Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (65)

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1. Toda matriz cuadrada de n fihas y n cohimnas es de 
orden n
2. La diagonal trazada de izquierda a derecha recibe 
^ nombre de diagonal principal
3. La diagonal trazada de derecha a l^ ie n ja recibe 
el nombre de diagonal secundas
<4 TRAZA OE UNA MATRIZ A [Traz(A)J
Se denomina así, a la suma de todos los elementos de 
la diagonal principal.
Traz(A) = a„ + ajj + 833 + ... + a„
Por ejemplo: 
Para la matriz:
A =
Traz(A) = (2) + (8) + (-4 )
Traz(A) = 6
Siendo A y B matrices y el escalar k.
1. Traz(A+ B) = Traz(A) + Traz(B)
2. Traz(kA) = kITraz(A)]
3. Traz(AB) = Traz(BA)
<4 MATRICES CUADRADAS ESPECIALES 
M atriz diagonal
Es aquella matriz no nula, donde todos los elementos 
fuera de la diagonal principal son ceros.
Ejemplos:
' 2 0 0 ■3 0 0 ■
A = 0 0 B = 0 5 0
0 0 3 j 0 0 . 0
M atriz escalar
Es aquella matriz diagonal donde todos los elementos 
de la diagonal principal son iguales.
Ejemplo:
■4 0 0
A = 0 4 0
0 0 4
M atriz identidad (1)
Es aquella matriz escalar donde todos los ele­
mentos de la diagonal principal son iguales a la 
unidad.
Ejemplo:
0 0
0 0
0 0 1
M atriz triangu la r superior
Es aquella matriz donde solamente todos los elementos 
ubicados debajo de la diagonal principal son ceros.
Ejemplo:
A =
M atriz triangu la r in fe rio r
Es aquella matriz donde solamente todos los elementos 
ubicados encima de la diagonal principal son ceros. 
Ejemplo:
3 '\ 0
sO
2 -1 8
A =
<4 CARACTERÍSTICAS NOTABLES DE ALGUNAS 
MATRICES CUADRADAS 
M atriz sim étrica
Si A es una matriz simétrica, verifica:
A ̂= A
M atriz antisim étrica
Si A es una matriz aotisimétrica, verifica:
A^= -A
M atriz idempotente
Si A es una matriz idempotente, verifica:
A' =A
M atriz involutiva
Si A es una matriz involutiva, verifica:
A ̂= 1; (matriz identidad)
M atriz nilpotente
Si A es una matriz nilpotente, verifica:
A‘’ = 0; (matriz nula) p: índice de nilpotencia
<4 DETERMINANTES
Un determinante es la relación funcional que aplicada 
a una matriz cuadrada la transforma en un escalar (nú­
mero real).
Si Aes una matriz cuadrada, su determinante se denota 
asi: det(A) o |A|.
Determ inante de orden uno
A =
r - b ? b
. c d ^ |A| = c d
|A| = ad - be
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Determ inante de orden tres
A =
a b e 
d e f
g h i
|A| = a(ei - hf) + b{fg - di) + c(dh - ge)
Según ia regla de Sarrus
© ©
|A¡ = M - N
<4 MENOR COMPLEMENTARIO DE tNA COM­
PONENTE
El menor complementario de la componente (elemen­
to) a,j denotado por M,, es el determinante de la ma­
triz que resulta al eliminar la fila i y la columna j de la 
matriz dada.
Ejemplo:
Para
hallar el menor complementario de; a,2= 4 
5 2M „ = = (5)(3)-(1)(2)
1 3
15 - 2 = 13
Cofactor de una componente
El cofactor de la componente (elemento) a¡j denotado 
por A,, se define de la manera siguiente;
Para: A =
A ,3 = (-1 )"^M ,3 = (-1 )‘
El cofactor de la componente a,3 es;
1 -1 
2 3
A ,3-(1)[(1 )(3 )-(2 )(-1 )]
An = 3 + 2 = 5
Teorema: el determinante de una matriz será igual a la 
suma de los productos obtenidos al multiplicar todos los 
elementos de una fila (o columna) por sus respectivos 
cofactores.
Para: A =
2 -1 -3 
1 5 -2
3 2 1
Con los elementos de la primera fila; 
|A| = 2 5 -2 + (-1 ) 1 -2 + (-3 ) 1 5
2 1 3 1 3 2
[A|=(2)(9) + (-1)(7) + (-3 )( -1 3 ) 
|A| = 18 - 7 + 39 |A| = 50
I PoraPara aplicar el teorema anterior, se recomienda 
escoger la fila (o columna) que presente más ceros.
