Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (67)

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24. Si A es de orden 4x4 y |A| = '̂^í2. determinar ei 
vaior de T = ||Â | A^||A|
Resolución:
De: T = ||A^|A^||A|: |A| =
T
T = |A1®
Luego:! = T - =/2
25. De ias siguientes afirmaciones, cual(es) son 
correctas:
I, - 11 "|A|, Ade orden n xn.
ii. |A|A¡| == |A|'” Ade orden nxn.
1 1 - 5 3
f3 + 6f. 0 -1 - 9 9
f4-16f2 0 0 -2 3 44
0 0 201 -176
-2 3 44 23 -4 4
201 -176 201 -176
Si A = {a„)„. „/a„ - , sabiendo que [xl = m,
m i- Z, si m < X m + 1, entonces |A| = n. 
Resolución:
i. A de orden nxn, entonces:
(F)
II, |A|A|| = | A | " " (V)
A=(a , ) „ , „ / a „ =
V i < i: O < i < 1
1
v i = j: = 1, entonces:
A -
1 O O
821 1 O
831 832 1 det(A)=1 (F)
801 3n2 
.-. Es correcto solo
26. Sea A una matriz definida por:
A =
haiiar: |A|. 
Resolución:
|A| =
2̂ ~ 3f,
A| = f, - 5f, 
f . - 10f,
4 9 2 11 1 - 5 3
3 8 7 8 = f . - f^ 3 8 7 8
5 11 6 5 5 11 6 5
10 - 6 7 - 2 10 - 6 7 - 2
A| - f̂ - fo
1 - 5 3
0 5 22 1
0 6 31 -10
0 -16 57 -3 2
1 - 5 3
- 1 - 9 9
O 6 31 -10 
O -1 6 57 -3 2
|A| = -
|Aj = 23(-176) - 201(-44) = 4796
27. Siendo A una matriz cuadrada de orden 4, tal que: 
¡A| = 4 A H = |4A 'lA'̂ A ÍV1 = K x A|(4A’ ’ r 
calcuiar: |H x M|
Resolución;
A matriz cuadrada de orden 4 / ¡A| = 4
M = |A^||A|.4(A'')-'
HM = 7 ^ .A \ |A '! . !a |
|A|
|HM| = |4®l| = 4 '“ = 2‘
•4(A^ = 4®
28. Sea A una matriz involutiva, tal que: 
O O O xi
A = O O y O 
O z O O 
w O O O
calcule: (x’' f (w")’ 
Resolución:
A' = I
0 0 0 X 0 0 0 X 1 0 0 0
0 0 y 0 0 0 y 0 0 y 0
0 z 0 0 0 Z 0 0 0 0 0
w 0 0 0 w 0 0 0 0 0 0 1
4 9 2 11 xw 0 0 0 0 0 0'
3 8 7 8 0 yz 0 0 0 0 0
5 11 6 5 0 0 zy 0 0 0 0
10 - 6 7 - 2 0 0 0 wx 0 0 0 1
=í xw = 1 A yz = 1
Luego:
( X > 'fK )* = X © = ’ W ® ' ' X V / = 1
29. Indicar si es verdadero o falso las siguientes pro­
posiciones;
I. Si A es una matriz nilpotente de orden (2), en­
tonces A(l ± A)" = A; V n g 2 '
II. Dados A y B dos matrices, donde AB = 0 
{AB es nula), entonces por lo menos una de 
eilas es nula,
III. Si AB = -B A =» ias matrices son anticonmuta­
bles,
IV. Dadas dos matrices cuadradas A y B tal que 
B = A + al; a: escalar =» AB = BA
Observación: 1 es la matriz identidad
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Resolución:
I. Es verdadero debido a que: 
= 9 = matriz nula 
=> A" = e « I ± A" = I 
^ A(l ±A") = A.i = A 
=> A(l +A") = A
Es falso, basta ver: 1 O O O 10 0\ 
o o0 0 / 0 1 /
No necesariamente ias matrices son nulas
III. Es verdadero, por definición de matrices anti- 
conmutables-
IV. Es verdadero,
B = A + a l =» AB = A A + a Al 
^ AB = (A+ a l ) A = BA 
=» AB = BA
30. Si:
A =
X, X2 O O
X3 X4 O O
a b a b 
c d c d
además: (x,x4 - X2X3)(bc - ad) = 10; abcd O 
Calcular |A|
Resolución:
Mediante las operaciones elementales:
F , - A F3- "A" queda
A =
OX,
X3 X4
a ~ ^ O a d
cb
■ d
c dc d 
La cual es triangular inferior:
¡A|= (X,X4 - X2X3){ad - cb) .-. |A[ = -10 
31. Definamos la matriz: A„ =
hallar la matriz: B = A,A2A3 ... A„A„^.,.,, 
(Nótese que "n” no crece indefinidamente) 
Resolución:
Si: n = 1 =» A, =
n — 2 » A, —
n — 3 =» A, —
O 1. 
