Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (64)

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Matrices
y
Determinantes
O
D
a
o
o
Gabriel Cramer nació en Gine­
bra el 31 de julio de 1704 y mu­
rió el 4 de enero de 1752. Fue un 
matem ático suizo que mostró 
gran precocidad, pues a los 18 
años recibió su doctorado y a los 
20 era profesor adjunto de Ma­
temática. También fue profesor 
de Matemática en la Universidad 
de Ginebra durante el periodo 
1724-1727 y en 1750 ocupó la 
cátedra de Filosofía en la misma 
casa de estudios. En 1731 pre­
sentó ante la Academia de las 
Ciencias de París, una memoria 
sobre las múltiples causas de la 
inclinación de las órbitas de los 
planetas.
Editó las obras de Johann Ber­
noulli (1742) y de Jacques Ber­
noulli (1744) y el Comerdume- 
pístoíarum de Leibniz. Su obra 
fundamental fue la Introduction à ¡'analyse des courbes algébriques {M50), en la que se desa­
rrolla la teoría de las curvas algebraicas según los principios newtonianos. La regla de Cramer 
es un teorema en álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en 
términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704-1752), quien 
la publicó en su Introduction. .. aunque Colin Maclaurin también publicó el m étodo en su 
Treatise o í G eom etry de 1748 (y probablemente sabía del m étodo desde 1729).
Fuente: Wibipedla
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^ MATRICES
Una matriz es un arreglo rectangular de elementos dis­
puestos en filas y columnas.
Para representara una matriz, se utiliza letras mayúsculas. 
Ejemplos:
' 4 5 6' Fila
.0 -3 5.
-2 0 o '
3 0 4
2 -3 8_
A =
B =
<4 ORDEN DE LIMA MATRIZ
Viene dada por la representación m x n, donde “m" es el 
número de filas y “n” el número de columnas de la ma­
triz. Para los ejemplos citados anteriormente, tenemos:
A es una matriz de orden 2 x 3 
B es una matriz de orden 3 x 3
Forma general de una m atriz de m fílas y n 
columnas
A =
a,i a,
021 02
83,
Donde: es el elemento genérico, ubicado en la fila
“i", columna “j".
En forma abreviada se tendrá:
A=[a,J^.„
i = 1; 2; 3;...; m = 1; m
j = 1;2; 3; n = 1; n
^ MATRICES ESPECIALES 
M atriz fila
Es aquella matriz que tiene una sola fila.
[ 1 5 7 10]
M atriz columna
Es aquella matriz que tiene una sola columna.
' 2 '
A =
M atriz rectangular
Es aquella matriz, donde el número de filas y el número 
de columnas son diferentes.
A =
M atriz cuadrada
Es aquella matriz, donde el número de filas y el número 
de columnas son iguales.
A = 2 4 
1 7
M atriz nula
Es aquella matriz, donde todos sus elementos son igua-
les a cero. 
A = 0 0 0 
0 0 0
A =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
<4 IGUALDAD DE MATRICES
Dadas las matrices:
A = [ a - X . „ A B =
Si estas son iguales, es decir: A = B, se verifican simul­
táneamente las condiciones:
1 A y B son de igual orden m x n.
2.° Los elementos correspondientes son iguales.