Dadas las matices cuadradas A. B y eí escalar k.
1. |AB| = |A|lBi
2. |A V |A |
3. )kAl = k"iA|: n orden de A.
4. Si dos filas (o columnas) son proporcionales, ei de-' 
tenninante será igual a cero.
5. Sí todos los elementos de una fila (o columna) son 
c«ros, el determinante será igual a cero.
6. Si se permutan dos filas (o columnas) consecutivas, 
el determinante cambia de signo.
7. B detemiir\ante rw varia si a todos k̂ s ^emw\tos de 
una fila (o columna) se 1^ aum^ita un tTK̂ itiiido de 
otra.
8. E) determinante de una matriz triangular superior, 
triangular inferior y diagonal se obtiene multiplican­
do todos los elementos de ta diagonal principal.
<4 DETERMINANTE DE VANDERMONDE 
De orden dos
A i
= b - a
1 1 1
a b e
a" b' ê
De orden tres
1
- (c - b)(c - a)(b - a)
De orden cuatro
= (d - c){d - b)(d - a){c - b)(c - a)(b - a)
1 1 1 1 
a b c d
â b' ̂ ĉ d̂ 
a' d’
Definición: Una matriz cuadrada A es no singular, si 
|A| ^ O, asimismo, si: |Aj = O, la matriz A será singular.
< i MATRIZ INVERSA
Dada una matriz cuadrada no singular A, si existe una 
única matriz B cuadrada del mismo orden, tal que:
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AB = BA = I (matriz identidad), entonces, definimos B 
como matriz inversa de Ay lo denotamos por A’ ’ .
iS S B S S B
Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si es una 
matriz no singular, en tat caso se dice que la matriz es 
Inversible.
m
Sean A y B m a íces cuadradas no singulares y el escalar k.
1. a A " ’ = A " 'A = I
2. (A B ) '’ = B ' ’ A~'
3. (A"’)"’ = A
4. (kA )"’ = k ' ’A ' ’
5. IA-’ l = | A r = i ^
Cálculo de m atrices inversas
De orden uno
A = [a] ^ A-' = 
De orden dos
; a O
A = a b = A-' - ,
d -b
c d , 1 A| . - c a
Para matrices de orden mayores o iguales a tres se 
recomienda utilizar el método de Gaus-Jordan, el cual 
consiste en construir una matriz ampliada {A : I) donde 
por operaciones elementales debemos encontrar otra 
matriz ampliada (I : B), con lo cual se podrá afirmar que 
B es la inversa de A, es decir: B = A "'.
Ejemplos:
1. D adas las m atrices:
■ 2 -3 -5 -1 3 5'
A = - 1 4 5 B = 1 -3 -5
 ̂ 1 - 3 - 4 -1 3 5
2 - 3 -5 2 Í - 3 ; - 5 '
A ' - - Í " ' 4 " S -11 4 j 5 =
1 - 3 - 4 . 1 Í - 3 Í - 4
2 - 3 -5 
- 1 4 5
1 - 3 - 4
 = A ^ Aes idempotente
-1 3 5 -1 3 5' -1 3 5'
B̂ = 1 -3 -5 = 1 -3 -5 = 1 -3 -5
-1 3 5 -1 3 5 -1 3 5
B' = B B es idempotente
2 -3 -5 -1 3 5'
A^ + B ̂= A + B = -1 4 5 + 1 -3 -5
1 -3 -4 - 1 3 5
’ 1 0 0
A ' + B̂ = 0 1 0 = 1
0 0 _
Sean el polinomio: F{x) = x 
2 -3A =
3x - 2 y la matriz 
determinar !a suma de ios elementos
2 - 3 
2 1
■ 2 -3 2 -3 ' -2 -9
. 2 1. , 2 1, . 6 -5 .
-2 -9 + 3 ' 2 -3 - 2 ' 1 0 '
. 6 -5, .2 1 , 0 1 .
2 -18
.12 - 4 ,
2
de F(A).
Resotución:
F(x) = x̂ + 3x - 2 A A = 
= F(A) = A" + 3 A - 21.
A ̂=
F(A) =
La suma de elementos es: -8
Resolver la ecuación matricial en x, si 
(Â + B) ̂+ Síx’̂ - i) = 2B^A, además:
A-2t =
Indicar luego la traza de x. 
