Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (77)

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El sistema de ecuaciones anterior es. como hemos vis­
to. fácil de resolver, obtenemos las soluciones:
1
- 3 
- 2 
1
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Forma general: ax ̂ + bx + c = O v a ^ 0
Resolución; siendo a O
Multiplicando por 4a: 4a^x ̂+ 4abx + 4ac = O
Sumamos a ambos miembros b̂ :
4a^x ̂+ 4abx + 4ac + b̂ = b̂ - 4ac 
{2ax + b) ̂ = b̂ - 4ac
2ax + b = ± )b^ - 4ac
„ _ - b ± íb^ - 4ac
Las raíces son: x, = b + </a .
2a
^ _ - b - V ÁAo — 2a
Donde: A = b - 4ac
Discriminante
Análisis de la natura leza de las raíces
1. Si A = O las raíces son iguales,
2. Si A > O las raíces son reales y diferentes,
3. Si A < O las raíces son complejas y conjugadas.
Propiedades de las raíces 
Teorema de Viete;
Suma de raíces; x.
Producto de raíces: x,x, = — ’ ̂ a
/ADiferencia de raíces: tx. - x,! = —¿I g
Reconstrucción de la ecuación cuadrática
Sean x, y Xj, las raíces de una ecuación cuadrática, 
luego: x = x , = » x - x , = 0
x = X j » X - X 2 = 0
La ecuación que origina dichas raíces es: 
( x - x , ) ( x - x 2 ) = 0 
x̂ - (x, + xj)x + X1X2 = O
X - (suma de raíces)x + (producto de raíces) = O
Raíces particu la res
1. Raíces simétricas
Si X, = p => Xj = -p
Entonces:
Luego:
2. Raíces reciprocas
Si X, = p
ax‘̂ + c = O
Entonces: x.x, = — = 1 ̂ a
Luego; c = a => ax ̂+ bx + a = O
3. Una raíz nula o cero
Sea x , = O =» X, X j = - = O a
Luego: c = O => ax ̂+ bx = O
4. Una raíz es la unidad
Sea x, = 1
Luego: x, + Xj = 1 + — = —^3 3
a + b + c = o
Propiedad de las ecuaciones equivalentes
Sean: a,x^ + b,x + c, = O ...(1)
â x̂ + bjX + Cj = O ...(2)
d b CSi son equivalentes: se cumple: — = —82 bj C2
Ejemplo:
Hallar m y n si las ecuaciones son equivalentes 
2mx^ + (m + 1)x + (m + n) = O
2x ̂+ (m - n + 1)x + 3 = 0
Resolución:
Por el teorema; 2m ^ m + 1 n i±JI 
2 m - n + 1 3
Luego; 3m = m + n => 2m = n
m = \ =» -m^ + m = m + 1- m + 1
m = ±i A n = +21
Teorema de Bezout o de la raíz común
Sean: a,x^ + b,x + c, = O ...(1)
ajX ̂+ bjX + Cj = O ,,,(2)
Si tienen una raíz común, entonces:
(a,b2 - a2b,)(b,C2 - b^c,) = (a,C2 - a^c,)^
Ejemplo:
Hallar n. si las ecuaciones:
x2 - 3 x - 4 = 0 ,..(1)
x̂ + n x - 5 = 0 ,,.(2)
poseen una raíz común y hallar dicha raíz. 
Resolución:
Por el teorema de Bezout:
(n + 3)(15 + 4n) = ( -5 + 4)"
4n ̂+ 27n + 44 = O
(4n + 11)(n + 4) = 0 = n = - 4 v n = -11/4 
Factorizando (1): (x - 4)(x + 1) = O ,,,(1)
Reemplazando; n = en (2) y multiplicando por 4: 
4x' - 11x - 20 = O =» (4x + 5)(x - 4) = O
Luego; CS, = (4; -1 ) ; CS^ = {4; -5 /4}
La raíz común es 4.
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Ejemplos:
1. Dada la ecuación cuadrática; ax ̂+ bx + c = O, los 
coeficientes a, b y c forman una progresión arit­
mética, si r, y f2 son las raices de la ecuación y 
cumplen.
a + b + c = 3(r, + rs) 
b + 7 = r. Ti 
Hallar abe.
