Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (66)

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Resolución:
I. es simétrica » = M
(A + =A^ + [A y = Â + A = A + Â
=* A + A"̂ es simétrica (V)
II. Mn „ es antisimétrica = -M
(A - A'̂ )̂ = a ' - (A )̂ ̂= a’ - A = -(A - A')
=> A - Â es antisimétrica (V)
A = 1 ( A + A ) = I ( A + A^ + A - A ^ ) 
A - I ( A + A") + 1 ( A - A " ) (V)
VW
simétrica antisimétrica
PROBLEMAS RESUELTOS O " " "
1. Si A= {aJ3,;taiqu0a„ =_ |3, si i = j
2.
2. si \ i ^ \
r n
Siendo C = AB, determinar; D = C „ — C?
Resolución;
A=(a„)34/a,j=-
B = (b„),.,/b„ = 
C=AB = (C„)3.
i + j; i = j 
2 i - j ; i # j
C12 3 2 2 2
C = = 2 3 2 2
3̂1 C32 2 2 3 2
2 o
3 4 
5 4 
7 6
C =
2 O
3 4 
5 4 
7 6
36 28
37 32 
39 32
^ gn _ ÍB, si n es impar 
\ 1, si n es par
Luego: B^A'- B^A'C - A'B®
= B A - lie = II
=> C = BA - I ^ Traz{C) = Traz(BA - I) 
Traz(C) = Traz(BA) - Traz(l)
- 3 -6 2 1 0 0 3 6 8
3 2 2 2 BA = 2 4 --1 -1 -1 --1 = -2 -4 -5
* = j ^ A = 2 3 2 2 2 3 0 0 0 1 -1 -3 -3
si 1 ?í=j 2 2 3 2 => Traz(BA) = 3 — i - 3= -4
=5 C32 = 32 A C , i = 36 A C 22 = 3 2 ; C 31 = 39 
Dadas las matrices:
1 0 0 -3 -6 2
A = -1 -1 - 1 A B = 2 4 -1
0 0 1 2 3 0
determinar la traz(C), en la siguiente ecuación 
matricial: B'A® - B'A'C = A*B®
Resolución:
1 O O 
- 1 - 1 - 1 
O o i
1 O O 
- 1 - 1 - 1 
O O 1 
 = I =» A es involutiva.
^ (A: n impar 
l I ; n par
0 0
= 0 0
0 0 1
- 3 - 6 2 - 3 - 6 2 1 0 0
B= ^ 2 4 - 1 2 4 - 1 = 0 1 0
2 3 0 2 3 0 0 0 1
= 1 B es invotutiva
Traz{C)= -4 -(3 }= -7
3. Calcular X + y, si;
Resolución:
Si: A’ ' = B = AB =
0 0 1
0 0
X 0 2 0
0 y 4 2 1
1 0 0 0 0 0 0
X 1 0 2 0 = 0 0
0 y 1 4 2 0 0 1
1 0 0 0 0
x + 2 1 0 0 0
2y+4 y + 2 1 0 0 1
X + 2 = 0 A y + 2 - 0
X = - 2 A 
X + y = - 4
y = -2
4. Si A® = 1, A matriz de orden n, \ la matriz identidad. 
Determinar el valor de verdad de las siguientes 
proposiciones:
I. Aes ia inversa de A'*,
II. Â es la inversa de A^
III. Â es la inversa de 1.
Resolución:
A" = I
I. A'A= I (A") ' = A
II. A^A^= 1 ^ (A^) ' = Â
III. Â = IA'' = I =» r ' = Â
Recuerde que:
Si M N = I == M’ ’ = N 
.-. Vaior de verdad: WV
(V)
(V)
(V)
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5. Hallar B’ ’ , si B = |B|
Resolución:
Tenemos de: B = |B|
2 4 6
3 5 6 
2 4 5
2 4 6
3 5 6 
2 4 5
; |B| ;> 0.