O 1
o 1
n = 4 =» A4 =
O 1
2"" 
O 1
Luego: B = ? 1 f1 2"
0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
Multiplicamos por partes:
2 2̂ 2̂ z* 2"■ ’
lo 1 como n
B = 2
O 1
1 1 
lo i j
32. Resolver el sistema: 
6 3 
2 7
/2 1\ / 6 3
(3 i r
1-5 7
I 2 - S / ’' y \7 51
9 1
..(I)
..(II)
y luego calcular la suma de los elementos de la 
matriz (x + y).
Resolución:
y =
2 1\-’ ' 6 3\ -1 1 Y 6 3\ - 8 4 \
3 1 - 2 7 " 3 - 2A- 2 7 “ 22 - 5
- 8 4
22 -5 ,
Reemplazando en la segunda ecuación:
M x - / 1 5
- 3 r ~ [29 0
- 5 7 ’ V 5' - 3 - 7 \ 1 5
2 - 3 \29 0 ~ - 2 -5 , 29 0,
-206 -15 
147 -10Luego: x =
La suma de elementos de x + y es: -365
33. Sea: N = O - a 
a O
Resolución:
, hallar: N
N =
Sea: J =
O - a 
a O ,
O -1
U o
Luego: N® = (aJ)® = a^J 
Pero: f =
0 - r
1 O ,
, entonces N = aJ
•{I)
0 -1 /o -1 0 ^ / i 0
1 0 ( i 0 0 -1 lo 1
De aquí: = - I
= j= x J = -J
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J* = X J' = I 
J® = J" X J = J
De (I): N ' = a®
34. Dada las matrices;
|^ 0
0 -1 \ 0 -a^ a b
_j_
2 b 1 0
1 0 ) a ' 0 0 c b c 0 1
c =
Entonces se puede afirmar que C®D® es; 
Resolución:
Inductivamente;
M O /1 0\ /1 0̂
=
D̂ =
=
1 1 \1 1
(1 O 
1.3 1
1 1W1 1
0 l|\0 1
1 3 
O 1
2 1
m -1 - 4 m
C®- ° n 2 5 n
U 1 i Xo = d yo = d
1 2 
O 1
D̂ = 1 9 
O 1
/ I 0\ 1 9\ 1
8 1 0 ^ |~ 8
C®D® =
35. A es una matriz de orden 3. Se intercambian la pri­
mera y tercera filas y se obtiene la matriz Aq. En A,, 
a la primera fila se le multiplica por 3 y a la tercera 
por 2 obteniéndose la matriz A,, de manera que 
det(A,) = 66. Halle det(A’ ')
Resolución:
3ii 3i2 1̂3 
021 322 ^2
a „ 832 83.,
De las operaciones indicadas se obtiene la matriz A,
3â )i 3a.̂ ̂ Sa.̂ 
a.
Sea la matriz: A =
A , =
32
322 ^
2a,, 2a,2
23
Por dato; |A,| = 66 
Hallando el determinante de A,
83, 832 83
|A,| = 6 a2i 822 82
811 ®12 8,
Cambiando fi por fj; |A,| = -6|A| 
Por dato: - 6 |A| = 66 => |A| = -11 
1 1Nos piden: |A j = 11
36. Sean las matrices:
A = (a b 
io c A B =
SI se cumple que A + B = 
, / I 0
2 b 
b c 
donde:
0 1 , halle a -I- b + 2c
Resolución:
De: A + B = I
a + 2 2b 1 0
b 2b 0 1
Luego: a + 2 = 1 a = -1
También: 2 c = 1 » c = 2 ; b = 0 
.-. a + b + 2c = 0
37. La solución de un sistema no homogéneo es (Xq; ŷ ) 
donde Xo = yo, dada según la regla de Cramer por:
Si m y n son primos relativos, iiallar un valor para: 
m + n -I- d
Resolución:
Por dato: Xq = yo
2m + n -4n-5m 
d d
De aqui: 7m = -5n
De esta última condición y por dato, m y n son pri­
mos relativos, tenemos;
(m = -5 A n = 7) v (m = 5 a n = -7 )
Luego: m + n + d = -1 v m + n + d = -5
38. Sean: A = a b'
. 0 d .) 8 = 3 O 
O 8 C = O O 
O O
tales que; A ̂- 2A - B = C 
hallar la matriz A con elementos no negativos que 
satisface esa ecuación. Dar como respuesta la 
suma de los elementos de la matriz A.