Resolución:
Como a, b, c forman una progresión aritmética, se 
cumplirá que:
a + c 2b = a + c
Además: r, + tz = —d r,r, = -
Luego en: a + b + c = 3(r, + Tj) = 
De(1): 3b =
-3 b
a
a = -1
Del segundo dato: b + 7 = r,r2 = - = - cd
Tenemos: b = -7 - c 
En (1): 2 (-c - 7) = -1 + c
En (2): b = - |
abe = (-1 ) -104
2. Hallar la suma de ios cuadrados de las raices de 
la ecuación: (2k + 2)x ̂ + (4 - 4k)x + k - 2 = O, 
sabiendo que las raíces son recíprocas.
Resolución:
Se pide: E = x, ̂+ Xĵ
Por ser reciprocas: X,X2 = 1 
De la ecuación:
y _ - ( 4 - 4 k ) 2 ( k - 1 )
2 k + 2 ~ k + 1
Además por el teorema de Viete, 
k - 2
-(2 )
x,x, =
k = -4
2k + 2 
Luego: k - 2 = 2k + 2
En (2): x,
Elevando al cuadrado miembro a miembro:
_ 2 ( - 4 - 1 ) 
' - 4 + 1
10
3
100
x/ = M - 2De(1): x,̂
Resolver las ecuaciones;
+ b' b _ a - b
X2bx
_ 5 _________ _______
x + 2 x ^ - 4 2 - x
2bx^ 
10 1
Resolución:
Analizamos cada caso, entonces se tendrá: 
• Dando común denominador;
(a^+b^)x-2b^x a - b
2bx' 2bx"
(â - b )̂x = a - b: x # O
X = a + b
• La ecuación puede escribirse:
5 1 _ 10
x + 2 ^ x - 2 x ^ - 4
dando común denominador en el primer miembro: 
5x - 10 + x + 2 ^ 10
x ' - 4 x ̂- 4
6x - 8 = 10; X -2 
X = 3
4, Resolver cada caso siguiente:
• Resolver: —^ = 1X+1 X+4
• Hallar el CS de la ecuación:
X - 1 _ X -3 
X - 2 " 2x - 3
• Haliar el CS de la ecuación racional:
5 ( x - 2 ) 2 (x - 3 ) _ 3
x + 2 x + 3
Resolver la ecuación: 
1 3 = 7X-15
2x - 3 2x^ - 3x X 3x - 2x^
Resolución:
Analicemos cada caso:
Efectuando: 
x ' + 4x + x ̂+ X _
+ 5x + 4
2x ̂+ 5x = + 5x + 4
x ' = 4 X = ± 2
Efectuando en aspa:
2 x ^ - 5 x + 3 = x ' - 5 x + 6 
x ' = 3 X = ^ / 3
5 x ^ + 5 x - 3 0 - 2 x ^ + 2 x + 1 2 _ ^
( x + 2 ) ( x + 3 )
3 x ' + 7 x - 1 8 = 3 x ^ + 1 5 x - 1 8
- 3 6 = 8 x X = - 3 6 / 8
Dando común denominador en ambos miembros: 
;< + 3 1 0 x - 1 5 - 7 x + 1 5
x (2x -3 ) x (2x-3 )
x + 3=3 x ; x ?í: O a x ? t | 
de donde: x = 3/2
Pero X ^ 3/2, lo cual implica que la ecuación es 
incompatible o no tiene raíces.
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5 . R e s o l v e r l a s e c u a c i o n e s s i g u i e n t e s : 
• X + V x - 2 - 4
• / x ^ = 3 + 4 3 x - 2 
Resotución:
• = 4 - x ^ x - 2 = ( 4 - x ) '
X - 2 = 1 6 - 8 x + - 9 x + 1 8 = O
( x - 3 ) { x - 6 ) = O ^ X , = 3 ; X j - 6
C o m p r o b a n d o e n l a e c u a c i ó n o r i g i n a l s o l o v e r i ­
f i c a K = 3 -
• E l e v a n d o a l c u a d r a d o e n a m b o s m i e m b r o s ;
x - 1 = 9 + 3 x - 2 + 6-I3X - 2
- 2 x - 8 = 6 J 3 x - 2
- x - 4 = 3 V 3 X - 2 
E l e v a n d o a l c u a d r a d o ;
x ' + 8 x + 1 6 = 2 7 x - 1 8 = x " - 1 9 x + 3 4 = O 
( X - 1 7 ) ( x - 2 ) = O X , = 1 7 ; X i = 2
V e r i f i c a n d o e n l a e c u a c i ó n o r i g i n a l , n i n g u n a d e 
l a s d o s p o s i b l e s r e s p u e s t a s c u m p l e , e n t o n c e s 
l a e c u a c i ó n n o t i e n e s o l u c i o n e s .