B’ ' -
2 4 6
3 5 6 
2 4 5
•{O
Por otro lado, de (I) también;
2 4 6
3 5 6 
2 4 5
|B| = |Br , |B^(2) ^ |B| =
/2
Reemplazando en (II): B ' = Í2
2 4 6
3 5 6 
2 4 5
/2 2 - 3
v2
2 2 /2 - 3 / 2
B - ' = /2 - 1 3 = -3/2
2 3/ 2
1 0 - 1 72 0 - V 2
6. Sea A = (8:̂ )3 , 3, donde a,, = a,, = 1.
Para i, j = 1: 2; 3 y a,, = a„_„^ + a,.,,,, (i; j = 2; 3) 
Hallar |A|.
Resolución:
De la ley de formación de a,, se tiene:
1 1 1
A = 1 8 2 2 ^23
1 3 3 2 a 33
Donde: 8 2 2 = 321 + a , 2
323 = 322 + a,3
a,2 = 831 + 3^2
3̂3 ~ 8 3 2 + a23
Entonces;
a.2 = + 1 = 2;
a j, = 1 + 2 = 3;
1 1 1
^ A = 1 2 3
1 3 6
= 2 + 1 = 3 
= 3 3 = 6
Sea A = |a,J indicar el valor de verdad de los 
siguientes enunciados:
i. Si A es antisimétrica, entonces, Â es antisimétrica.
11. Si A es simétrica, entonces, Â es simétrica.
II!. Si A es simétnca, entonces, Traz(A) 0.
Resolución:
A = (a,,)„.,
I. A es antisimétrica =» Â = -A
(A')^ = (AA)^ = = (-A )(-A ) = Â
=» A ̂es simétrica (F)
II. A es simétrica A"̂ = A
(A')^ = (AA)' = A ̂ = AA = A'
=> A^es simétrica (V)
La matriz A = 3 2
2 - 3
^ Traz(A) = 3 + ( -3 ) = O 
FVF
0 0 3
0 2 - 1
1 -1 4 
(donde I: matriz identidad)
Resolución:
IB^AVIH - |B W l = 1 « |BllAt=1
es simétrica.
(F>
calcular |B|
|Bl =
)A1
|A| =
0 0 3
0 2 1
1 -1 4
= 1 O 3 
2 -1 = 1(0 - 6) = - 6
Se tiene: |B| = b
9. Dada la matriz: A = ( a t a l que:
a,. == J , SI 1 > j
. i - ) , SI 1 j
Resolución:
A - ( a , ) , , , / a „ - { j ^ ; ; | ' j
, calcular det(A).
|A| =
i - j ; 
o - 1 - 2 - 3 
- 1 o - 1 - 2 
- 2 - 1 0 - 1 
- 3 - 2 - 1 O
0 2 3
0 2
= (-1 )' 2 0 1
3 2 0
|A| = -
|A| = -
1 0 2 0 1 2
0 2 3 0 2 3
2 0 1 0 -2 - -3
3 2 0 0 2 - 2 - -6
0 1 2 0 1 2
0 1 2 3 0 2 3
— 0 0 - 4 - 6 = - ( - 2 ) 0 0 2 3
0 0 - 6 -12 0 0 - 6 -12
0 1 2
= 2 0
0 0
2 3 
2 3 = 2(1)(1)(2)(--3) - - 1 2
0 0 0 - 3
10. Dada las matrices:
A (a„)3.3/a„
B - ( b „ ) , . , / b , + ^ = 0 y b „ = l 
si: i < j , hallar det(A + B). 