Resolución:
Dato: A = C = 0 0
c d i' \0 8/ 0 0.
Además:
A" - 2A - B = C 
A' - 2A = B + C
A ^ - 2 A + I = B + C + I,I: matriz identidad 
(A. - 1)̂ = B + C + 1
4 0\Reemplazando datos: (A - I) = 
Del cual obtenemos:
O 9,
A - I -
A - I =
2 O 
O 3,
2 O 1 
O -31
V A - I =
V A - I =
- 2 O 
O 3
-2 0| 
O 3 )
Como A es una matriz de elementos no negativos, 
tendremos:
A - I = Suma: 7
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39. Si X e es solución dei sistema Ax = b , calcule:
Traz(x"^b). Donde: A = ; b = 2\
Resolución:
Como: |A| = -1 ; entonces A esinvertibie
= 1 / 1 -1
{ - 1 ) \ - 2 1 
Ax = b = A '’Ax = A-'b 
Ix = 1 -1 \ 2Ì ^ X - -1
- 2 1 ) 3 x ^ = ( - 1 3)
2\^ x ^ b = { - 1 3 ) ^ =(1) Traz{x^b) = 1 
40. Dadas (as matrices:
1 1 0 1 1 '
A = a b e y B - 1 b c
a" b" ĉ a+b b ̂ c^
Entonces podemos afirmar que:
Resoiución:
1 1 1
|A| =
|B| =
a b e
b ' ĉ
= (c - a)(c - b)(b - a) ..(I)
0 1 1
1 b c 
a+b b ̂ ĉ
C , - C , |B| =
0 1 1
1 b -c c 
a+b b^-c^ ĉ
^ |B| = (b - c)[(b + c) - (a + b)] = (b - cKc - a)...( 
Usando (i) y {II), se tiene:
IA I (c - a)(c - b)(b - a) _
|B| ( b - a ) ( c - a )
|A| = (a - b)|B|
A =
Resolución:
En el determinante, hacemos: f, - fj; f2 - 2Í3
2 -15 -10
2x x+1 -1
(-1 ) 2 2 -20X e 2 / 3x+1 2x+2 - x - 2 
2x x+1 2x-1
= 0 -1 -5 5
-e----- e—; " 2x " r
- x + 1 O - ; ix 
2x x+1 2x1-1
{-2x}
- x + 1 o 
2x x+1 = O
De aquí: -2x(1 - x )̂ = O = x(1 + x)(1 - x) = O 
Donde: x = 0; x = -1 ; x = 1 
Luego: A = (0; -1 ; 1}
Número de elementos de A: 3
42. Determine el valor del siguiente determinante;
4 5 6 7 
3 4 6 9
7 6 7 2
8 4 5 5
Resolución:
Sumamos a Ĉ todas las demás columnas:
22 5 6 7 5 6 7
22 4 6 9 = 22 4 6 9
22 6 7 2 6 7 2
22 4 5 5 4 5 5
Restamos a todas tas demás filas: 
■'i':—5— 6— 7- \ - 1 0 2
^ 2 2 x 1 1 1 - 5
-1 -1 - 2
22
22(2 - 2 + 2 + 5) = 22(7) = 154 
43. De la siguiente igualdad;
- 3 6 -1 -5
-4 -3 -2 -20 + 65 -4 -15
-1 -5 0 5
determine; a + b + a + b 
Resolución:
- 3 6 -1
Calculemos: - 4 -3 -2 -20 
5 -4 1 -15 
- 1 - 5 0 5
=6— 6 -:- i:-= 5 - 
2 -15 ' t ' -10 
2 2 I -20
-1 -5 ') 5
Desarrottamos respecto a C,:= (1)(-250) = 250
=> a = l A b = 6 
a + b + = 44
44. Determine el valor del siguiente determinante
1+a 1 1 1
l i s i 1 
1 1 1+b 1
1 1 1 1-b
para: a = "V72; b = */ÏÔ8 
Resolución;
C 4 — C 3; C 3 — C s i C 2 ~ C ,
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