Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (72)

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Teoría 
de 
ecuaciones
o
D
a
o
o
Abu Abdallah Muhammad ibn 
Musa al-JwarizmT (Abu Ya fiar), 
conocido generalmente como 
Al-Juarismi, fue un matemático, 
astrónomo y geógrafo persa mu­
sulmán, que vivió aproximada­
mente entre los años 780 y 850.
Estudió y trabajó en Bagdad en la 
primera mitad del siglo IX, en la 
corte del califa AI-Mamun, Para 
muchos fue el más grande de los 
matemáticos de su época.
Debemos a su nombre y al de su 
obra principal, nuestras palabras 
«álgebra», «guarismo» y «algorit­
mo». De hecho, es considerado 
como el padre del álgebra y como 
el introductor de nuestro siste­
ma de numeración denominado 
arábigo. En su tratado de álgebra 
Hisab al-yabr wa'I muqabala 
(Compendio de cálculo por com- 
pleción y comparación), obra eminentemente didáctica, se pretende enseñar un álgebra aplicada 
a la resolución de problemas de la vida cotidiana del imperio islámico de entonces. La traducción 
de Rosen de las palabras de Al-Juarizmi describiendo los fines de su libro dan cuenta de lo que el 
sabio pretendía enseñar: la solución de ecuaciones. Sus ecuaciones son lineales o cuadráticas y 
están compuestas de unidades, raíces y cuadrados.
Fuente; Wibipedia
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^ IGUALDAD
Es aquella relación que existe entre dos cantidades y 
que nos indica que tienen ei mismo valor.
^ CUSIFICACIÓN 
Igualdades absolutas o identidades
Es aquella que se verifican para cualquier sistema de 
valores atribuido a sus variables. También denomina­
das identidades.
Por ejemplo; (x + y)(x - y) = x̂ - ŷ
En esta igualdad el lector puede dar valores voluntarios 
a las incógnitas y podrá comprobar que siempre se va 
a verificar.
Igualdades relativas o ecuaciones
Se llama ecuación algebraica a la igualdad relativa de 
dos expresiones algebraicas, las cuales adquieren et 
mismo valor, para los mismos valores de sus tetras de­
nominadas Incógnitas.
Por ejemplo: 3x + 1 4x + 2
Primer miembro Segundo miembro 
Donde si: x = -1
3{-1) + 1 = 4 ( - 1 ) + 2 => - 2 = -2(cumple) 
Luego x = -1 es la solución de ta ecuación.
^CONJUNTO SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN
(CS)
Es el conjunto formado por todas las soluciones de una 
cierta ecuación.
Por ejemplo: para la ecuación - 7x + 6 = O 
X, = 1 ; Xj = 2 ; Xj = -3 
Luego el conjunto solución es: CS = {1; 2; -3 }
<4 CLASES DE ECUACIONES 
Ecuación compatible
Es aquella cuyo conjunto solución tiene por lo menos 
un elemento. Esta a su vez puede ser:
Ecuación compatible determinada: es aquella 
en la que se pueden enumerar los elementos del 
conjunto solución.
Por ejemplo: x' - 7x + 6 = O
Ecuación compatible indeterminada: es aquetta 
en la que no se pueden enumerar los elementos: 
x + 1 x - 1 4xPor ejemplo: x - 1 x + 1 -1
Ecuación incompatible
Denominada también absurda o inconsistente; es 
aquella cuyo conjunto solución no presenta ningún ele­
mento.
Por ejemplo: (x - 1 )̂ + 4x = (x + 4)(x - 2)
x̂ + 2x + 1 = x̂ + 2x - 8 =» 1 = -8 (absurdo)
Ecuaciones equivalentes
Dos ecuaciones son equivalentes si sus conjuntos solu­
ciones poseen los mismos elementos.
^TEOREMAS PARA TRANSFORMAR ECUACIO­
NES EN EQUIVALENTES
I. Si en ambos miembros de una ecuación, se suma 
o resta una misma expresión, ta ecuación asi obte­
nida es equivalente a la primera.
Sea: A = B (Ecuación original y m un número o 
expresión algebraica).
= » A ± m = B ± m (Ecuación equivalente).
II. Si en ambos miembros de una ecuación, se mul­
tiplican o dividen entre una misma constante dife­
rente de cero; la ecuación asi obtenida es equiva­
lente a ia primera.
Si el factor por et cual se multiplican ambos miem­
bros de una ecuación contienen a la incógnita, es 
posible que se introduzcan soluciones extrañas a 
dictia ecuación; para esto, los factores deben con­
siderarse diferente de cero.
Si el divisor por el cual se dividen ambos miembros de 
una ecuación contiene a ia incógnita, es posible que 
se estén eliminando soluciones de dicha ecuación; 
para esto cada uno de ellos se debe igualar a cero. 
Ejemplos:
1. Resolver: ü i + i ± | = - l x + 5 x - 1 3
Re&oluctón:
Multiplicando en forma conveniente por
3(x + 5)(x - 1 ); donde x -5 ; 1
3(x + 1)(x - 1) + 3(x + 5)(x + 2) = -(x + 5)(x - 1)
7x' + 25x + 22 = O « (7x + 11)(x + 2) = O
7 x ^ ^ ^ 1 1
Luego:
7x + 11 = O 
x + 2 = 0 ^ x = -2
La ecuación es compatible determinada.