Resolución:
A = (a jj. 3/a = + j , i = j
- j . i ^ j
A =
2 - 1 - 2
1 4 - 1
2 1 6
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B = (b„)3.3/bi, + b„ = 0 A b „ = l : i < j 
0 1 11
B = -1 0 1
- 1 - 1 0
2 0 -1
|A| =
0 0 3
= 0 2 - 1 + 0 0 3 0 3
= A + B = 0 4 0 0 2 -1 - 1 4 - 1 4 + 2 -1
1 0 6 -1 4
Por la regla de Sarrus;
det(A + B) = 48 - (-4 ) = 52
11. Suponga que A es una matriz cuadrada inversible 
de orden n. Determinar el valor de verdad de cada 
una de las afirmaciones siguientes:
'■ = d sW
II. det(cA) = c"det(A)
III. Si n es impar, entonces A - Â es singular. 
Resolución:
A inversible de orden n.
I. det(A^)-’ = — U :- = -3- ^ (V)
 ̂ det(A^) det(A) ' '
II. det(cA) = c"det(A) (V)
III. A-A^ es antisimétrica de orden n impar
= det(A - Â ) = O => A - Â es singular (V)
.-. W V
12. Determinar todos los valores de k para que:
lí -1 _9
det(A) = O, si A 
Resolución:
det(A) = (k - 1)(k - 4) + 2 = O 
det(A) = k̂ - 5k + 6 = O = (k - 2)(k - 3) = O 
Si k = 2 o k = 3, se tendrá det(A) = O
a b e
Si det(A) = 5 donde A = d e f : liallar:
g h i
d e f 3a 3b 3c
1. det g h i II. det d e f
a b e 4g 4h 4i
Resolución:
I. Como aqui se han efectuado 2 intercambios de 
fitas, entonces: det{A|) = (-1)^ |A| = 5 
If. La primera fila se multiplica por 3, enton­
ces, |A| queda multiplicado por 3. y como la ter­
cera fila se multiplica por 4, entonces |A| queda 
multiplicada por4. Luego: det(A,i)= 3x4 x 5 = 60.
14. Si A^B^= I; A =
0 0 3 
0 2 - 1
1 -1 4 
donde I: matriz identidad
; calcular |B|
Resolución:
lA'̂ B̂ I = |]| ^ iA !̂|B |̂ = 1
|A|1B|=1 - |B| = ^
|A| = 1(0 - 6) = -6 
Luego, en (I): |B| =
15. Si: A = [aj3,3; |A| = 2; B = |B| = 3
• 1̂« c Ia PIbMsimplrficar: E =
I2B r\A^
Resolución:
Simplificando E:
lAñB^IE =
E =
|2BnA'
1
iAr iB i
(2^ |BD>f
1
Bl
2®|B|"A
1
2®ÍBp|A|
1
(2®)(3 )̂(2) (2 )̂(3 )̂ (128)(9) 1152
16. Calcular el valor del determinante de la matriz A:
A =
V 2 ̂ 3 ̂ 4‘ 
2 ̂ 3 ̂ 4“* 5‘ 
3 ̂ 4 ̂ 5 ̂ 6‘ 
4^ 5 ̂ 6 ̂ 7‘
Resolución:
k -1 - 2 1 4 9 16 1 3 5 7
1 k - 4 4 9 16 25 4 5 7 9|A| = 9 16 25 36 — 9 7 9 11
2 16 25 36 49 16 9 11 13
C5-C2 C . - C j
|A|
16 9
= O
17. Si B = (by)„,„; tatque: b, 
AB+AB^ = 6I, hallar |A|. 
Resolución:
Í2, i = j
2. i = j 
O, i / j
B = (b „U /b „+ b „ =
0.
AB + AB^ = 61 => A(B + B )̂ = 61 
det(A(B + B^)) = det(6l) 
det(A)det(B + B )̂ = 6"det(t) 
Pero:B+B^=(bi, + b„)„.„
B + B ̂=
2 O O ... O
O 2 O ... O
O O 2 ... O
O O O ... 2
det(B + B^) = 2"
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=> det(A) . 2" = 6" det(l) = 6" •. det(A) = 3"
18. Determinar el valor de verdad de los siguientes 
enunciados:
I. Sea A una matriz cuadrada de orden impar, en­
tonces lA - Â i = 0.
