Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (62)

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PROBLEMAS DE EXAMEN DE ADMISION UNI
PROBLEMA 1 (UNI 2002 - II)
Al resolver, en el conjunto de los números conrtplejos,
el sistema:
(1 + i)z - w = -1 - i 
2iz + (1 - i)w = i
El valor de — es: w
l _ i 
2 6
D i - l . i E)
Resolución:
Calculando el determinante del sistema: 
1 + i - 1A = 2i 1 - i
Calculando y 
-1 - i -1 
i 1 - iAz = 
Aw =
1 + i - 1 - i 
21 i
A = 2(i + 1)
^ Aj = -2 + i
- A . = 3 ( i - 1 )
Luego: — =w A „
a "
A„ . z = l + l 3 ( i-1 ) ■ 2 6
Clave; C
PROBLEMA 2 (UNI 2003 - II)
Indique gráficamente todos los puntos del plano que 
verifican las relaciones: |ê | < 1 y [z| < 1 
donde: z = x + iy
A) B)
yt
D}-
Resolución:
Como: z = X + iy, tenemos que: |ê | = |e’' '’'| = e‘ 
Graficando: |e"¡ < 1 : e' ? 1 ; e’ < = x < O
♦V
Graficando: |z| < 1
-1
Intersecando ambas gráficas:
- ^ 5 .
-1
Clave: D
PROBLEMA 3 (UNI 2004 - 1)
Hallar la suma A de números complejos:
A - (1 + i) + (2 + i'’) + (3 + i') + (4 + i") + ... + (4n + i"̂ )
A )n (2 + 1 ) B)2n(4n + 1) C) O
D) n(4 + 1) E)2n(4n - 1)
Resolución:
Agrupando convenientemente:
A = (1 + 2 + 3 + ... + 4n) + (i + + î + ... + i'*")
4r̂
Recordando la propiedad: ^ í" = O
k = 1
Aplicando: A = 1 + 2 + 3 + ...+ 4 n
A = (4n) {4n + 1) A = 2n(4n + 1)
Clave: B
PROBLEMA 4 (UM 2006 - 1)
Determine la representación geométrica de todos los 
puntos del plano complejo que satisfacen la condición; 
jz - 1! < 6 - !z + 11
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Resolución;
Aplicando teoría en la desigualdad planteada, z = x + yi, 
este valor se reemplaza en la expresión dada;
¡X + yi - 1 | < 6 - |x + yi + 1|
|{x -1 ) + y i |< 6 - | ( x + 1 ) + yi|
/ ( X - + y ' < 6 - / ( x + l f + y'
Luego, al elevar al cuadrado se obtiene:
V (x + lf + y" < 9 + X 
8x̂ + 9 / < 72
< 1
3̂ (2 /2 f
Finalmente, se concluye que la gráfica adecuada es:
(0; 2-/2)
(-3:0)' '(3; 0)
(0; - 2 V 2 )
Clave: B
PROBLEMA 5 (UNI 2006 - II)
Si z = X +iy, grafique los puntos en el plano cartesiano 
z!que representa el conjunto z - 1
z + 1
> 3
.... y
/ (-5/4:0)\
\j/r^-= 314/
(0;0)
O
(0:0)-
(3/4; 0)'.,
■••/r = 3/4.
v'(0;0)
Resolución:
Con: z = X + iy
> 3
z + 1
=• |z - 1| ’ 3|z + 1|
Reemplazando z: (x - 1)̂ + ŷ '■ 9(x +1)^ + 9 / 
Resolviendo: x̂ -|x + 1 + ŷ < O 
Luego, completando cuadrados: +
Su gráfica será:
y
! (-5/4; 0)'.,
3/4..''
