5 “ )®
(V)
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_ /2^cis(3x225 )/2‘*cis(4x315 ) 
I2^cis(5x45") 
z = ■/2^cis(675'’ + 1260° - 225°) 
z = 2cis1710° = 2cis270°
z - 2 ( - i ) - - 2 i
56. En la figura adjunta se muestran los números com­
plejos A, B, C, D, M, P, Q, R, S y T. Determine  , 
B^ y D̂ (en ese orden)
Resolución:
De la figura, nótese que:
A = 2cis 45° => = 4cis90° = P
B = 2cis 135° =. = 4cis270° = M
C = 2cis 225° ^ = 4cis450° = 4cis90° = P
D = 2cis315* => D̂ = 4cis630° = 4cis270° = M
A' = P B" = M, = P D" = M
57. Si el complejo z = 1 + ■ 1
a + bi b + ai- , a y b e E es el
conjugado determine el valor de:
E = (a -1 )^ + (b-1)^
Resolución:
En z:
1 ,a - bi. -H ■ 1 /b -a i
a + bi a - bi b + ai b -a i 
a - bi j b -a i
a' + b' + â
a + b
a ' + b̂ ' 2 2'
De aqui:
# T F = 5 - ^ “ + *>̂ = 2(a + b)
En lo pedido'.
E - a_^^-2^+1+b" - 2b + 1 
E = (â + b') - 2(a + b) + 2 E = 2
58. A es una región definida por
A = {z e C / |z - 2 - i| < 3 v |z + 2 - i| < 3}
si Zi y Zj está en A, tal que |z, - Z2I es máximo,
hallar el valor de ZiẐ .
Resolución:
A = { z c ( [ : / z - 2 - i | < 3 v |z - t-2 - i|< 3 }
Si: z = (x; y)G C, x, y s E.
|x + iy - 2 - i| <3 ^ |(x + 2) + (y - 1) i|^< 9
^ (x + 2 f + (y - 1)̂ < 9 ...(1)
|x + iy + 2 - i| ¿ 3 - l(x 4 2) + (y - 1)i)‘ < 9 
= (x + 2)̂ ^ (y - 1)̂ < 9 --,(2)
Graficando tas regiones (1) y (2):
59.
Del gráfico, tomando z,, a Zj en A (cualesquiera) 
|z, - Z2I será máximo solo en el caso 2, para esto: 
z, = -5 + i; Z2 = 5 + i (o al revés)
Z,Z2 = (-5 + i)(5 + i) Z,Z2 = î - 25 = -26
De todos los complejos z que cumplan:
|z + 3| = 2; O <. arg(z) <~ 2n 
Seleccionar et que tenga mayor y menor argumen­
to y dar como respuesta la suma de sus partes 
imaginarias.
Resolución;
Los z G C que verifican la igualdad |z -1- 3| = 2, son 
todos aquellos que se encuentran en el contorno 
de la circunferencia con centro en (-3; 0) y de ra­
dio 2. Graficamos, y véase cuál es ei complejo de 
mayor y menor argumento.
Complejo de menorObsérvese que z, y caracterizan puntos simé­
tricos respecto al eje real y cuando ello ocurre, los 
complejos son conjugados (difieren en el signo de 
su parte imaginaria),
,-, Suma de partes imaginanas: O
60. Si A es un conjunto definido por
A = {z e C / Re(z) + lm(z) > 1 ̂ \z\ < 1} cuya gráfi­
ca determina una región cerrada, hallar el área de 
ia región.
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Resolución:
A = {z e <E / Re(z) + lm(z) > 1 a |z| < 1} 
Si z = (x; y) e (E; X, y e E
• Re(z) + lm(2) >1 => X + y > 1
• |zl < 1 = |z f <1 = x̂ + ŷ < 1 
Graficando;
S/41 —
n(1)' 1(1)
s,., -
4
71 - 2
61. Hallar la gràfica de: A = {z +4i /|Re(a) + lm(z)| < 4} 
R e s o lu c ió n ;
A = {z + 4i / |Re{z) + lm(z)| < 4}
Sì: z = (x; y) e C. x, y e E 
A = {(x; y + 4) / jx + (-y)| < 4}
A = { ( x ; y + 4) / |x - y l < 4}
Sea; B = {x; y) / |x - y| < 4}
( x - y ( < 4 =• ~ 4 < x - y < 4 
=> - 4 < x - y A x - y < 4 
= > y < x + 4 A y > x - 4 
La gràfica es:
■ Im
Re
La gràfica de A será (aumentando 4 unidades a 
todas las ordenadas).
8
Im
- 8
0 Re
62. Hallar la gráfica que representa el conjunto
A = {z € (C / O < arg(z) < n a |z| < 2 A [z - i| > 1}
R e s o lu c ió n ;
A = { z s C / 0 < arg(z) < n a |z) < 2 a |z - i) > 1}
• O < arg(z) < n =» z está en el semiplano por 
encima del eje real (incluyendo este).
• |z| < 2, su gráfica es un disco con centro en el
origen y radio 2.
• |z - i| > 1, si z = (x; y) eC
^ l z - i | '> 1 =» l( x ;y - 1 ) | '> 1
=» x̂ + (y - 1)' > 1, cuya gráfica es la región exte- 
rior a un disco de radio 1 y centro (0; 1)
Intersecando las tres regiones, resulta:
63. Si A es un conjunto definido por;
A -{z e < C /2 < (z (< 4 A ¡ a r g ( z ) l < p 
hallar la gráfica de A.
R e s o lu c ió n ;
A = {z e C /2 < jzj < 4 A |arg(z)| <
2 < |2| < 4 A z = (x; y) e C
^ 2̂ < x" + / < 4= 
y sus gráficas es como sigue:
La gráfica es:
Im
fe
64.
La intersección de estas regiones genera la re­
gión definida por A.
En ia figura adjunta se muestra la gráfica de un 
conjunto A c C. Hallar la gráfica de; B = {z / z e A}
Im
/ i ,
- 3 / 3 Re
/ - 3
R e s o lu c ió n :
Si; z = (x; y) e C ; X , y e E = z = (x; - y) 
Luego: B = {z / z e A} tendrá por gráfica:
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