V
2. Resolver: 2x^ - 3x - 2 = x̂ - 4
Resolución;
Descomponiendo en factores ambos miembros: 
(2x + 1 ) ( x -2 ) = ( x + 2 ) ( x - 2 )
Dividiendo convenientemente entre (x - 2): 
(2 x+ 1 ) ( x - 2 ) ( x + 2 ) ( x - 2 )
( x - 2 )
2x + 1 = x + 2
(X-2) 
x = 1
Como la otra solución se canceló por haber di­
vidido la ecuación entre (x - 2). se hará: 
x - 2 = 0 ==x = 2 
.•. Las soluciones serán; 1 v 2
Si los miembros de una ecuación se elevan a un 
mismo exponente es posible que se introduzcan
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IV.
soluciones extrañas a dicha ecuación; para esto 
las soluciones encontradas deben comprobarse 
en la ecuación original y tomar como soluciones 
correctas a aquellas que se verifiquen.
Ejemplo:
1. Resolver: x + -/x + 5 = 7 
Resolución:
Transponiendo x al segundo miembro:
Vx + 5 = 7 - X
Elevando ai cuadrado miembro a miembro:
( / x T 5 f = (7 - x f
X + 5 = 49 + x̂ - 14x := O = x̂ - 15x + 44 
^ ( X - 11){x - 4 ) = 0 
Luego: x = 11 a x = 4 
Para saber cual es la solución que se ha intro­
ducido al elevar al cuadrado, se verifican los 
valores encontrados en la ecuación original. 
Para x = 11: 11 + V il + 5 = 7
15 7 (no cumple)
X = 4: 4 + ^ T 5 = 7
7 = 7 (cumple)
La única solución es: x = 4 
Si a los miembros de una ecuación se les extrae 
una misma raíz, es posible que se estén elimi­
nando soluciones de dicha ecuación, para esto se 
debe recurrir a otros criterios.
Ejemplo:
1, Resolver: (3x + 7) ̂= (2x - 5)̂
Resolución:
Sacando raíz cuadrada a ambos miembros:
3x + 7 = 2 x - 5 = > x = -12
La otra solución se halla por el siguiente criterio: 
a = b 
a = -ba' = b'
Luego: 3x + 7 = -(2x - 5) = -2x
<4 ECUACIONES DE PRIMER GRADO
Forma general: ax + b = O 
Resolución: ax = -b
Siendo: a # O x = - b
a
Análisis de la ecuación: ax -h b = O
1. Si: a O A b O => ax + b = O
La ecuación es compatible determinada.
2. Si' a # 0 A b = 0 =»ax 4-0 = 0
La ecuación es compatible.
3. Si: a = O a b = O = Ox + O = O
La ecuación es compatible indeterminada.
4. Si: a = 0 A b ^O = > 0 x ± b = 0
La ecuación es incompatible o absurda.
Ejemplos:
1, Resolver: 2x + 2 x - 2 x + 4
9 x^ - 4 9 x ^ -h 1 2 x + 4 9 x^ - 4
Resolución:
Agrupando en un solo término las expresiones que 
tengan el mismo denominador;
x - 2 x - 2
9x^ -4 9x^+12x + 4
Si eliminamos (x - 2); hacemos: 
x - 2 = 0 ^ x = 2 
Pero: 9x ̂ - 4 O => x # 2/3
Luego: 9x ̂+ 12x + 4 = 9x̂ - 4 
- 8 = 12x ^ X = -2/3
Conjunto solución: 2
2, Resolver (12 346)^ - (24 961)f ^ 3 ^ 
(12344)^-(24689)^ 3x - 2
Resolución:
Desdoblando las diferencias de cuadrados;
(37 037)(- 12 345) ^ 3x + 2 
(37033)(- 12345) 3x - 2
Por la propiedad de proporciones.
a - b c - d
b d b d
37 037 - 37 033 (3x -i- 2) - (3x - 2)
37 033 
4 4
3 x - 2 
1 1
37 033 3 x - 2 37 033 3x - 2
Efectuando: 3x - 2 = 37 033 x = 12 345
Hallar x en las siguientes ecuaciones:
7xJ6 - 5/3 = 3x/5 - 1/4 
2x-f-1X 1 2x + 7 
2 6"^ 3
x ~ 1 _ y _ 4 + x
9
2 3 - x
+ 3
4 4 5
( X -I- 1)(2x -1 ) - (2x +1)(x-3) =
3[3(x + 1) -3 1 + 4
2 /3x-5 /x = 7/10-3/2x 1.
x - a x - b x - c
ab be
a a + b 
4ax + 1
a - b
- 3 = - ^ + 2 b
Resolución:
Trasladando las incógnitas a un solo miembro y 
los datos al otro se tendrá:
7 x _ ^ _ 5 _ 2 
6 5 “ 3 4
35x- 18x 2 0 - 3
30 12
17x _17 „ _ 5 _ 2 5
30 - 1 2 ^ ’̂ - 2
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