Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (74)

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ocurre cuando el número de ecuaciones inde­
pendientes dei sistema es igual al número de 
incógnitas.
Por ejemplo: x V + xy = 6 
X + y = 3
Sistema compatibie indeterminado: si el
número de soluciones no se puede enumerar 
esto ocurre cuando el número de ecuaciones 
independientes del sistema es menor que el nú­
mero de incógnitas.
Por ejemplo: x + 2y + z = 5 
X -h 4y -H 3z = 11
2. Sistema incompatible: denominado también sis­
tema absurdo o inconsistente, es aquel que no 
admite alguna solución, esto ocurre cuando el nú­
mero de ecuaciones independientes del sistema es 
mayor que el número de incógnitas.
Por ejemplo: x + 5y = 7
2x + lOy = 14
3. Sistemas equivalentes: dos sistemas son equiva­
lentes si tienen las mismas soluciones particulares, 
es decir el mismo conjunto solución.
<4 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES O DE 
PRIMER GRADO 
Sistema lineal de dos incógnitas
Ejemplo:
a,x + ajX = 83 ...(I)
b,x + bjy = bj ...(II)
Resolución:
1. Método de reducción o eliminación
b^(l) : a^bjx + 3;bjy = a,b2 \ ( - )
32(11): b.asX + bjâ y = bjBj J
(a,b2 - b.aj) x = ajb^ - b3a¿
ajbj -b^a^
3i \̂ 2 —
3 bAnálogamente: y = ' b,a3
â b2 Bjbi
2. Método de Cramer
83 32 
bl b̂
x — a, a
b, b 
Método gráfico
a, a,
b, b3
83 a,
b-, b-
As
De (I): -
Vi =
- b, b3
Donde; (x ;̂ y )̂ es la solución del sistema.
Análisis del sistema lineal. El sistema está formado 
por (I) y (II). Puede ser:
1. Compatibie determinado
Si; V A s / 0
b, 02
Gráficamente; ^ —— ¥= - r ^
D2 2̂ 2̂
Las rectas y, e y¿ tienen pendientes diferentes:
2. Compatible indeterminado
S i : ^ = J¿ = ^ V Ax=Ay = As = 0 
Gráficamente;
Las dos rectas y, e yj coinciden
Si: = V As = 0, Ax?^0, Ay?:0bj bj bj
Gráficamente;
3i 3o — 3De; ^ = i l i . 
b,
b l. rtg. £2 £3 _ £3 , ^
b, ' b, ^ b, a, ^ b.
Sistema lineal de tres Incógnitas
a,x + a2y + a^z - â ...(I)
b,x + b¿y + b3Z = b4 ...(II)
c,x + CiV + C3Z = C4 ...(III)
Resolución;
Por Cramer: x = ^ ; y = ^ ; As AS
AZ
As
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a, a¿ 83 82 83
As = bi b2 b3 ; Ax = 4̂ 1̂2 1̂3
C, C2 C3 C4 C2 C3
a, 84 83 â 82 84
A y- b, b3 ; AZ = b, bí
Ci C4 C3 Ct Cj C4
Análisis del sistema lineal de tres incógnitas. El sis­
tema formado por (I), (II), (III) puede ser:
1. Compatible determinado: Si: As?^0
2. Compatible indeterminado: Si:
AX = A y = A z = A s = o
3. Incompatible; Si: A s = O a a x ?= O, A y O, A z * O
Ejemplos:
1. Dado ei sistema: 5xy=12(x-fy)
5yz = 18(y z)
13xz = 36(x -f z)
Hallar: x + y + z 
Resolución:
Las ecuaciones propuestas pueden escribirse:
1 + 1 = A =
y ^ X 12 36
1 1 _ _ 5 _ _ ^ 
z ^ y 18 36
1 + 1 = 11 
z X 36
..,(1)
...(2)
...(3)
(1 ) + ( 2 ) + ( 3 ) : 2 ( l + l + l ) = f
X
(1)en(4): z = 9
(2) en (4): x = 4
(3) en (4): y = 6
Se pide: X + y -t
19
36 (4)
2 = 4 + 6 + 9 = 19
Calcular el valor de x del siguiente sistema: 
ay + bx = c; ex + az = b; bz + cy = a
Resolución;
Las ecuaciones pueden escribirse como: 
bx + ay + Oz = c 
ex + Oy + az = b 
Ox + cy -I- bz = a 
Por Cramer:
c a 0 c a
b 0 a b 0
a c b a c
b a 0 b a
c 0 a c 0
0 c b 0 c
a - ac -ab 
- abe - abe
a(c^ b̂ â ) 
-2abc
e + b - a 
2bc
3. Resolver el sistema y dar como respuesta xy.
h + y + 5 - 72^x + 20y = O 
/ÍO + /63 ^ f x - 1 =
Resolución:
Transformando el radical doble: 
ix + y + 5 - 2V5(x + y) = O 
suma producto 
Aplicando la regla práctica:
Vx + y - •Í5 - O ^ X + y - 5 ...(1)
Transformando la segunda ecuación:
/T0 + /6
x +
i
suma
2
VTÓ- v6
producto
A radicales simples: M + ^ ^
Despejando la incógnita 
Luego en (1) : x = 4; y = 1
x - 1 =
X 2 1/2 2 2
xy = 4
Calcular el valor de m para que el sistema sea in­
compatible.
