Algebra teorica y practica - Mikhaild P Flores-pagina (80)

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k = 1;yj = -2,1284185 
k = 2: 73 = 0,2016404
Ecuación cuártica
Resuelta la ecuación cúbica, los matemáticos del siglo 
XV!, buscaron afanosamente un método para resolver 
la ecuación de cuarto grado. El método para resolver lo 
encontró Ludovico Ferrari (1522-1565). El trabajo de 
Ferrari lo publicó Cardano.
Método de Ferrari: Resuelve la ecuación mónica, nor­
mal u ordinaria (a = 1) de la forma: 
x“ -i- bx ̂-i- cx ̂ dx + e = O 
Luego: x‘ -f bx ̂= -cx^ - dx - e 
Completando cuadros en el primer miembro:
x“ + bx ̂+ ^ x ^ = ^ x ^ - cx ̂ - dx - e
(x ̂+ | x ) ' = ^ x " - c x ' - d x - e
Se introduce ahora un parámetro k, tal que forme en el 
primer miembro un nuevo cuadrado perfecto.
Se agrega: (x'
(x^+ |x [+ (x ’ + |x )k+ ^= (x^ + |x )k + i^ -X - e x - d x - e
- d ) x + ( ^ - e
El problema consiste ahora en hallar un valor de k, que 
haga del segundo miembro un cuadrado perfecto. Este 
valor se obtiene igualando a cero el discriminante de 
la ecuación cuadrática que resulta al igualar a cero el 
segundo miembro de la ecuación.
Al igualar a cero el discriminante, resulta una ecuación 
cúbica en k. Se busca una raíz real de esta ecuación 
cúbica y este valor (cualquier raiz real sirve) se usa 
como valor de k.
Al reemplazar el valor de k, se obtiene:
+ | x + | ) ' =(m x + n)'
Donde m y n son los valores que resultan al factorizar el 
segundo miembro con el valor de k hallado. La solución 
de la ecuación cuártica, se obtiene del sistema:
-i- | x + | = ±(mx -i-n)
De donde: = +(mx + n)
x' + | x - ( - | ^ -(m x +n)
que son dos ecuaciones de segundo grado, o sea se 
obtienen 4 raíces.
Ejemplo:
Resolver x" - 2x= - 2x' - 2x - 3 = O
Resolución:
x" - 2x ̂= 2x ̂ -I- 2x + 3
Completando cuadrados: 
x‘ - 2x' + x̂ = 3x ̂+ 2x + 3
(x' - X)' = 3x' + 2x + 3
Completando cuadrados nuevamente (con k):
(x" - X)" + (x̂ - x)k + = (x' -x)k + ̂ - 3x" + 2x + 3
( x ^ - x + |)^ = (k +3)x ' + (2 -k )x + ( ^ +3) = 0...(a)
El discriminante de esta ecuación se iguala a cero (para 
que sea trinomio cuadrado perfecto).
A = (2 - k)' - 4(k + 3 ) (^ + 3) ^ O
Efectuando: k̂ + 2k ̂+ 16k -t- 32 = O ...(p)
Por Ruffini, ensayando divisores de 32, se obtiene 
k = -2 , o sea k = -2 es raiz de [3.
Reemplazando k = -2 (raiz real de p) en (a):
(x ̂ - X -1 ) ' = x̂ + 4x + 4 = (X + 2)'
=í- x̂ - X - 1 = ±(x -I- 2)
Simplificando:
X = 3 
X = -1
X = I 
X = —i
x̂ - 2x - 3 = o
• x̂ + 1 = O
Las soluciones serán: 3; -1 ; i y - i.
Método de Descartes. En 1637, el matemático Des­
cartes propuso el siguiente método:
Sea la ecuación cuadrática reducida.
(a = 1 y b = 0) 
x'* + cx ̂+ dx -t- e = O 
Se supone:
x‘‘ + cx ̂-I- dx + e = (x ̂+ mx + C)(x̂ - mx -l- n) 
efectuando e igualando coeficientes por el teorema de 
polinomios idénticos:
n + C - = c '
(n - C) = d -3 ecuaciones con 3 incógnitas m, n y C 
n( = e
De las dos primeras: 2n = m̂ + c + —m
En la tercera: 2n = m̂ + c - m
=> (m ̂+ c + -^ )(m ̂ -t- c - —) = 4e m ' m '
Ordenando; m® + 2cm‘' + (ĉ - 4e)m^ - d̂ = O 
Ecuación cúbica en al hallar m̂ se calculan n y C.