(0:0)
Clave: A
PROBLEMA 6 (UNI 2007 - 1)
Determine la suma de las raíces de la ecuación: 
16(z^ - 2ÍZ - 1 )' = z"
A)
D)
3 -4 Í
15
- 2 + 4Í
B) 2 + 4i
Resolución:
Sea: 16(z^ - 2 iz - 1)^ = z‘ , desarrollando obtenemos: 
15z" - 64iz^ - 9 6 z ' + 64ÍZ + 1 6 = 0 
Por teorema de Cardano:
( - 6 4 Í ) 64ÍSuma de raíces: -•
(15) 15
Clave; E
PROBLEMA 7 (UNI 2007 - 1)
Si n = 8k y k G calcule el valor de R:
/2 /2
B) -1 
E)4
Í2 ' 
0 2A) O 
D)3
Resolución;
R = ( ^ ) [((1 +i)^)^^ + ( ( - i + i)T J 
R = ^ [ (1 4 2i - 1)̂ ̂+ (1 - 21 - 1)̂ ‘] = ^[(2 i)^‘= +
R = ^ ¡ 2 ( 2 in = ^ (2 X 2 /^ = 2
Clave: C
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Ai resolver el sistema
PROBLEMA 8 (UNI 2011 - II)
|z - 3i| = 2 
y - x' = 1
donde z = x + iy es un número complejo, ta suma de las 
ordenadas de los puntos solución es:
A) 9 B)8 0 7
D)6 E)5
Resolución:
Siendo: z = x + yi = » z -3 i = x + ( y - 3)i, su módulo:
|z - 3i| = + (y - 3 f , por dato: |z - 3i| = 2
- Jx^ + ( y - 3 f - 2 => + {y - 3)̂ = 2= ...(a)
De la 2. ̂ecuación: y = x ' + 1 ...(P)
Reemplazando p en a: x' + (x' - 2 f = 4 
Resolviendo: x'(x' - 3) = O
X = O => y = 1 
Su gráfica será: • x = /3 => y = 4
X = -/3 = y = 4
Puntos solución: {0; 1), { /3 ; 4), ( - /3 : 4)
La suma de las ordenadas es: 1 + 4 + 4 = 9
Clave: A
PROBLEMA 9 (UNI 2012 - 1)
Sea E =
i6 Í 2 3 i 2 2
Indique cuál de las siguientes proposiciones es verda­
dera
I. Re(E) =
II. lm{E) =
1 - / 3 
2
1 +-/3
III. E = -/2 e '
A) Solo I 
D ) ly l l l
Resolución:
B) Solo I 
E) I. II y
(1 + i ) ( - f + f i) ( Í2 ¡) (1 + í ) ( - ^ + f i j ß x ß i
C) Solo III
/3 :
E =
E - ( i + i ) J - I + : J i ) r - / 2 c i s ^ c i s ^ c i s | - - / 2 c i s ^
E = ■Í2<
De donde:
Re(E) - A lm(E) = ~ ~ ^ A arg{E) =
I y III son correctas
Clave: D
PROBLEMA 10 (LM 2014 - 1)
Considere: S„ =i + i' + i^+ ... i", donde i' = 1, con 
n e IN. Dadas las siguientes proposiciones.
I. S„ + S„ 1 = i, si n es impar
II. S„ = S„ 1 + Sr,. 1, si n es par
III. Sn = -1 , si n tiene la forma n = 4k + 3, con kente­
re no negativo
Son correctas:
A) Solo I B) Solo II C) Solo III
D ) ly l l E ) ly t l l
Resolución:
S„ = i + î + i^+ ... + i"
i " - 1S = = - ix i( i^ - 1)
" i - 1 ^ i ( i - l )
Sn + S„ . , = i
s„ = i + 1
I -h 1 1 + 1
i" + i" " ’ - 2 = i(i + 1) ^ i"(1 + i) = -1 + i + 2 
i"(1 + i) = (1 + i) =, r = 1 
n = 4k (F)
S_r-M
r - 1 r - ' _ 1 , ¡"-̂ 1
i + 1 i + 1 i + 1
i " - 1 =, i " - 1 = 0 - 2
i" = -1
=» n = 4k + 2 (F)
S„ = -1
i" - 1 = -1i+ 1 
i" - 1 = - i - 1 
¡" = -1 =, n = 4 k + 3 
Solo III
(V)
Clave: C
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PROBLEMAS PROPUESTOS
■ ■
6.
7.
8.