(m + 3)x + 2my = 5m - 9 
(m + 4)x + (3m - 2)y = 2m + 1
Resolución:
Para que sea incompatible deberá cumplirse lo si­
guiente;
2m
m
5m - 9 
3m - 2 ^ 2m + 1 ,„(l)
Efectuando: 3m̂ + 7m - 6 = 2m̂ + 8m 
m̂ - m - 6 = O 
(m - 3)(m + 2) =» m = 3 a m = -2
• Si m = 3: en (I): y = y y (no puede ser)
• Sim = -2: e n ( l ) : l - l / ^ m = - 2
Resolver: 6x - 5y = -9
4x + 3y = 13 
Dar como respuesta el valor de x.
Resoiución:
Multiplicando por tres a la primera ecuación y por 
c in c o a la s e g u n d a :
18x - 15y = -27 
2ÜX + 15y = 65 
Sumando 38x + 0 - 38 . - . x - 1
Hallar el valor de x si:
3 + 2(x + 4) = 5(y + 1) - 4 
5(x + 1) - 2y = 4(y + 1)
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Resolución:
Reduciendo cada ecuación:
2x - 5y = -10
5x - 6y = -1 -.(2)
La ecuación (1) por 6 y la ecuación (2) por 5:
12x -' 30y = -60 / \
25x -' 30y = -5 ( )
- 13x = -55
x = 55/13
Si y = a + b/x, con a y b constantes, determinar
valor de m en:
X -1 - 4 -2
y 2 5 m
Resolución:
Reemplazando valores de acuerdo al cuadro, se 
tendrá:
Para x = -1 ; y = 2, entonces.
2 = a - b ...(1)
Para x = - 4; y = 5, luego:
20 = 4a - b 
Restando las relaciones (2) - (1)
18 = 3a ^ a = 6; a b = 4 
Finalmente para x = -2 ; y = m 
4
.(2 )
m = 6 + -2 m = 4
8. Dado el sistema: 3x + 2y = a + 2
2x - 3y = 2a - 1 
determinar el valor de "a" para que x valga el doble 
de y.
Resolución:
Por dato: x = 2y
• 3(2y) +2y = a + 2 ^ 8y = a + 2
• 2{2y) - 3y = 2a - 1
- y = 2 8 - 1 .„(2)
Pero(1) = (2): ^ 4 ^ = 2a - 1O
a + 2 = 16a - 8 .-. a = 2/3
9. Si P(x) = {a + b - c + 3)x̂ + (a- b + c - 2)x +
(a - b - c - 1) 
es un polinomio idénticamente nulo, calcular: 
a + b + c
Resolución:
Por ser idénticamente nulo: 
a í b - c= -3 ...(1)
a - b + c = 2 ...(2)
a - b - c = 1 ...(3)
(1) + (2): 2a = -1 ^ a = -1/2 
(1) - (3): 2b = -4 == b = -2
En (2): - 1 - ( - 2 ) + 0 - 2 c - 1 
Se pide: a + b + c = - 2 + ^ = -2
10. Resolver el sistema; 
mx + ny = fn ̂+ n̂ 
my + nx = m ̂- n̂
Resolución:
Multiplicando a la primera ecuación por n y por m a 
la segunda:
mnx + n^y = n{m ̂+ n )̂ ...(1)
m^y + mnx = m(m ̂- n )̂ ...(2)
Restando (1) - (2):
(n̂ - m^)y = m^n + n' - - mn^
(n + m)(n - m)y = (n - m)(n^ + nm + m )̂
^ m ̂+ mn + n̂
^ m + n
En (1): mnx + n = ( in !± J H 2 ^ j = n K + n̂ )
^ x = - ^ .-.x + y = 2m^+mn + n̂
m + n ̂ m + n
11. Una gallina le dice a otra: “Si yo tripíicase mi pro­
ducción diaria y tú la duplicaras, pondríamos 151 
huevos, pero si hiciéramos al revés solo pondría­
mos 139 huevos”. ¿Cuántos huevos semanales 
recoge el dueño de estas dos gallinas?