La ecuación cuártica queda resuelta al hallar las raices
de: x̂ mx e = 0 A x -m x + n = 0
Raíces cúbicas de la unidad
Resolveremos: - 1 = (x — 1)(x^ + x + 1) = O
X - 1 = O => X , = 1
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^ y - 1 + 3 ¡ X 3¡= Xj - 2 + 2 ’ 3 " 2 ~ 2
Estas raíces se reconocen generalmente como:
1, w y w"
Observar que: x¡ = x ¡ y = x̂
De alií que el cuadrado de una de las complejas da la 
otra.
Es fácil comprobar:
. 1 -fw + w " - 1 + ( - I + ^ i ) + ( - l - # i U o
1 + w + w" = O
Ejemplo:
x" - 3x ̂ - 6x - 2 = O 
Resolución:
x"* - 3x" - 6x - 2 = (x" + mx + P)(x" - mx + n) ...(a) 
x“ - 3x" - 6x - 2 = x" + (n + C - m )̂x“‘ + m(n- C)x + nf 
=> n + ( - m" = -3 A m(n - f) = -6
Resolviendo el sistema para m;
m® - 6m* + 17m" - 36 = O (ecuación cúbica en m")
Haciendo: m" = y => ŷ - 6ŷ + 17y - 36 = O que se
verifica para y = 4 => al finai: m̂ = 4 =» m = ±2
Con m = 2, (m = -2 ) sería igual
se obtiene: n = 2; í = -1
Reemplazando en (a):
x" + 2x - 1 = 0 = X = - 1±/2
x ^ - 2x + 2 = 0 =>x = 1 ± i
Las soluciones serán: - 1 ± / 2 ; 1 ± i
Muchas «laiadone&cu^ticas se 
zándc^as por ̂ méfc>do dotte espi^ál.
Ejemplo:
Resolver: x“ - 6x ̂+ 3x" + 26x - 24 = O 
Resolución:
Factorizando por el aspa doble especial, se tiene; 
x" - 6x^ + 3 x " + 2 6 x - 2 4 = O 
= ( x " - 7 x + 12 )( x^ + x - 2 ) = 0 
=* ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( x + 2 ) ( x - 1 ) = 0
Igualando cada lector o cero: 
x, = 3; X2 = 4; X3 = -2 ; x̂ = 1
Resolver la ecuación e indicar una de las raíces: 
(x + a + b + 2c) ’ - x"' = (a + c) ’ + (b + c)’ ’ 
Resoiución:
Escribimos:
1 1 1
x + a + b + 2c X
x - x - a - b - 2c 
(x + a + b + 2c)x
- (a + b + 2c)
4- ■ 1
a + c b + c
b + c + a + c 
(a + c)(b + c)
a + b + 2c
(x + a + b + 2c)x (a + c)(b + c)
= -(a + c)(b + c) = x" + (a + b + 2c)x 
== x" + (a + b + 2c)x + (a + c)(b + c)
X ■— I ♦ a + c
X - — --—*. o + c 
--•= (x + a + c)(x + b + c) = O
De aquí: x= -a - c ; x = -b - c
Si X, y X2 son las raices de la ecuación;
3x ̂ + px + 4 = O, determinar un valor de p, de 
modo que: ( ^ f = l
Resolución:
De 3x" + px + 4=
Dato; X , + X 2 p-^ ;x ,x2
(ct) (p)
Del dato: — = -- ^ v ^ = + 1 x, 3 X , 3
Six2 = -3x, ;en(p) ; -3x? = f - x? = - |
E n (a );-2x , = : ^ ^ ^
Reemplazando en lo anterior:
6 / 9
p = 4i V p = -41
- p ^ - 3 6 ( - | | ^ p " = - 1 6
• Si X2 = 3x,, aquí no aparece respuesta.