6 . H a l l a r l a e c u a c i ó n c u a d r á t i c a c u y a s r a i c e s s o n :
• 3 y 7
. - 2 y - 5
• 4 / 3 y 3 / 4
• 1 + / 2 y 1 - / 2
Resolución:
• x ^ - ( 3 + 7 ) x + ( 3 ) ( 7 ) = O
x ^ - l O x + 2 1 = O
• - ( - 2 - 5 ) x + ( - 2 ) ( - 5 ) = O 
x ^ + 7 x + 1 0 = O
• ( M i - (!)(!)=“
x " ~ | | x + 1 = O ^ 1 2 x ^ - 2 5 x + 1 2 = O
• x ^ - 2 x - 1 = O
7 . H a l l a r l o s v a l o r e s d e a y b e n l a e c u a c i ó n : 
x ^ + ( 2 a + 3 b - 1 ) x + a “ b - 3 = O
s i a m b a s r a i c e s v a l e n c e r o .
Resolución:
S í a m b a s r a i c e s v a l e n c e r o q u i e r e d e c i r q u e : 
x , + X j = O = ■ - ( 2 a + 3 b - 1 ) = O 
2 a + 3 b = 1 . . . ( 1 )
T a m b i é n :
X i X j = 0 = » a - b - 3 = 0 
a - b = 3 . . , ( 2 )
R e s o l v i e n d o ( 1 ) y ( 2 ) ; a = 2 ; b = - 1
8 . D e t e r m i n a r e l v a l o r d e k p a r a q u e l a e c u a c i ó n ;
( k + 4 ) x ^ - 1 = ( 2 k + 2 ) x - k , t e n g a r a i c e s I g u a l e s .
Resolución:
Primero ordenando la ecuación se tiene:
( k + 4 ) x ' - ( 2 k + 2 ) x + k - 1 = O
P a r a q u e t e n g a r a i c e s i g u a l e s ; = O 
[ - { 2 k + 2 ) V - 4 { k + 4 ) ( k - 1 } = O 
4 ( k + 1 ) ^ - 4 ( k + 4 ) ( k - 1 ) = O 
k ' + 2 k + 1 - - 3 k + 4 = O . . k = 5
9 . R e s o l v e r c a d a c a s o s i g u i e n t e :
C a l c u l a r e l v a l o r d e k p a r a q u e e l p r o d u c t o d e 
l a s r a i c e s d e l a e c u a c i ó n ;
( k - 2 ) x ^ - 5 x + 2 k = O , s e a 6 .
• E n l a e c u a c i ó n - k x + 2 4 = O, d e t e r m i n a r k ,
1 1 5 p a r a q u e s e c u m p l a : — i— =X2 T ̂
Resolución:
• P o r d a t o ; x , . x , = — = 6
' ^ a
2 k = 6 ^ 2 k = 6 k - 1 2 ^ k = 3
k - 2
D e l a e c u a c i ó n ; x , + x ^ = k a x , X 2 = 2 4
E n l a c o n d i c i ó n : — ^ ~X1X212
1 0 . P a r a q u e u n a d e l a s r a í c e s d e l a e c u a c i ó n :
a x ^ + b x + c = O s e a e l d o b l e d e l a o t r a . D e t e r m i n a r 
c ó m o d e b e n e s t a r r e l a c i o n a d o s l o s c o e f i c i e n t e s .
Resolución:
P o r d a t o : x , = 2X 2 , . . ( 1 )
A d e m á s , d e l a e c u a c i ó n :
X, + X2 - ^ ...(2)
d
. . ( 3 )
„ ( 4 )
• • (5 )
X , . X , = -
( D e n ( 2 ) : 3 x , = - b
( - l ) e n ( 3 ) ; 2 x / = ¿d
E n ( 4 ) a l c u a d r a d o y e l r e s u l t a d o e n t r e l a r e l a c i ó n ( 5 )
2x ^ Ç 2 c 
a
11. C a l c u l a r t r e s n ú m e r o s c o n s e c u t i v o s e n l o s q u e e l 
c u a d r a d o d e l n ú m e r o d e l m e d i o s e a m a y o r e n u n a 
u n i d a d a l p r o d u c t o d e l o s r e s t a n t e s .