Resolución:
Sean x e y la producción de la primera y la segunda 
gallina, respectivamente:
3x + 2y = 151 ...(1)
2x + 3y=139 ...(2)
La ecuación (1) por 3 y la ecuación (2) por 2;
9x + 6y = 453 ( - )
4x + 6y = 278
5x =175 ^ X = 35
En (1): 3<35) + 2y = 151 ^ y = 23
Se pide: 7(23 + 35) = 406 huevos
12. A! dividir un terreno en dos partes, resulta que los 
2/5 de la primera parte miden igual que los 3/7 de 
la segunda. Si el terreno mide 11 600 m', ¿Cuánto 
mide la parte mayor?
Resolución:
Supongamos que ei terreno se ha dividido en dos 
áreas que son x e y, respectivamente.
Del enunciado: |^x = ^ y =» y = ...(1)O f 10
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13.
14.
15.
Además: x + y = 11 600 
(1)en(2): x + = 11 600IO
(2)
29x
15 = 11 600 - X = 6000
En (1): y = 5600
La mayor parte mide: 6000
En un teatro las entradas valen S/.65 y S/.25. Si al 
vender un total de 740 entradas se obtiene 38 500 
soles, ¿cuántas entradas de S/.65 se vendió?
Resolución:
Sean: x: n.° de entradas vendidas de S/.65 
y: n.'’ de entradas vendidas de S/.25
Del enunciado;
x + y = 740 ...(1)
65x + 25y = 38 500
13x + 5y = 7700 ...(2)
Resolviendo (1) y (2): x = 500
.-. Se vendieron 500 entradas de S/.65
La razón del número de varones ai de niñas, en un 
grupo era de 3 a 5. Después se fueron 24 niñas y 
llegaron 24 varones, con lo que la nueva razón de 
varones a niñas es de 5 a 3. ¿Cuántos varones 
habia en el grupo?
Resolución:
Sea: V: n.° de varones y N: n.° de niñas.
Del enunciado.
N = f v • ( 1 )
Además:
= I ^ 3V + 72 = 5N - 120
3V + 72 = 5 (|V ) - 120 = V = 36
.-. El n.'" de varones es: 36
Hallar la suma de dos números tales que dividien­
do el mayor entre el menor su cociente sea 7 y el 
resto 4, y que la división del triple del mayor entre 
eldoble del menor resulte de cociente 11 y resto 4.
Resolución:
Sean a y b los números (a > b) 
r = 41.®' caso: -r- “ 7b
a = 7b + 4
2.° caso: ■ü = ^ r = 42b
3a = 22b I 4
{1)en (2): 3(7b -r 4) = 22b + 4 
21b + 12 = 22b + 4
.,(1)
(2)
De donde: b = 8; en (1): a = 60 
Se pide: a + b = 68
16. Dividir 46 en dos sumandos tales que dividiendo el 
primero por 7 y el segundo por 3, la suma de ios 
cocientes sea 10. Dar como respuesta la diferencia 
de los mismos.
Resolución:
Sean a y b los sumandos:
De donde: 
a + b = 46 • d ) 
•(2 )y f - ^= 10 = 3a + 7b = 210/ ó
De(1)y{2): b = 18;a = 28 
.-. Se pide: a - b = 10
17. Un estudiante se compromete a presentar a su pa­
dre la resolución de ocho problemas diarios. El pa­
dre da al hijo S/.9 por cada problema bien resuelto 
y el hijo abona a su padre S/.6 por cada problema 
que deje de presentar o este mal resuelto, Al cabo 
de 20 días el hijo ganó S/.540. ¿Cuántos proble­
mas resolvió bien el estudiante?
Resolución:
Asumiendo que no se equivocó en ningún proble­
ma entonces debería haber cobrado;
(8){9)(20) = 1440 
Pero recibe: 540
Devolvió al padre; 1440 - 540 = 900 
Por cada problema mai resuello pierde 15 
Se equivoco en ; 900 + 15 = 60 
Recibió en total 160 problemas.
Resolvió bien; 160 - 60 = 100 problemas
18. Si un padre tiene ahora 2 años más que sus dos 
hijos juntos y hace 8 años tenia 3 veces la edad del 
hijo menor y dos veces la del mayor. ¿Qué edad 
tiene ahora el hijo mayor?
Resolución:
Sea: x; edad del hijo mayor 
y; edad del hijo menor
Actualmente
P = x + y + 2 
H = x 
Hm = y
hace 8 años
x + y - 6 
X - 8 
y - 8
Luego; x + y - 6 = 3(y - 8) = 2(x - 8)
• x + y - 6 = 3(y -8} ^ x + y - 6 = 3y - 24 
x - 2 y = -18 ...(1)
• 3 {y - 8 ) = 2 {x - 8 ) ^ 3 y - 2 4 = 2 x - 1 6
2x - 3 y = - 8 .. .(2)
Resolviendo (1) en (2): x = 38 a y = 28
El hijo mayor tiene: x = 38 años.
19. Jaime le dice a Hugo: yo tengo el doble de la edad 
que tu tenias, cuando yo tenía la edad que tu tie­
nes. si la suma de nuestras edades actuales es 42
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