II. Sea A regular, tai que  = A , entonces 1A| = 1.
III. Sea A regular, entonces |A - Álj = | A’ ̂- ;̂ ll.
Resolución:
Propiedad'
Si matriz M es antisimétrica de orden impar 
^ det(A) = O
I. A - Â es antisimétrica de orden impar
- |A - Â l - O (V)
II. A es regular ^ det(A) 0.
A" = A det(A') - det(A)
^ det(A).det(A) = det(A) det(A) = 1 (V)
A es regular = det(A) - ]A| O 
|A->J| = |(A - /. in = |A^-(Ál)^| 
= |A^- >.r| = IA'' - /.l| (V)
VW
19. Calcular el determinante:
Resolución:
3 1 1 1 
1 3 11 
1 1 3 1 
1 1 1 3
3 1 1 1 
1 3 11 
1 1 3 1 
1 1 1 3
A =
Sumando Cj, C3 y C,, a la C,; 
se obtiene:
A =
A = 6
6 1
6 3 3 1
6 3
= 6 3 1
6 3 3
1 1 1 1 
0 2 0 0 
0 0 2 1 
0 0 0 2
= 6{2 x 2 x 2) = 48
a b e a - b c
20. Si d e f = 5, calcular - d e - f
g h i g -h i
Resolución:
a - b e a - b c
-d e - f - ( - 1) d - e f
g - h i g - h i
= (-1 )(-1 )
a b e 
d e f
g h i
2 1 . Dados los siguientes enunciados (con A„, „ y B̂ ,. „)
I. Si A, y B, conmutan, entonces A y B ’ eonmutan.
II. Si A, y B, conmutan, entonces A"' y B”' conmutan.
III. Si M = A 'BA y A es inversible, entonces: 
M" = A’ 'B'"A. 
indicarcuáles son correctas.
Resolución:
I. Si A y B conmutan =í B.A = A.B 
PorB-'; BAB-’ = AB.B~;
BAB-' = A ‘
PorB ': B;'BAB ' = B 'A
i
^ AB-' = B-'A 
.-. A y B ' conmutan --=> (í) es V
II. Usando lo anterior: B^'A = AB '
Por A-': B -'A _^ =AB’ '
^ B“' - AB ’A '
Por A-': A-’B ’ = A;'AB~'A~'
i
^ A-'B-' = b 'a ’
Coef: A” ' y B '’ conmutan =» (II) es V
III. Si M = A’ 'BA
=> M^ = M.M = A ~ 'B ^ 'B A
1
^ M' =A-'BIBA ^ M' =A 'B'A 
PorM: M̂ = MA 'B'A
= = A ’B AA~'b^A =. = A-'B^A
í
Si seguimos así sucesivamente, se tiene: 
M" = A 'B"A ^ (III) es F 
(I) y (II) son correctos.
22. Sea A = (a.)5, „ tal que: a,j = • 
calcular el determinante de A.
< i 
= j 
> j
Resolución;
Luego de construir la matriz A, se tiene:
■ O 2 3 4 5' 
- 2 0 3 4 5 
A= - 3 - 3 O 4 5 
-4 - 4 - 4 0 5 
.-5 -5 -5 -5 0.
Observar que la matriz es antisimétrica de orden 
impar (orden 5). Por tanto, por propiedad, el deter­
minante de toda matriz de este tipo vale 0.
23. Sea A una matriz cuadrada de orden 4 x 4 con |A| =2. 
Determinar el valor de |A^*'” ' (2A)̂ |
Resolución:
Aplicando propiedades:
|(A^*’-'(2A)^| = |{A^*’ 'll(2A)^l
|(A ‘̂ ’-'(2A)^|
|{A'^’-'(2A)^1
|A^^'-’ |2A| 
(|A"||A|) ’ 2 > | 
1
I A A 21A| = Al
.-. Reemplazando ei valor: 16/2 = 8
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