Calcular:
2 = (1-2iX2-i)+{3-4iX4-3i)' 
luego indicar el mòdulo de 2.
A) 22 140 B) 22 410
D) 22 104 E) 22 100
.+ {39 - 401X40-391) 
0 24 201
Reducir el siguiente complejo:
, ^ 73 - 2a + iV3 - 2a 73 - 2a 4 iV3 + 2a
73 + 2a - i 73 - 2a 73 - 2a - i 73 + 2a
donde: “ f - ^ §
A) 2a/3 
D)4a/3
B) -2a/3 
E) -4a/3
C)a/3
3.
4.
Si zes un complejo que verifica: + (1 - /2 )z = 0,
calcular el valor de'
E = z + z' + z’’ + z‘ + + 1 + z'' + ẑ
A)1 B)i C)0
D)2i E)4 + i
Si: z = 12 + 1213Ì A w = 54 + 11 031i, 
calcular:
E -
— 2— + — 2------
z + w 1
A)1
D)0
B )1213 
E) 12/54
C) 11 031
5. Resolver la ecuación: z’’ + ẑ 4 (4i + 1 )z + 5 = 0 
Si una de sus raices es imaginaria pura, indicar el 
mòdulo de una de sus otras raices.
A)
D)2 73
8) /3 
E)2/5
C) 75
Dado el polinomio: P(z) = {z - a)ẑ + (4 + 2i)z + 6 
Donde: z c C, calcular el valor de “a" para que: 
P(1 + i) sea un nùmero real.
A)5 B)--4 0 3 D )-2 E) 1
Calcular la suma de las siguientes 12 fracciones:
17-85Ì .2 -4 i , 5 - 151 , 10 -401 
73 + 4Ì TsTeì 715 + 81
A) -5871 
D) -6281
B) -6621 
E) -626t
724 + lOi 
C) -5851
Si X + yi = (s 
calcular el valor de
ti)"; n S /, {x; y; z} c IR
(s ' + t^r
A)1 
D) 3
B)0 
E) 2
9. Los cocientes siguientes:
r
C)n
a + 2 i. b + ai + Bi
b - 31 ’ a + bi 
corresponden a un complejo real y un complejo imagi­
nario puro. Calcular al producto de dichos cocientes.
A )- f i
“ 4 '
B ) - | i
10. Calcular el mòdulo del complejo:
(6 + 8i)‘ (1 + l 3 \ y ^
(4 -3 .)^
A) 2"' B) 2'
D) 2'® E) 2"
0 2"
11. Reducir: z =
A)2i
D)4
(1+i)^
{1 - i)
1 - i
1 + 1 + i 
1 - i
B) -21 
E) -4
C)1
12. Hallar un valor de: V-2'/-2'°'/i''V l - ■/2®7T
A) - i B)i O 1 - i
D) 1 E )1 + i
13. Si se verifica que A Bj C ;B g IR. 
a - bl B C
Determinar la relación correcta.
A)A + B = C 
C)A ' + B' = C 
E)A' + B' + 1 = C
B) B̂ + Ĉ = Â 
D) ABC= 1
14. Siendo: i = (0; 1), calcular el valor de z.
 ______________x'* + 4_____________
(x -1 - i)(x - 1 + i)(x+ 1 + i)(x + 1 - i)
A) O B)1 0 2 D )-1 E)3
15. Si z - (a -t)i)^ + (b -c i)^ + ( c - a i) '
a(b - ci) + b(c - ai) + c(a - bi) 
calcular: Re{z); v a, b, c e IR - {0}
A) O B)-1 C)1
D)2 E)abc
16. Dados: z, = (a; b); Z2 = c + di, 
tal que: z,, Zj e C : a, b, c, d e IR
Hallar la condición para que ( — ) sea imaginario
puro.
A) be = ad 
C)a + b = c + d 
E) bd = ac
B) ac + bd = O 
D) ab = cd
17. Si z,; Z2 e C, tal que: [3z,j = [2z2| = 12
Calcular el valor de: E = |z, + + |z, - z ¡
A) 105 8)104 0 102
0)101 E)98
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