Resolución:
S e a n l o s n ú m e r o s ; 
a ; ( a + 1 ) y ( a + 2 )
(a + 1)^ - 1 = a (a + 2) 
a ' + 2 a + 1 - 1 = a ^ + 2 a ^ 0 = 0
E s t o i m p l i c a q u e l a i g u a l d a d s e v e r i f i c a p a r a c u a l ­
q u i e r v a l o r d e " a " ; e s d e c i r , l o s n ú m e r o s p u e d e n s e r 
3 c o n s e c u t i v o s c u a l e s q u i e r a .
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12. Hallar n para que las raíces de la ecuación: 
+ 3x n - 1
5x + 2 n + 1 ’
sean simétricas
Resolución:
Para que sean simétricas: x. X, = O
Por Viete:
Dándole ia forma general a la ecuación:
3 - 5 n - 1 
n + 1 X + 2 n
n + 1 = O
ax + b
■n - 1\3 - 5 1 n + 1,
. X + c 
= b = 0=o n = 4
13. Calcular “a” de: ax ̂- (a - 5)x + 1 = O 
si: x,x2 = x, - X2
Resolución:
De la ecuación: x, + Xj = — a x, XjA X , X , = — a
Se sabe por productos notables que:
(X , + X2) " - (X , - = 4 x , X2
Pero por dato: x, - x̂ =
Luego: ■ a - 5 - h U aU
Efectuando: â - 14a + 24 = (a ~ 12)(a - 2) 
Luego: a = 12 a a = 2
14. De la ecuación: 2x ̂ + 2x + 3 = 0; se requiere que 
las raíces tomen el doble de su valor para lo cual 
fue necesario transformarlo. Determinar la varia­
ción del término independiente.
Resolución:
Sea: x' y x" las nuevas raíces:
Por dato: x' = 2x, .,,(1)
x" - 2x" ...(2)
x ' . (x' + x")x + x'x" = O ...(3)
De (1) + (2): 2(x, + x,} - x' + x" - 2 ( ^ ) - ( ^ )
D e(1).(2):4x, .X2- x' . x" - 4 ( | ) - ^
Reemplazando en (3) se tendrá:
x̂ - 2(x, + x2)x + 4x, X2 = O
=» ax ̂+ 4x + 12 = O será la nueva ecuación.
.-. La variación será: 12 — 3 = 9
15. Dos turistas A y B salieron simultáneamente de dis­
tintos lugares al encuentro mutuo. Al encontrarse 
resulta que A recorrió 210 km más que B. Si cada 
uno de ellos continua su camino a la velocidad an­
terior, A llegará al lugar de salid de B. Después de 
4 días y B llegará al lugar de salida de A después 
de 9 días. ¿Cuántos km recorrió cada uno de ellos 
hasta el encuentro mutuo.
Resolución:
Haciendo un gráfico:
tA to
De los gráficos anteriores se tendrá; 
210 + x . w _ x
210
210X ____________
4 9
Efectuando: 4(210 + x) ̂ = 9x̂
Extrayendo raiz cuadrada a cada miembro:
2(210 + x) = 3x =» X = 420
Luego: A recorre 420 + 210 = 630 km 
B recorre 420 km
16. Calcular a + b (a g E) de tal manera que las si­
guientes ecuaciones sean equivalentes.
(7a - 2)x' - (5a - 3)x + 1 = O 
8bx' - (4b + 2)x + 2 = O
Resolución:
Si son equivalentes se cumple:
7a - 2 5a - 3
8b 4 b + 2 
I__
7a - 2 = 4b = 7a - 4b = 2 ...(1)
5a - 3 = 2b + 1 ^ 5a - 2b = 4 ...(2)
2(2) - (1): 3a = 6 ^ a = 2 A b = 3
a + b = 5
17. Determinar el valor entero de m, de modo que una 
de las raíces de la ecuación: 
x̂ - (m + 4)x + 5m -8 = O sea el triple de la otra.
Resolución:
Sean x, y las raíces:
Por dato; x, = 3X2
También de la ecuación:
X, t = m I 4 
X , . X , = 5m - 8
m + 4 .
'1 •
(1)en(2): x, =
...(1)
-(2 )
...(3)
Xl - -|(m + 4)
En (3): = 5 m - 8
(3m - 44)(m - 4) = O
* 3m '- 56 + 176 = O 
m = 4
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