Resolución:
(A% B) ̂+ 3(x^- t) = 2B^A 
(A^)^+ B̂ + 3x^ - 31 = 2B^A 
3x^ = 2B^A - A - B̂ + 31 
3x^ = 2B^A - 4B" + 3B' - A + 2! + 1 
= 2B^(A-2i) - (A-21) + I 
= (2B^- l)(A -2 l) + 3B ̂+ I
3 -2 -1 0 '
. 6 1,
y B - , 1 2 ,
- 2 -1 1 1 0 -3 2 ■
0 2 0 1 . . 0 3 .
determinar: A ̂+ B̂
^ 3x^ - -3 2 ' 3 -2 + 3 -1 1 ■+ 1 0 '
Resolución: . 0 3 u 6 1 , , 0 2 . ,0 1 .
3x^ =
3x ̂=
3 8
18 3
1 11 
18 10
■-3 3 ' + 1 0 '
. 0 6 , . 0 1 .
Traz(3x^) = 1 
11
10
3traz(x') = 11 =s iraz{x) =
Si A = 1 O 
L -1 1
E = A "̂ - A'= + A
, liallar el valor de; 
151
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Resolución:
Sea =
' i 0 ■ 1 0 o'
_m 1 n 1 , . m + n 1 ,A.A„ =
^ A „ A . - A ^ . .
De donde: (An,)" = A^ ̂= 
Entonces;
A =
1 0 ^ 0 1 1 1 n •’> 2
km 1 x - ' - 1/2 -1/2 1 A A " = 0 1 n
0 0 1 0 0 1
' 1 0 => A“ - ' 1 0 '
-1 1 . ,-k 1 ,
E = A 
E =
E =
1 O 
-25 1.
■ 16 O 
-15 16
A ̂+ 151
1 O 
-15 1
v k e l N
15 O 
O 15
5. Si las matrices A y B son conmutables, determinar 
ab.
A =
Resolución:
A A B Conmutan
' 2 -1^ ; B = a 1
. 3 . b 5 .
2 -1
. 3 ■'
'2 a -b -3 
3a+ b 8
AB = BA 
a 1 
b í
2a+ 3 1 -a 
2b+15 5 - b
» 1 - 3 = - 3 A 5 - b = 8 
=>a = 4 A b = - 3 ab = -12
Dadas las matrices:
C = 2 4'
A D = '4 0 '
.-1 -2. , 0 1 .
hallar A ,̂ donde: A = C + D 
Resolución:
Tenemos; A'=(A^)^ =[(C + D)Y=(C^+CD + DC + D̂ )', 
Notemos que:
C ̂= O A = 
Como:
CD =
16 O 
O 1
A DC = 8 16 
-1 - 2
CD + DC =
Luego
/
A ̂=
16 20 
- 5 -4
'16 20 16 0 '
-5 -4 . . 0 1 ,
32 20
-5 -3
32 20 
-5 -3
924 580 
-145 -91
7, Dadas:
1 1 0 1 2 -1
A = 0 1 1 ; X = 1 0 1
0 0 1 0 0 1
determinar:B = (x 'Ax)" 
Resolución:
Ahora: B = (x ’ Ax)" = x ''A"x
O 1 1
1/2 - 1/2 1 
O O 1
1 n
O 1 n
O O 1
1 2 -1 
1 O 1 
O O 1
O 1 n -1
1/2 ̂ 3n - A2 ^
o o 1
1 2 - 1
1 O 1
0 O 1
1 O n
£ -j n(n -
2 4
O o 1
8. Si las matrices A y B son iguales, hallar: 
E = X + y + z, siendo:
A =
(0,2)’“ ’ 3‘ -̂ ^
I
3
; B = 25 27
y 4
9.
Resolución:
Las matrices A y B son iguales. 
Entonces:
(0,2)‘ ■ ’ = 25 = (5’ ') ' - ' = 5" ^ X = -1 
3» ’ = 27 ==• X + 2y = 3 =» y = 2
l ) ^ - y ^ 3 - = 2 =. z - - 109̂ 2
=̂ E = x + y + z = - 1 + 2 - Icg32 
E - 1 - log32
Sea A una matriz simétrica, tal que:
A =
X
-3
5
X + y X + z 
3y
-3 f
determinar: E = xyz 
Resolución:
x ̂ x + y x ̂+ z 
A = -3 y ' 3y es simétrica
5 - 3 y ^
=>-3 = x + y A 5 = x̂ + z A - 3 = 3y 
= > y = - 1 A x = -2 A z = 1 
E = xyz = 2
10. Indicar el valor de verdad de las siguientes propo­
siciones:
I. Sea An̂ n entonces A + A’ ̂es simétrica.
II. Sea entonces A - es antisimétrica.
III. Toda matriz cuadrada es igual a la suma de una 
matriz simétrica y de una matriz antisimétrica.
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