3. Si x̂ ; X2 son raíces de la ecuación:
(a ̂- b')x" + (b ̂ - C‘')y = â - c" 
a =í ± b; a, b, c e IR. Calcular: x “ ̂+ X2" - x,x2
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Resolución;
Transponiendo:
(a ̂- b")x' + (b̂ - c")x + (c" - a‘ ) = O 
{a" - b")x
[{a" - b )̂x - (c" - a")] (x - 1) = O
_ 4
De aqui: x, = - j — ^ = n; x̂ = 1 
a - b
En lo pedido, se tiene:
x,' ̂+ y.2' - X1X2 = n' + r - n = 1
4. Si X, y X2 son las raices de: Xj - x + 1/2 = O, 
determinar:
Resolución:
De la ecuación: 2x ̂ - 2x + 1 = 0
2 + 2i 2 - 2 i
2 ’ ^ 2 
x, = 1 + i; X2 = 1 - i
■1 + Í\ÍT7Í! / I - i'Luego: E = 1 - i, . 1 + i ,
Se sabe que: = i a ^— !• = - i^ 1 -1 1+1
=> E = i”' - ( - i) '; pero: - i = i ’
^ E = i” - (i-'y E = i” - i’ ’ = O
5. Si a, b, c son raíces de la ecuación:
X® - 2x ̂+ 3x - 1 = O, determinar el valor de: 
1E = - ^ + - L
Î ĉ b^c^
Resolución:
a, b y c son las raices de: 
x' - 2x' + 3x - 1 = O 
Por et teorema de Cardano y Viete: 
a + b + c = 2:ab + bc + ca = 3y abe = 1
â + b̂ + ĉ = (a + b + c)̂ - 2(ab + be + ac) = -2
1 a ̂+ b ̂+ ĉ
a^b ̂ b^c ̂
- 2
(1)^
c^a^
. E= - 2
(abc)^
6. Resolver la ecuación:
x“* - 5x ̂ + 6x ̂ + 4x - 8 = O, sabiendo que tiene 
una raíz de multiplicidad 3. Dar como respuesta la 
suma de los cuadrados de sus raices.
Resolución:
x" - 5 x ' + 6x^ + 4 x - 8 = O 
4-4x
- X
2x'
Falta
4x'
( x ^ - 4 x + 4 ) ( x * ^ - X - 2 ) = O 
(X - 2 ) ^ ( x + 1 ) ( x - 2 ) = O 
( x - 2 ) ^ ( x + 1 ) = O
La ecuación tiene 4 raíces: 2 (de multipliddad 3) a -1. 
Se pide; 2̂ + 2" + 2' + (-1 ) ' = 13
7. Si dos de las raíces del polinomio;
p(x) = + 3x ̂+ bx - 3 son opuestos, determinar
el valor de b.
Resolución:
P(x) = x' + 3x ̂+ bx - 3
Tiene dos raices opuestas: m a -m
Sea X3 la tercera raiz:
=» m + (-m ) + X3 = -3 = X3 = -3 
Luego: P (-3) = (-3 ) ' + 3 (-3 )' + b(-3) - 3 
P(-3) = - 2 7 + 27 - 3 b - 3 = O b = - 1
8. Dada la función polinomial de regla de correspon­
dencia f(x) = x̂ + bx ̂ +CX + d. Si el cuadrado de 
una de sus raices, es igual al producto de las otras 
dos, determinar el valor de; b^d - ĉ
Resolución:
f(x) = x̂ + bx ̂+ cx + d 
Sean: x,, y X3 sus raices 
Dato: X? = X2X3 
Por Cardano y Viete;
• x,X2Xj = -d = x , ( x ^ ) = - d
=> x, = -d
• x, + X2 + X3 = -b
• X,X2 + XjX3 + X1X3 = c
X,(X2 + X3) + X? = c
=»Xi(X, + Xj + X j) = c 
=» x,(-b) = c, al cubo;
=» x?(-b)^ = ĉ = (-d)(-b)^ = ĉ
b̂ d - c’ = O
9. Si: a, b, — y 4- son las raices de laecuación poli-a ' b ^
nomiai: x'“ + x ̂+ nx̂ + x + 1 = O, tiallar et valor de:
R - a b + 4 : + ^ + - - ab b a
Resolución:
1 i
a, b, — y 7̂ son las raices de x"* + x̂ + nx̂ + x + 1 = O a b
Por el teorema de Cardano y Viete, para la suma 
de productos binarios de las raíces, se tiene;
= a b + 1 + § + - + 1 + 4 r = n b a ab
R = a b + - 5 r + # + - = n - 2ab b a
10. Determinar x + y , donde x e y es una solución del 
sistema:
2x ̂+ 5xy - lOy^ = O 
1 2 / - xy - 72 = O
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Resolución:
2 x ^ + 5 x y - 1 0 y " = 0 
1 2 y ^ - x y - 7 2 = 0 
S u m a n d o : 2 x ^ + 4 x y + 2 y " - 7 2 = 0 
= x " + 2 x y + y ^ - 3 6 = 0
(X + y r = 3 6 y = 6 V x + y = - 6
11. R e s o l v e r p a r a x ; i n d i c a r u n a r a í z .
( a - b ) x
( a " + b V 2a(a" + b )̂ , ,
(a+“ b ) x - a + b " ' ® ^ - ‘'
Resolución:
M u l t i p l i c a n d o p o r ( a + b ) x :
( a - b { a + b ) x ^ + ( a " + b " ) " = 2 a ( a ^ + b " ) x 
( a - b ) ( a + b ) x " - 2 a ( a " + b ^ ) x + ( a " + b " ) " = 0 
( a + b ) x — I — »• - ( a " + b " )
( a - b ) - - - - - - — ► - ( a " + b " )
+ b̂ , .. a" + b"D e d o n d e : x , = V x - , = a - b
12. Determinar el valor de m, de modo que en la ecua­
ción x" - (m + 4)x + 3m = 0, una de las raíces es 
el tripie de la otra.
Resolución:
Sean a y 3u las raíces de la ecuación: 
x" - (m + 4)x + 3m = O 
=>ü + 3a = m + 4 A a(3a> - 3m 
=> 4a = m + 4 A = m 
Reemplazando: 4a = a" + 4 
a ' - 4 a + 4 = 0 ^ { a - 2 ) " = 0 ^ a = 2 
m = 4
13. Determinar ía menor raíz de la siguiente ecuación 
mónica de segundo grado:
(a - 2)x" - (3a - 8)x + a - 9 = O
Resolución:
La ecuación: (a - 2)x" - (3a - 8)x + a - 9 = O 
Como es mónica: a - 2 = 1 =>a = 3 
Reemplazando: - x - 6 = O
De donde: x, = 3 v x¿ = -2 
La menor raíz es: -2
14. Si la suma de las raíces positivas de:
x“* - (a + 1)x" + a = O, es el 75% del producto de 
las raíces. Determinar la menor solución.
Resolución:
x“ - (a + 1)x" + a = O
De donde: = a, = 1
Suponiendo que a > O, se tiene:
X, = /a ; X2 = - ^ : Xj = 1 ; Xj = -1
Q
Dato: X, + X, = -^(xiX^XjX )̂
■/a 1 = I (a)
3 / a + 2 = 0 = = .V a= - 4 (n o cumple)O
Va -2 = 0 ^ / a = 2 
=’ -ía ~ 2 . ' .La menor raíz es x ̂= -2
15. Determinar m, de modo que ia suma de cuadrados 
de tas raíces de la ecuación:
x̂ + (m - 2)x - (m + 3) = O, tenga el menor valor 
posible.
Resolución;
Sean x, a Xj las raíces de:
x" + (m - 2)x - (m + 3) = O
=»x, + X2 = 2 - m A X1X2 = - (m -1- 3)
Además, sea: S = x? + x"
=í S = (x, + X2)" - 2X1X2 
S = (2 - m) ̂ - 2 í-(m + 3)]
S = m" - 4m + 4 + 2m + 6
S = m" - 2m + 10 = (m - 1)" + 9
S será mínimo, cuando (m - 1)̂ = O m = 1
16. Determinar a + b, para que el sistema:
X + y + 2z = 3
by + z = a 
X + 2y - z = 1 
tenga infinitas soluciones.
Resolución:
x + y + 2z = 3 ...(1)
by + z = a ,..(2) tiene infinitas soluciones.
x + 2 y - z = 1 ...(3)
( 1 ) - ( 3 ) : - y + 3 z - 2 l 
by + z = aJ
Este último sistema también tiene infinitas solucio-
1 3 2nes, entonces se cumple que; - - = ^ ±
D n d
D e d o n d e : a = 4 a b = - ^ »3 o a + b = ^
3 a - 4 / a - 4 = O ^ (3- f a+2) { - ¡á - 2) = O
17. La ecuación bicuadrada:
x'“ - {p + 2)x ̂+ 4 = 0, tiene las raíces de la ecuación: 
x" + px + q = 0. Hallar los valores de p y q.
Resolución:
Sean a y p raices de la ecuación:
x̂ + px + q = 0 = a + p = - p A a p = q
Ahora, si a yp son raíces de ta bicuadrada:
- (p + 2)x" + 4 = 0
= a " + )B" = p + 2 A (a p )" = 4
De aquí: asumamos ap = 2 = q 
De a + p= -p ; elevamos al cuadrado:
a" +p^ + 2(ap) = p̂ 
p + 2 + 2(2) = p"
p 2 - p - 6 = 0 = . ( p - 3)(p + 2) = O 
De aqui: p = 3 v p = -2 
Finalmente: p = 3 y q = 2
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