a¡,= b„; v i ; j
^ OPERACIONES CON MATRICES 
Adición
Dadas las matrices de igual orden:
A = [a„L,„ A B =
Se define: A + B = [aJ„.„ + [b,jL.„=[aij+ b,]„
Por ejemplo:
Hallar la matriz A + 8 , a partir de:
A = 2 1 3
0 - 1 2 A B =
A + B =
A + B =
2 1 3
0 - 1 2
1 2 5
- 1 4 3
' i 2 5'
- 1 4 3
(2 + 1) (1+2) (3 + 5)
(0 -1 ) ( -1 + 4 ) (2 + 3)
3 3 8
- 1 3 5
M ultiplicación
Multiplicación de un escalar por una matriz. Sean: 
A = [ajm.n A k e E. se define:
kA = k [a „]„.. = Ika,]„.„
Por ejemplo:
Multipliquemos por 2 a la matriz:
’ 1 2 3 2 1 4 ' 2 1 4
4 _2 - 1 . i A = - 1 3 2 . 0 2A = 2 - 1 3 2 ,
.-. 2A = 4 2 8
-2 6 4
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Multiplicación de una matriz fila por una matriz co> 
lumna. Sean: A = [a „ a,2 3,3... a,n]
B =
Se define:
A-B— [8i,b,i+ a,2b2, +. ai3b3 + a,nb,,]
Por ejemplo: multipliquemos A por B, donde:
2 2
A = [2 1 3] A B = 4 =» A.B = [2 1 3] 4
6 6
A.B = [(2)(2) + (1)(4) + {3){6)]
A.B = [4 + 4 + 18] = [26]
Multiplicación de las matrices. Dadas las matrices Ay
B, existe el producto matricial de A por B denotado por 
A.B, si se verifica lo siguiente:
N.° de columnas de A = N.° de filas de B
Luego: A, n = C„ n ; A" = AA = 2 -1 2 -1
[3 1 . [ 3 1 J
A = 2 -1
A B =
.3 1 .
Por ejemplo: Hallar AB y BA
'2 -2 5 '
.1 2 - 3
Veamos si existe AB
A tiene orden 2 x 2 =» N.° columnas = 2
B tiene orden 2 x 3 = N." filas = 2
Como: N.° columnas de A = N.° filas de B, se afimia que
si existe AB, cuyo orden es de 2 x 3.
AB = 2 -1 
3 1
2 - 2 5 
1 2 ~3
Ahora se multiplican:
(2)(2) + ( -1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( - 2 ) + ( -1 ) (2 ) (2){5) + ( - 1 ) ( - 3
(3)(2) + (1)(1) ( 3 ) ( - 2 ) + (1){2) (3)(5) + {1 ) ( -3 )
A.B =
AB =
AB =
4-1 -4 -2 10 + 3
6+1 -6 + 2 15-3
3 -6 13 
7 -4 12
Veamos si existe BA
N.° columnas de B = 3 y N.° filas de A = 2 
Como: N.° columnas de B N.° filas de A 
Se podrá afirmar que BA no existe.
En general; el producto matricial no es conmutativo.
P Í8 S H B M I
Sean A, B y C mathcds para las cuates se la 
adición y/o muttípiícación. además al escalar K.
1. k(A+B) = kA+kB
2. A + B = B+A
3. ABC = (AB)C = A{BC)
4. A(B + C )=AB+AC
5. AB = 0; no implica A = O v B = 10
6. A B = AC no implica 8 = C
^ a n ^ matrices A y B, de mocto qt«
1. Si;AB = PA, s e d k » q w A y B i 
mutat^s.
2. S: AB= -BA, sedicequeAyB!
{»rMTiutaWes. ,
Potenciación
Siendo A una matriz cuadrada y “n" un entero positivo, 
se define:
A" =
Por ejemplo; 
Hallar  , si: A =
A .A .A ... .A
2 -1 
3 1
n = 1 
n >2
A" =
A" =
(2)(2) + (-1)(3) 
_(3)(2) + (1)(3)
(4 -3 ) ( -2 -1 ) 
(6 + 3) (-3+1).
(2 ) ( - 1) + ( - 1)(1) 
(3)(-1)+(1)(1)
A ̂= 1 -3
9 -2
<4 TRANSPUESTA DE UNIA MATRIZ
Dada una matriz A, existe su matriz transpuesta deno­
tada por  y definida como aquella matriz que se ob­
tiene al transformar todas las filas de A en columnas.
A = [a,L-n ^ A^= (ajj„.
Por ejemplo:
A= 2 1
O -1
2 0 '
^ A"- -1
, 4 5 ,
Siendo A y B matrices, y ei escalar k.
1. (A + B)̂ = Â + B̂ 3.
2. (kA)^ = kA ̂ 4.
Estudio de las m atrices cuadradas
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